體撰錄 · 體撰錄

大衍說 天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十，列級堆垜，積五十有五。令諸數皆平方，於末層十之下際，距角作一橫線，兩角各作斜線，上引相遇於首層一之頂，則堆垜截爲圭形，其廣十，正從亦十，以半廣乘正從，得五十。此大衍之數所由生。 衍，古字多爲羨，《周官》有璧羨，又稱以其餘爲羨。今以圭外數減堆垜數，餘五十，故曰大羨五十，不可再減已。然以列數乘方求差，則五十必窮，而四十九不窮。是何也？五十之半爲二十五，折半則中閒必空。自四十九逆數至一，其分脊之位亦值二十五，則二十五得爲中數。取二十五之前一數自乘，與後一數自乘，其差一百。遞前後各二、三、四、五數自乘，其差亦遞爲二百、三百、四百、五百。至前後各二十四數自乘，其差則爲二千四百。唯後二十五數值五十，前二十五數值無，以五十自乘求與之相較而差二千五百者，唯無之自乘耳。五十無對，則其用自窮。雖然，五十不可揜也，取二十五遞前後諸數相併，無不爲五十者，唯五十無可與並，是以五十不自用，而用四十九也。非徒五十不自用，二十五亦不自用也。有二十五前後列數，故分爲二以象兩。二十五不自乘，故掛一以象三歟？〈今作矩廣袤各二十五，並之爲五十，其實矩祇四十九爾。則二十五獨爲隅，而廣袤各二十四者爲兩廉矣，此亦其義。〉 二十五遞前後各數自乘相差表 二十四自乘五百七十六。二十六自乘六百七十六。〈相差一百。〉 二十三自乘五百二十九。二十七自乘七百二十九。〈相差二百。〉 二十二自乘四百八十四。二十八自乘七百八十四。〈相差三百。〉 二十一自乘四百四十一。二十九自乘八百四十一。〈相差四百。〉 二十自乘四百。三十自乘九百。〈相差五百。〉 十九自乘三百六十一。　三十一自乘九百六十一。〈相差六百。〉 十八自乘三百二十四。　三十二自乘一千零二十四。〈相差七百。〉 十七自乘二百八十九。　三十三自乘一千零八十九。〈相差八百。〉 十六自乘二百五十六。　三十四自乘一千一百五十六。〈相差九百。〉 十五自乘二百二十五。　三十五自乘一千二百二十五。〈相差一千。〉 十四自乘一百九十六。　三十六自乘一千二百九十六。〈相差一千一百。〉 十三自乘一百六十九。　三十七自乘一千三百六十九。〈相差一千二百。〉 十二自乘一百四十四。　三十八自乘一千四百四十四。〈相差一千三百。〉 十一自乘一百二十一。　三十九自乘一千五百二十一。〈相差一千四百。〉 十自乘一百。　四十自乘一千六百。〈相差一千五百。〉 九自乘八十一。四十一自乘一千六百八十一。〈相差一千六百。〉 八自乘六十四。四十二自乘一千七百六十四。〈相差一千七百。〉 七自乘四十九。四十三自乘一千八百四十九。〈相差一千八百。〉 六自乘三十六。四十四自乘一千九百三十六。〈相差一千九百。〉 五自乘二十五。四十五自乘二千零二十五。〈相差二千。〉 四自乘一十六。四十六自乘二千一百一十六。〈相差二千一百。〉 三自乘九。四十七自乘二千二百零九。〈相差二千二百。〉 二自乘四。四十八自乘二千三百零四。〈相差二千三百。〉 一自乘一。四十九自乘二千四百零一。〈相差二千四百。〉 無自乘無。五十自乘二千五百。〈相差二千五百。〉 