狹義與廣義相對論淺說 · 31．一個「有限」而又「無界」的宇宙的可能性

但是，對宇宙的構造的探索同時也沿著另一個頗不相同的方向前進。非歐幾里得幾何學的發展導致了對於這樣一個事實的認識，即我們能對我們的宇宙空間的無限性表示懷疑，而不會與思維的規律或與經驗發生衝突（黎曼、亥姆霍茲）。亥姆霍茲和潘加里（Ｐｏｉｎｃａｒｅ）已經以無比的明晰性詳細地論述了這些問題，我在這裡只能簡單地提一下。 首先我們設想在二維空間中的一種存在。持有扁平工具（特別是扁平的剛性量杆）的扁平生物自由地在一個平面上走動，對於它們來說，在這個平面之外沒有任何東西存在；它們所觀察到的它們自己的和它們的扁平的「東西」的一切經歷，就是它們的平面所包含著的全部實在，具體言之，例如歐幾里得平面幾何學中的一切作圖都可以藉助於杆子來實現，亦即利用在第２４節所已討論過的格子構圖法。與我們的宇宙對比，這些生物的宇宙是二維的；但同我們的宇宙一樣，它們的宇宙也延伸到無限遠處。在它們的宇宙中有足夠的地方可以容納無限多個用杆於構成的互相等同的正方形；亦即它們的字宙的容積（面積）是無限的。如果這些生物說它們的宇宙是「平面」的，那麼這句話是有意義的，因為它們的意思是它們能用它們的杆子按照歐幾里得平面幾何學作圖。這裡，各個個別杆子永遠代表同一距離，而與其本身所處的位置無關。 現在讓我們考慮一下另一種二維的存在，不過這次是在一個球面上而不是在一個平面上。這種扁平生物連同它們的量杆以及其他的物體，與這個球面完全貼合，而且它們不可能離開這個球面。因而它們所能觀察的整個宇宙僅僅擴展到整個球面。這些生物能否認為它們宇宙的幾何學是平面幾何學，它們的杆子同樣又是其「距離」的實在體現呢？它們不能這樣做。因為如果它們想實現一根直線，它們將地得到一根曲線，我們「三維生物」把這根曲線稱作一個大圓，亦即具有確定的有限長度的、本身就是完整獨立的線，其長度可以用量杆測定。同樣，這個宇宙的面積是有限的，可以與用杆子構成的正方形的面積相比較。從這種考慮得出的極大妙處在於承認了這樣一個事實，即這些生物的琮宙是有限的，但又是無界的。 但是這些球面生物無需作世界旅行就可以認識到它們所居住的不是一個歐幾里得宇宙。在它們的「世界」的各個部分它們都能夠弄清楚這一點，只要它們所使用的部分不太小就可以了。從一點出發，它們向所有各個方向畫等長的「直線」（由三維空間判斷是圓的弧段）。它們會把連接這些線的自由端的線稱作一個「圓」。按照歐幾里得平面幾何學，平面上的圓的圓周與直徑之比（圓周與直徑的長度用同一根杆子測定）等於常數π這個常數與圓的直徑大小無關。我們的扁平生物在它們的球面上將會發現圓周與直徑之比有以下的值。 亦即一個比π小的值，圓半徑與「世界球」半徑Ｒ之比俞大，上述比值與π之差就愈加可觀。藉助於這個關係，球面生物就能確定它們的宇宙（「世界」）的半徑，即使它們能夠用來進行測量的僅僅是它們的世界球的比較小的二部分。但是如果這個部分的確非常小，它們就下再能夠證明它們是居住在一個球面「世界」上，而不是居住在一個歐幾里得平面上，因為球面上的微小部分與同樣大小的一塊平面僅有極微細的差別，因此，如果這些球面生物居住在一個行星上，這個行星的太陽系僅占球面宇宙內的小到微不足道的一部分，那麼這些球面生物就無法確定它們居住的宇宙是有限的還是無限的，因為它們所能接近的「一小塊宇宙」在這兩種情況下實際上都是平面的；或者說是歐幾里得的。從這個討論可以直接推知，對於我們的球面生物而言，＝個圓的圓周起先隨著半徑的增大而增大，直到達到「宇宙圓周」為止，其後圓周隨著半徑的值的進一步增大而逐漸減小以至於零，在這個過程中，圓的面積繼續不斷地增大，直到最後等於整個「世界球」的總面積為止。 或許讀者會感到奇怪，為什麼我們把我們的「生物」放在一個球面上而不放在另外一種閉合曲面上。但是由於以下事實，這種選擇是有理由的，在所有的閉合曲面中，唯有球面具有這種性質；即該曲面上所有的點都是等效的，我承認，一個圓的圓周（與其半徑礦的比取決於人但是，對於一個給定的Ｔ的值而言；這個比對於「世界球」上所有的點都是一樣的；換言之，這個「世界球」是一個「等曲率曲面」。 對於這個二維球面宇宙，我們有一個三維比擬，這就是黎曼發現的三維球面空間。它的點同樣也都是等效的。這個球面空間具有一個有限的體積，由其「半徑」確定之（２π２Ｒ３），能否設想一個球面空間呢？設想一個空間只不過是意味著我們設想我們的「空間」經驗的一個模型，這種「空間」經驗是我們在移動「剛」體時能夠體會到的。在這個意義上我們能夠設想一個球面空音。 設我們從一點向所有各個方向畫線或拉繩索，並用一根量杆在每根線或繩索上量取距離ｒ。這些具有長度ｒ的線或繩索的所有的自由端點都位於一個球面上。我們能夠藉助於一個用量杆構成的正方形用特別方法把這個曲面的面積（Ｆ）測量出來，如果這個宇宙是歐幾里得宇宙，則；如果這個宇宙是球面宇宙，那麼Ｆ就總是小於４πｒ２。隨著ｒ的值的增大，Ｆ從零增大到一個最大值，這個最大值是由「世界半徑」來確定的，但隨著ｒ的值的進一步增大，這個面積就會逐漸縮小以至於零。起初，從始點輻射出去的直線彼此散開而且相距越來越遠，但後來又相互趨近，最後它們終於在與始點相對立的「對立點」上再次相會。在這種情況下它們穿越了整個球面空間。不難看出，這個三維球面空間與二維球面十分相似。這個球面空間是有限的（亦即體積是有限的），同時又是無界的。 可以提一下，還有另一種彎曲空間：「橢圓空間」。可以把「橢圓空間」看作這樣的彎曲空間，即在這個空間中兩個「對立點」是等樣的（不可辨別的）．因此，在某種程度上可以把橢圓宇宙當作一個具有中心對稱的彎曲宇宙。 由以上所述可以推知，無界的閉合空間是可以想像的。在這類空間中，球面空間（以及橢圓空間）在其簡單性方面勝過其他空間，因為其上所有的點都是等效的。由於這個討論的結果，對天文學家和物理學家提出了一個非常有趣的問題：我們居住的宇宙是無限的，抑或象球口宇宙那樣是有限的呢？我們的經驗遠遠不足以使我們能夠回答這個問題，但是廣義相對論使我們能夠以一定程度的確實性回答應個問題；這樣，第３０節所提到的困難就得到了解決。