狹義與廣義相對論淺說 · 23．在轉動的參考物體上的鐘和量杆的行為

到目前為止，我在廣義相對論中故意避而不談空間數據和時間數據的物理解釋。因而我在論述中犯了一些潦草從事的毛病；我們從狹義相對論知道，這種毛病決不是無關重要和可以寬容的。現在是我們彌補這個缺陷的最適當的時候了；但是開頭我就要提一下，這個問題對讀者的忍耐力和抽象能力會提出不小的要求。 我們還是從以前常常引用的十分特殊的情況開始，讓我們考慮一個空時區域，在這裡相對於一個參考物體Ｋ（其運動狀態己適當選定）不存在引力場。這樣，對於所考慮的區域而言，Ｋ就是一個伽利略參考物體，而且狹義相對論的結果對於Ｋ而言是成立的。我們假定參照另一個參考物體Ｋ』來考察同一個區域。 設Ｋ』，相對於Ｋ作勻速轉動。為了使我們的觀念確定，我們設想Ｋ』，具有一個平面圓盤的形式，這個平面圓盤在其本身的平面內圍繞其中心作勻速轉動。在圓盤Ｋ』上離開盤心而坐的一個觀察者感受到沿徑向向外作用階一個力；相對於原來的參考物體Ｋ保持靜止的一個觀察者就會把這個力解釋為一種慣性效應（離心力）。但是，坐在圓盤上的觀察者可以把他的圓盤當作一個「靜止」的參考物體；根據廣義相對性原理，他這樣設想是正當的。他把作用在他身上的、而且事實上作用於所有其他相對於圓盤保持靜止的物體的力，看作是一個引力場的效應；然而，這個引力場的空間分布，按照牛頓的引力理論，看來是不可能的。但是由於這個觀察者相信廣義相對論，所以這一點對他並無妨礙；他頗有正當的理由相信能夠建立起一個普遍的引力定律——這一個普遍的引力定律不僅可以正確地解釋眾星的運動，而且可以解釋觀察者自己所經驗到的力場。 這個觀察者在他的圓盤上用鍾和量杆做實驗。他這樣做的意圖是要得出確切的定義來表達相對於圓盤Ｋ』的時間數據和空間數據的含義，這些定義是以他的觀察為基礎的，這樣做他會得到什麼經驗呢？ 首先他取構造完全相同的兩個鍾，一個放在圓盤的中心，另一個放在圓盤的邊緣。因而這兩個鐘相對於圓盤是保持靜止的。我們現在來問問我們自己，從非轉動的伽利略參考物體的立場來看，這兩個鍾是否走得快慢一樣：從這個參考物體去判斷，放在圓盤中心的鐘並沒有速度，而由於圓盤的轉動，放在圓盤邊緣的鐘相對於Ｋ是運動的。按照第１２節得出的結果可知，第二個鍾永遠比放在圓盤中心的鐘走得慢，亦即從Ｋ去觀察，情況就會這樣。顯然，我們設想坐在圓盤中心那個鐘旁邊的一個觀察者也會觀察到同樣的效應，因此；在我們的圓上，或者把情況說得更普遍一些，在每一個引力場中，一個鍾走得快些或者慢些，要著這個鐘（靜止地）所放的位置如何。由於這個緣故，要藉助於相對於參考物體靜止地放置的鐘來得出合理的時間定義是不可能的。我們想要在這樣一個例子中引用我們早先的同時性定義時也遇到了同樣的困難，但是我不想再進一步討論這個問題了。 此外，在這個階段，空間坐標的定義也出現不可克服的困難，如果這個觀察者引用他的標準量杆（與圓盤半徑相比，一根相當短的杆），放在圓盤的邊上並使杆與圓盤相切，那麼，從伽利略坐標系去判斷，這根杆的長度就小於１，因為，按照第１２節，運動的物體在運動的方向發生收縮。另一方面，如果把量杆沿半徑方向放在圓盤上，從Ｋ去判斷，量杆不會縮短。那麼，如果這個觀察者用他的量杆先量度圓盤的圓周，然後量度圓盤的直徑，兩者相除，他所得到的商將不會是大家熟知的數π＝３．１４……，而是一個大一些的數；而對於一個相對於Ｋ保持靜止的圓盤，這個操作和運算當然就會準確地得出π。這證明，在轉動的圓盤上，或者普遍他說，在一個引力場中，歐幾里得幾何學的命題並不能嚴格地成立，至少是如果我們把量杆在一切位置和每一個取向的長度都算作１的話，因而關於直線的觀念也就失去了意義：所以我們不能藉助於在討論狹義相對論時所使用的方法相對於圓盤嚴格地來了坐標ｘ，ｙ，ｚ的定義；而只要 事件 的坐標和時間的定義還沒有給出，我們就不能賦予（在其中出現這些 事件 的）任何自然律以嚴格的意義。 這樣，所有我們以前根據廣義相對論得出的結論看來也就有問題。在實際情況中我們必須作一個巧妙的迂迴才能夠嚴格地應用廣義相對論的公設。下面我將幫助讀者對此作好準備。