今絫取三數，則前後兩數自乘之差，必爲中閒一數之四倍，絫取五數，則遞前遞後兩數自乘之差，必爲中間一數之八倍，餘可類推也。然則絫而成奇者得有中數，絫而成耦者無是，是故五十不可用，而四十九可用。他數絫以成奇者，取其中位，則前後自乘之數悉有衰次。然唯以二十五爲中位者，前後相差，自一百、二百以至二千四百，皆整齊明畫，不假籌策而知。是故四十九而下，一切絫成奇者，亦不用。獨四十九便於用。 近代説大衍之數者二家:一、孔廣森，謂大衍之數爲句股術，五十即句股弦三冪相和之數，四十九即句股和自乘之數，虛一不用，即句股較股弦較之數。然五十之數出於無因，且句股術者，但以句股兩冪相和，開方適盡，則弦亦適盡。有句五、股十二、弦十三者，有句八、股十五、弦十七者，有句二十、股二十一、弦二十九者，有句九、股四十、弦四十一者，非定以句三、股四、弦五爲率也。二、焦循，謂衍即旁廣，訓詁亦近矣。而取秦九韶一、二、三、四互乘之説。然按其數，一乘二爲二，二乘三爲六，三乘四爲十二，四乘一爲四，四乘二爲八，則不足五十。而又闕三乘一之數，別出六乘四爲二十四，一乘十二爲十二，是即絫乘非互乘，其説亦支離矣。若昔儒京、馬、荀、鄭、虞、姚、王、崔之説，穿鑿損補，彌不可依，故今別造新義，較之諸家，蓋近自然也。 問曰：天地之數五十有五，所以成變化而行鬼神，其義可得聞乎？曰：行鬼神則吾不知，成變化乃可知矣。一加二爲三，三之平方九，中圅一、二諸立方。一、二加三爲六，六之平方三十六，中圅一、二、三諸立方。一、二、三加四爲十，十之平方一百，中圅一、二、三、四諸立方。一、二、三、四加五爲十五，十五之平方二百二十五，中圅一、二、三、四、五諸立方。一、二、三、四、五加六爲二十一，二十一之平方四百四十一，中圅一、二、三、四、五、六諸立方。一、二、三、四、五、六加七爲二十八，二十八之平方七百八十四，中圅一、二、三、四、五、六、七諸立方。一、二、三、四、五、六、七加八爲三十六，三十六之平方一千二百九十六，中圅一、二、三、四、五、六、七、八諸立方。一、二、三、四、五、六、七、八加九爲四十五，四十五之平方二千零二十五，中圅一、二、三、四、五、六、七、八、九諸立方。一、二、三、四、五、六、七、八、九加十爲五十五，五十五之平方三千零二十五，中圅一、二、三、四、五、六、七、八、九、十諸立方。率絫加至某數，以其積乘方，即圅加數之立方，自是以往，靡不準是。夫以堆垜數自乘爲平方，而平方即中圅立方，斯豈非變化之至者乎！知少廣之術，可以開立方；知斯術也，可以開立方叢矣。〈又天數二十五，開平方得五。地數三十，開較一從方得袤六廣五。凡奇數相絫者，開平方即絫次。耦數相絫者，開較一從方，其廣即絫次。明《易》義兼堆垜、開方二術。 極數定象答問 問曰：《易•繫》稱:參五以變，錯綜其數，通其變遂成天下之文，極其數遂定天下之象。極數者何數，定象者何象邪？荅曰：既言參五，則必以三、五爲法矣。夫蓍之德圓，卦之德方。圓方，象也。數不極則象亦無以定。大衍之數五十，其用四十有九，此蓍數也。置四十九倍五十以乘之，又以四十九開方，以掛一減四十九乘之，兩數相併，得五千二百三十六爲實，乃以三乘之，五除之，得三千一百四十一六，是爲圓徑一千之周。