狹義與廣義相對論淺說 · 11．洛倫茲變換

上面最後三節的結果表明，光的傳播定律與相對性原理的表面牴觸（第７節）是根據這樣一種考慮推導出來的，這種考慮從經典力學借用了兩個不確當的假設；這兩個假設就是： （１）兩 事件 的時間間隔（時間）與參考物體的運動狀況無關。 （２）一剛體上兩點的空間間隔（距離）與參考物體的運動。 如果我們捨棄這兩個假設，第７節中的兩難局面就會消失，因為第６節所導出的速度相加定理就失效了，看來真空中光的傳播定律與相對性原理是可以相容的，因此就產生這樣的問題：我們必須如何修改第６節的論述以便消除這兩個基本經驗結果之間的表面矛盾，這個問題導致了一個普遍性問題。在第６節的討論中，我們既要相對於火車又要相對於路基來談地點和時間，如果我們已知一事件相對於鐵路路基的地點和時間，如何求出該事件相對於火車的地點和時間呢？對於這個問題能否想出能使真空中光的傳播定律與相對性原理不相牴觸的解答，換言之：我們能否設想，在各個事件相對於一個參考物體的地點和時間與各該事件相對於另一個參考物體的地點和時間之間存在著這樣一種關係，使得每一條光線無論相對於路基還是相對於火車，它的傳播速度都是ｃ呢？這個問題獲得了一個十分明確的肯定解答，並且導致了用來把一個事件的空一時量值從一個參考物體變換到另一個參考物體的一個十分明確的變換定律。 在我們討論這一點之前，我們將先提出需要附帶考慮的下列問題。到目前為止，我們僅考慮了沿著路基發生的事件，這個路基在數學上必須假定它起一條直線的作用。如第２節所述，我們可以設想這個參考物體在橫向和豎向各予補充一個用杆構成的框架，以便參照這個框架確定任何一處發生的事件的空間位置。同樣，我們可以設想火車以速度」繼續不斷地橫亘整個空間行駛著，這樣，無論一事件有多遠，我們也都能參照另一個框架來確定其空間位置。我們盡可不必考慮這兩套框架實際上會不會因固體的不可入性而不斷地相互干擾的問題；這樣做不致於造成任何根本性的錯誤，我們可以設想，在每一個這樣的框架中，劃出三個互相垂直的面，稱之為「坐標平面」（在整體上這些坐標平面共同構成一個「坐標系」）。於是，坐標系Ｋ對應於路基，坐標系Ｋ』對應於火車。一事件無論在何處發生，它在空間中相對於Ｋ的位置可以由坐標平面上的三條垂線ｘ，ｙ，ｚ來確定，時間則由一時間量值：來確定，相對於Ｋ』，此同一事件的空間位置和時間將由相應的量值ｘ』，ｙ』，ｚ』，ｔ』來確定，這些量值與ｘ，ｙ，ｚ，ｔ當然並不是全等的。關於如何將這些量值看作為物理測量的結果，上面己作了詳細的敘述。 顯然我們面臨的問題可以精確地表述如下，若一事件相對於Ｋ的ｘ，ｙ，ｚ，ｔ諸量值為何？在選定關係式時，無論是相對於Ｋ或是相對於Ｋ』，對於同一條光線而言（當然對於每一條光線都必須如此）真空中光的傳播定律必須被滿足。若這兩個坐標系在空間中的相對取向如圖２所示，這個問題就可以由下列議程組解出： 這個議程組稱為「洛倫茲變換」。 如果我們不根據光的傳播定律，而根據舊力學中所隱含的時間和長度具有絕對性的假定，那麼我們所得到的就不會是上述方程組，而是如下的方程組： ｘ』＝ｘ－ｖｔ； ｙ』＝ｙ； ｚ』＝ｚ； ｔ』＝ｔ。 這個方程組稱為「伽利略變換」，在洛倫茲變換方程中，我們如以無窮大值代換光速ｃ，就可以得到伽利略變換方程。 通過下述例示，我們可以很容易地看到，按照洛倫茲變換，無論對於參考物體Ｋ還是對於參考物體Ｋ』，真空中光的傳播定律都是被滿足的。例如沿著正ｘ軸發出一個光信號，這個光刺激按照下列方程前進： ｘ＝ｃｔ。 亦即以速度ｃ前進。按照洛倫茲變換方程，ｘ和ｔ之間有了這個簡單的關係，則在ｘ』和ｔ』之間當然也存在著一個相應的關係，事實也正是如此：把ｘ的值ｃｔ代入洛倫茲變換的第一個和第四個方程中，我們就得到： 這兩方程相除，即直接得出下式： ｘ』＝ｃｔ』 亦即參照坐標系Ｋ』，光的傳播應當按照此方程式進行，由此我們看到，光相對於參考物體Ｋ』的傳播速度同樣也是等於ｃ。對於沿著任何其他方向傳播的光線我們也得到同樣的結果。當然，這一點是不足為廳的，因為洛倫茲變換議程就是依據這個觀點推導出來的。