平面國 · 01 平面國的性質

這個世界 「不要懊惱，這是一個廣大的世界。」 [5] [5] 引自莎士比亞的《羅密歐與朱麗葉》，第三幕第三景。 我把我們的世界叫作「平面國」。 其實，我們並不真的這樣稱呼我們的世界，我這麼命名只是為了更清楚地向你們解釋這個世界的本質。各位快樂的讀者，你們能夠生活在立體空間中可真是一件非常幸運的事情。 你們可以把我們的世界想像成一張巨大的紙。在這張紙上，線段、三角形、正方形、五邊形、六邊形以及其他各種圖形都可以自由移動。但是，這些圖形既不能從紙面上浮起來，也不能沉到紙面以下，它們只能在這張紙所代表的平面中移動（我們平面國的人會說「平面中」而不是「平面上」，因為我們沒有「上」或「下」的概念。我們只有這一個平面，所有東西都在這個「平面中」）。 平面國中的這些圖形很像你們空間國中的影子——但不是虛影，而是邊緣發光的實際物體。如果你們能想像這種情況，就已經基本知道我們的國家以及我國居民大概是怎麼回事了。啊！幾年前我恐怕還會把我們的「國家」稱為我們的「宇宙」，但現在我已經有了更深的見解。 相信你們已經意識到，平面國中不可能存在任何你們稱之為「立體物」的東西。但我敢說，有些讀者肯定覺得，既然平面國中有各種不同圖形，那麼我們至少應該可以區分三角形、正方形，以及其他形狀吧？你們要是這麼想可就錯了。事實上，平面國的居民不可能憑視覺區分不同的形狀，因為除了線段以外，我們看不見、也不可能看見任何其他東西。接下來就讓我解釋一下為什麼會這樣。 請各位讀者在你們的空間國中找一張桌子，然後把一枚硬幣放在桌面上。這時，如果你彎腰俯視桌面，就會看到桌子上的硬幣呈一個圓形。 接下來，請向後退幾步，並逐漸降低視線，直到目光和桌面邊緣齊平。隨著視線的降低，一開始呈圓形的硬幣在你的眼中會變成橢圓形，並且這個橢圓形會變得越來越扁。在這個過程中，你看到的情形越來越接近平面國的居民們每天看到的情形。 最終，當你的視點完全與桌面邊緣齊平時，你眼中的硬幣將不再是一個橢圓，而會變成一條線段——恭喜，現在你已經在用平面國居民的視角觀察事物了。 其實，你放在桌上的東西不一定非得是圓形的硬幣，也可以放三角形、正方形，或者用硬紙板剪出來的任何形狀。不管什麼圖形，只要你的視角從俯視逐漸變為沿桌面平視，就一定會經歷以上的變化。一旦視線與桌面平行，並且視點恰好與桌子邊緣一樣高，你就會發現你眼中的圖形不再具有二維的形狀，此時任何圖形看起來都是一條線段。 下面，讓我來舉一個等邊三角形的例子——在我們的國家中，等邊三角形是受人尊敬的商人。現在，一位平面國的商人在你的桌子上躺好了。 首先，你彎腰俯視桌面，此時商人的樣子會像圖1那樣。 接著，你變換視角，不斷降低視線的高度，於是你看到的商人會逐漸從圖1的樣子變為圖2的樣子。 最後，你的視線基本與桌面平行，此時商人變成了圖3里的樣子。 不難想像，如果你的視線能與桌面完全齊平的話，這位可敬的商人（即這個等邊三角形）在你眼中就會變成一條線段。在平面國中，我們看到的商人正是一條這樣的線段。 當我在你們的空間國中遨遊時，我聽說你們世界中的水手在航海時也會遇到類似的情況。當你們的水手瞭望遠處地平線上的島嶼和海岸線時，他們常常只能看到一條連綿不斷的灰色線段。那些遙遠的陸地實際上可能有著複雜的地形——海灣、海峽，數目不一、形狀各異的凸出和凹進，但遠處的水手無法憑肉眼分辨這些地形（除非此時陽光很強，水手們才有可能通過光影的投射看出陸地的實際形狀）。 在平面國中，當一位熟人向我們走來，也正像空間國水手眼中的海岸線。平面國沒有太陽或其他光源，因此就沒有影子，所以我們無法像空間國的居民那樣，憑藉光影辨別形狀。我們只會看到對面來者所呈現的線段變得越來越長；而當他遠離我們時，這條線段則會越來越短。 這位朋友的實際形狀可能是三角形、正方形、五邊形、六邊形、圓形，或者其他任何你能說得上來的形狀，但在我們眼中他永遠只能是一條線段，而不可能是任何其他的形狀。 說到這裡，恐怕你們會產生這樣一個疑問：既然所有形狀在平面國居民眼中都是線段，那麼我們究竟要如何把朋友區分開來呢？你們有這種疑問真是再自然不過了，但我現在還不能告訴你們這個問題的答案。等一會兒我會專門介紹平面國居民的性質，那時我就可以更準確、更方便地回答這個問題了。 現在，讓我們先把這個問題暫時放一放吧。在下一節中，我打算簡略談談我們國家的氣候和房屋的情況。