其一術曰：置四十九開方，以掛一減四十九乘之，次以掛一加五十乘之，次以天地之數五十五乘之，得九十四萬二千四百八十爲實，乃以三除之，得三十一萬四千一百六十，是爲圓徑十萬之周。其一術曰：置四十九自乘，以掛一減之，以四十九開方乘之，次以掛一加五十乘之，次以天地之數五十五乘之，得四千七百十二萬四千爲實，乃以三五遞除之，得三百十四萬一千六百，是爲圓徑百萬之周。是故三一四一六者，圓徑一之周也。以五再乘其周，退二位得零七八五四者，圓徑一之冪也。以倍三除其周，得零五二三六者，立圓徑一之積也。乘除所得，數也。平圓立圓，象也。徑午貫之，周外規之，文也。如是者爲極其數以定圓，六十四雲、八雲，此卦數也。以八自乘，則六十四爲平方。以四再自乘，則六十四爲立方。以二再自乘，則八爲立方。故一卦未有不爲立方者也。今以三乘五，以五乘三，各得十五，相和爲三之進位，以五除三之進位，得六，六鼈臑成一立方也。以三之進位除五，得零一六六不盡，一鼈臑之數也。鼈臑者，今日三角錐。邪解立方爲兩塹堵，故立方一，則塹堵零五。邪解塹堵爲一陽馬、一鼈臑，陽馬於塹堵三之二，於立方三之一。鼈臑於塹堵三之一，於立方六之一。故立方一，則鼈臑零一六六不盡也。是故爻即鼈臑，三畫之卦即塹堵，六畫之卦即立方。一立方者，六鼈臑，故一卦得六爻。六十四立方者，三百八十四鼈臑，故六十四卦得三百八十四爻。爻之爲文，《説文》以爲象《易》六爻頭交，今試邪解立方成兩塹堵，此兩塹堵者，一從右方上端邪解至左方下端，成一陽馬、一鼈臑；一從左方下端邪解至右方上端，亦成一陽馬、一鼈臑。以此複合爲立方，則兩鼈臑之大弦必午貫相交焉，此爲六爻頭交。和與乘除所得，數也。鼈臑立方，象也。大弦午貫，文也。且令六十四爲平方，三五和，即其邊矣。三五相乘，即其兩廉一隅矣。令六十四爲立方，三五較，以餘自乘，即其邊矣。三自乘，即其平廉矣。五自倍，即其三長廉一隅矣。和較乘倍所得，數也。平方立方，象也。廉隅與方華離，文也。如是者爲極其數以定方，極之定之，未有不以三五裁製者，苟充其例，以平面方圓相圅三重，得外方圓冪而求內方圓冪，必以五退位再乘之。以立體方圓相圅三重，得外方圓積而求內方圓積，必以三、三除之。〈以三、三除，即二十七除。〉至哉，參五之法，可與探幽洞微矣。 問曰:六十四者，平方立方之冪積皆有之，今上經三十卦，下經三十四卦，其數不均，何也？荅曰：以三乘五、五乘三相和，是上經三十卦也。以三五各自乘相和，是下經三十四卦也。是參五之至變也。 問曰:卦見方數，蓍不見圓數，何也？荅曰：夫圓周四一三一六者，二八、二八、五六、五六連瑣之所成爾。此四數約之皆七也。而四十九約之亦七也。置四十九，以四千四百八十八乘之，則爲圓周者七矣。然四十九不自圓，待與他數相乘而後圓，是以必錯綜之也。〈若用約率四十九開方，即圓徑天地之數五十五。以二五除之，即圓周。四十九開方，以五十五退位乘之，即圓冪。四十九即同徑之方冪。四十九開方，以乘四十九，即立方積。以十五除五十五，以乘四十九，即同徑之立圓積。是亦待錯綜也。〉曰:今所據圓率者，劉徽密率也。於祖氏密率猶微贏，豈數有未極乎？曰：求祖氏率者，以三五遞乘四十九，得七三五，就圓周末位，閒一位減之，即爲三一四一五九二六五矣。祖氏圓率亦以七約其數也。〈以四四八八乘七，即劉氏圓周。以四四八七九八九五乘七，即祖氏圓周。〉雖然，圓率未有至密者也。推圓周者，其位至於鉅萬而無窮，無窮則不可以定象，故知《易》之所論圓率，以三一四一六爲極。 附録 一百九十二觚割圓之術，蓋亦不始劉徽。太史《酷吏傳》雲:破觚而爲圓。既引以爲喻，必曾有其事矣。〈《九章》徑一周三之率，在《方田篇》。度田但取大齊，故不用割圓所得之率。〉雖然，觚直而弧曲，雖絫析至千萬觚，與圓周差至極微，終不可以爲眞圓。若如是求之，爲功愈勤，其愚轉甚矣。孔子曰：觚不觚，觚哉觚哉！蓋古觴器皆同形，其爲觚也，不以六觚八觚爲式，析觚愈多，視之成圓，其實百千觚相櫕爾。〈舊説皆誤，陳祥道直以觚爲八觚，由未知觴器皆圓，觚愈分析，合之轉近圓也。〉劉徽謂觚之細者，與圓合體，是亦言其大齊則然。故屢析六觚，至一百九十二觚之冪，即以消息增加爲三一四一六，以是爲圓徑二之冪，即爲圓徑一之周，蓋不欲竟以積觚爲圓也。徽尚欲求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪，裁其微分。裁其微分雲者，亦不欲竟以積觚爲圓也。雖然，展轉析觚，其數無窮，於圓終不能滿，知其不滿而增周泰過，即有劉歆、王蕃之侈。不增則促，故祖沖之特開盈朒二限以相磑?。盈限即圓外切諸觚之數，朒限即圓內容諸觚之數，朒限以制其過損，盈限以制其過增，其術始精嚴矣。今以圓內容三千零七十二觚求之，得徑一周三一四一五九二一有奇，以圓內容六千一百四十四觚求之，得徑一周三一四一五九二五一有奇，若以圓內容一萬二千二百八十八觚求之，得徑一周三一四一五九二六一九有奇，是即祖氏所謂朒限也。復以圓外切一萬二千二百八十八觚求之，得徑一周三一四一五九二七二有奇，是即祖氏所謂盈限也。盈朒之閒，徑一周三一四一五九二六五，則祖氏所謂正數也。其必取盈朒之閒者，不欲以外切內容諸觚爲圓也。〈析至圓內二萬四千五百七十六觚，得徑一周三一四一五九二六四五有奇。圓外二萬四千五百七十六觚，得徑一周三一四一五九二六七有奇。兩相磑?，正數亦在其閒。祖氏所謂盈朒限者，自指一萬二千二百八十八觚言。然以後諸觚，必曾屢析，方能確定正數耳。〉 夫觚之不可爲直，外切內容諸觚爲圓周所界而不可以泯合，其勢然也。清世割圓者，屢析六觚，至圓之外切內容各五百一十五億三千九百六十萬零七千五百五十二等邊，兩所得數，各四十位，其前九位，與祖氏圓周同，其次十位，亦自相同，則三一四一五九二六五三五八九七九三二三八是也。然其後二十一位，內外自有盈朒之數，以是觀之，不得竟以積觚爲圓明矣。夫內容諸觚，轉析而周轉大；外切諸觚，轉析而周轉小，故前十九位得相似，而後二十一位終不相似。若更析之，則內外相盪，其同者又不止十九位也。然位數愈增，則不同者復在其後矣。今此十九位者，㑶然不可動已。自二十位以次，盈朒之閒，必有正數在焉。而説者遽謂可以混一，則獨斷之見也。其後杜德美以屢乘屢除求圓周，不假句股割圓而數自合，世人驚其瑰奇，以爲至當。然以其術推校，自二十位以次，傾於外切，是亦盈限而已矣。〈圓周盈朒之辨，在弟二十位，則作徑須一萬億丈，方辨周中一忽二忽之較，是其徑長爲地球徑二十四萬有餘，誰作此器，誰具此明者，故算數可較，而實事難譣也。如欲以尺度量取差數，須自氂始。依祖氏圓周九位，尚須作徑一千丈，始得以一氂之差，辨其盈朒二限，是亦不能作也。唯劉、祖二家圓率之差，但須作徑十四丈，其差已差較一氂，如或可就。然作器用木，則片片補苴，中多罅隙，鑄金陶土，工雖至精，邊際不能無小小坳突，磨鑢平之，則或多所甐傷，是以終不可譣也。然則算家求數，必應精密，若以定象制器，但依劉氏圓率足矣。〉 說周量 《攷工記》:栗氏爲量，深尺，內方尺，而圜其外，其實一鬴。按立方一尺，其積千寸，實一百萬分，而容六斗四升，則一升居一萬五千六百二十五分，十斗居一百五十六萬二千五百分也。爲量者若衹求容鬴，方尺深尺已足，何爲圜其外？圜其外者，以容十斗之積也。以方尺之弦爲圜徑，圜外所切大方，積二千寸，實二百萬分，則圜積一千五百七十寸零八百分，實一百五十七萬零八百分。以校十斗之量，盈八千三百分。若是者，何也？《攷工》所謂內方尺而圜其外，與《漢志》劉歆斛法有異。故虛設內方以定弦，此實有內方以容鬴，內方實有，則銅範所占分數，足以減圜積之盈矣。令內方厚二氂零七秒五忽，一面得二千零七十五分，四面得八千三百分，是則方范以內，空積一百萬分，其容六斗四升；方范以外，圜范以內，空積五十六萬二千五百分，其容三斗六升，合之爲十斗也。《漢志》劉歆所作銅斛，用《九章》程米法，以千六百二十寸容十斗，其率與《攷工》有異。雖依擬其法，亦云內方尺，衹爲設數，非實有其物。其圜徑亦不竟用方弦，必有庣旁九氂五豪始足，此周漢斛制之殊也。 栗氏次言:其臀一寸，其實一豆。杜子春雲:謂覆之其底深一寸也。按豆當爲斗，聲之誤爾。上方一尺深一尺而圜其外，則容十斗；下方一尺深一寸而圜其外，則容一斗。劉歆斛式，上爲斛，下爲斗，即依是作之也。次言:其耳三寸，其實一升。劉歆斛式，亦以左耳爲升，然《記》但言三寸，不言其深。且耳深方圜，亦不可知，今無以推求焉。 說漢量 《漢·律曆志》、劉徽《九章注》、《隋·律曆志》所述劉歆斛法，一龠容一千二百黍，合倍之，十合而升，十升而斗，十斗而斛。是一斛容二百四十萬黍，斛積一千六百二十立方寸，即一百六十二萬分。《志》稱：秬黍一爲一分。今以一百六十二萬分之斛，容二百四十萬黍，是六百七十五氂爲一黍之位。所以然者，黍體本圓，以方圓同徑求之，立方徑一分，即十氂，積一千氂。立圓徑一分，即十氂，積五百二十三氂六百豪，是一黍尚不及六百七十五氂。但圓物相合，其閒空隙甚多，故綜計其數，以六百七十五氂而安一黍也。 一斗之圓冪一百六十二平方寸，實一萬六千二百分，以深一寸乘之，即一百六十二立方寸，積十六萬二千分。 依劉徽所定圓周密率，徑一周三一四一六。其積四而一，則方冪一，圓冪零七八五四。以其率求之，應外方冪二百零六寸二十六分四十三氂二十四豪強，內圓冪一百六十二寸。 晉武庫所存劉歆《斛銘》：方尺而圜其外，庣旁九氂五豪。是徑一尺四寸三分三氂二豪，〈方尺之弦一尺四寸一分四氂二豪，又加九氂五豪，兩面相併，得加一分九氂，故徑一尺四寸三分三氂二豪。〉乘方得二百零五寸四十分零六十二氂二十四豪，方冪不足八十五分八十一氂，以求圓冪，不足六十七分三十九氂五十一豪強，於一萬六千二百分中約少二百四十分之一，是以祖沖之以爲算術不精也。今試以一尺四寸三分六氂爲徑，乘方得二百零六寸二十分零九十六氂，方冪尚少五分四十七氂二十四豪，以求圓冪，尚少四分二十九氂八十豪強，〈以深一寸乘之，圓積尚少四十二分九百八十氂強，其中容穀少六十四黍弱。〉故祖沖之必求一尺四寸三分六氂一豪九秒三忽爲徑，然後無朒。今試以其數乘方，得二百零六寸二十六分五十氂零三十三豪有奇，方冪增多七氂零九豪強，以求圓冪，增多五氂五十七豪強，然以祖氏圓率又較劉徽爲密，故增多之數尚小於是。 劉徽圓率，徑一周三一四一六。故方冪一，圓冪零七八五四。祖沖之圓率徑一周三一四一五九二六五。故方冪一，圓冪零七八五三九八一六二五。今以一尺四寸三分六氂一豪九秒三忽乘方，得平方二百零六寸二十六分五十氂零三十三豪三十二秒四十九忽爲方冪。以圓冪率零七八五三九八一六二五乘之，得平方一百六十二寸零零零一氂七十八豪二十六秒十三忽七十七微七十二纖五四九六二五爲圓冪。是故以深十寸乘之，全斛得積立方一千六百二十寸零零零一分七百八十二氂六百十三豪七百七十七秒二百五十四忽九百六十二微五百纖，尚盈一百六十二萬分之一七八二六一三七七七二五四九六二五，於全量二百四十萬黍，盈黍二粒三分粒之二弱，是爲最密之數。 案：圓率至劉徽始有定論，至祖沖之益密。自劉徽以往，率亦不同，《宋書·天文志》稱：吳時王蕃以爲徑一不啻周三，率徑四十五，周一百四十二。是則徑一周三一五五五不盡也。今依劉歆斛法，以徑十四寸三分三氂二豪，冪一百六十二寸求周，得徑一周三一五五六強。是王蕃圓率，實本劉歆，而以約率便算者也。劉歆圓周大於劉徽、祖沖之，故依劉、祖之率，則歆斛不滿一千六百二十寸。若秦九韶、錢塘謂徑一周三一六二有奇，是周又大於劉歆也。 若張衡圓周，又大於秦、錢二率。《開元占經》引祖?《渾天論》云：張衡日月共徑，當天周七百三十六分之一、地廣二百三十二分之一。案此而論，天周分母，圓周率也。地廣分母，圓徑率也。以八約之，得周率九十二，徑率二十九，其率傷於周多徑少，衡之疏也。〈以上祖《論》。〉依其數，以徑除周，率徑一周三一七二四有奇。〈戴氏依《九章•少廣篇》注推校張衡圓率，徑一周三四六四三五弱。此則周率過大，恐《九章注》引衡術有誤。〉 《九章》之爲量也，以千六百二十立方寸程米一斛。劉歆爲之，而量不能滿其寸。雖然，斛斗升合皆圓，圓率苟同，則以十相進，無有所損。吏民之用量也，求十合而升，十升而斗，十斗而斛，則止矣。非曰尺寸之度必合於《九章》也。必求與千六百二十立方寸密合者，非沖之之術，無以定也。 黍稷稻粱之屬，大體立圓。而正橢又異，以入量則多空隙，縱橫相補，不能同㮣，而盈朒生焉。故古者程米之術，亦得其大齊爾。律管容黍，一器而前後不同。市人之善量者，取米十斗，端手量之，振撼量之，其差率在二升以上。然則劉歆斛法較《九章》程米，一斛之寸，少二百四十分之一，一斛之黍，朒四合二勺稍弱，〈歆斛所朒實止四合二勺稍弱。《九章》劉徽《注》稱：王莽銅斛，以徽術計之，於今斛爲容九斗七升四合有奇，此以魏斛莽斛相較，故云然，非以莽斛與眞積一千六百二十寸者相較也。〉固不足論。若以徽率准之，作徑一尺四寸三分六氂，一斛之寸，少三千七百七十分之一，一斛之黍，朒二勺三分勺之二弱，彌不足計矣。然沖之必求密合者，非獨以《九章》斛法相課，凡斗斛之用，受穀而外，亦以量水，黍有進退，而水無假借也。取同積之方器以注水，則舒促自見矣，豈徒以算術競勝云爾。