歷算全書 · 卷四十三

欽定四庫全書 厯算全書卷四十三 宣城梅文鼎撰 方程論卷四 刋誤 古之為學也精故其立法也簡而語焉不詳闕所疑而敬存其舊無臆參焉斯善學也已不得其理而強為之解以亂其真古人之意乃不可見矣意不可見而訛謬相仍如金在沙淘之汰之沙盡而金以出故刋誤次之方程之誤厥有數端 一曰立負之誤【立負誤也四色五色期於立負以為法誤之誤也自騾馬逓借一問諸書沿訛而加減之誤因之矣】 一曰加減之誤 同加異減一誤也【誤沿於牛羊豕相易之一問由不知正負之有更也】 奇減偶加二誤也【誤沿於桃梨問價以不知和較之交變也】 一曰法實之誤【以上為法下為實拘也以法必少實必多亦謬也】 一曰倂分母之誤 一曰設問之誤【如井不知深而以除法為井深問中先已大誤】 立負辨 立負非古人法也何以知之有負則有正今立負而不言正非正負之本防也或曰有正則有負則言負可不言正矣是又不然凡和之變而較也有減其和數而盡者亦有減其和數而余者其減而盡者命為適足而無較數則但言此之為負以見彼之為正可矣若減而余者是有較數也而但言負不言正何以知其較數必與正物同名乎即使同名而竟不明言其為正何以分別同異而為加減乎至於以有空位而立之負則又不可何也和之或變而較也固不必以空位也但減余分在兩行而兼用之即變較數矣今必以有空位者而立之負則無空位者即不立負乎然則和數之無空位者終於同減而無異並乎將進退失據矣故曰非古人法也 凡言正負者分其物以相較也不言正負者合其物以言數也皆自然而有之名非立之也而立負乎哉夫不知正負之出於自然而強立之負則同異之防淆而加減之用失種種謬誤縁之以生故謹為之辨今以諸書所載立負例攷定如左 假如米四石二斗以馬一騾二驢三載之皆不能上坡若馬借騾一騾借驢一驢借馬一則各能上坡問馬騾驢力各幾何 畣曰馬力二石四斗　騾力一石八斗　驢力六斗 法各以和數列位【馬借騾一則一馬一驢也騾借驢一則二騾一驢也驢借馬一則三驢一馬也各以其本數加借數而列之干方程法則和數而已】 此三色有空法也中行無馬原只二色故不湏乗減但先以左右兩行首位不空者對乗　又因兩行馬數皆一乗皆如故故徑以對減馬減盡　右騾一左驢三皆無對不減　米各四石二斗亦對減而盡乃視減余騾一在右行驢三在左行分在兩行是有正負也　米亦減儘是正負適足也重列之 論曰此和數變為較數也何以言之兩行之馬相若而其載物又相若則其所偕以共載之騾一與驢三其力亦自相若矣故命之適足適足者以兩相較而成故曰變為較數也然謂之適足可也謂一行俱減盡則不可也減盡者同類之物而其數又同故物與數俱減盡也適足者物非同類而其物之積數則同故其物不能減盡而數則減盡也物不同而數同故曰適足也適足者存之為用也物數俱減盡者清出其一色而不復用也如此三色中雖不能遽知各力然已知驢三騾一之適相當矣則已清出馬之一色而變為二色矣此逓減立法之意也 又論曰減余適足則有正負矣其原列只是和數無正負也諸書以逓借一匹之故而列之曰借又別其本數曰正不知正與負對非與借對也雖逓借一匹其實是本有之頭匹與所借之頭匹共載此米故曰和數逮減余乃變為較耳故減余適足宜言正負也而諸書但立負原列和數無正負也而忽分正借又不立負於減之後而立於其先正也借也立負也三者相亂而靡有指實古人之法固如是乎哉 次以中行原數與減余對列　因中行馬空故徑求也 此和較雜也　減余分正負　中行原無正負 以減余騾負一遍乗中行如故【較乗和也數雖如故但皆以乗法之名名之為負】又以中行騾二遍乗減余得數【和乗較也故仍其正負之名】騾同減盡　驢異並得七為法　四石二斗無減就為實　法除實得六斗為一驢之力　三因驢力得一石八斗為一騾之力【適足故也】以騾力一石八斗減四石二斗餘二石四斗為一馬之力【原右行數】 論曰減余原是騾一與驢三力等乗後得數則騾二與驢六亦等也然則於中行共力中減去二騾而以相等之六驢益之其共之四石二斗亦必與原載等也故並此六驢與原列一驢共七為法以除此四石二斗而驢力可知也　驢三與騾一既等則三驢之所載即騾力也　騾與馬各一共四石二斗則減騾力即馬力也 又論曰此因中行有空故徑求也使其不空自當與左行或右行遍乗而減去其馬與其數乃列兩減余如二色求之此常法也今中行馬空原只二色恰與減余之二色相對故徑相乗減是省一算也諸書皆言因左行騾空故立負騾一與中行對乗不知左行騾空而右之騾一無減猶右之驢空而左之驢三無減也其與中行相對乃用此兩色之減余非獨用左行也蓋左行有馬中行無馬原無對乗之理亦猶之右與中不可對乗惟減余是二色可以對乗雖雲徑求實自然之理勢也而強立之負以用左行乎 有正斯有負立負騾於左行為與何物相對耶以馬一為正耶驢三為正耶其馬一驢三皆正耶既無所指則負為徒立矣 凡言正負者其下數必為正與負之較今所用左行之四石二斗者為是騾一與驢三相較之數耶騾一與馬一相較之數耶將合馬一驢三與騾一相較之數耶則皆無一合矣 凡物有正負者其較數亦有正負此四石二斗者正耶負耶若無正負即是和數不應立負騾矣 若以四石二斗為和數則更非理夫以馬一驢三之共數加一騾力而其數如故理所無也若去一馬用一騾而與驢三共此米抑又不能馬與騾之力原不同乃去一馬加一騾而其數如故理所無也然則此四石二斗安屬耶彼惟不知四石二斗之減盡即為適足故誤至此也 又謂右行俱減盡不知減盡必兩行數同如馬一與米四石二斗也若騾一驢三固未嘗有減也況盡乎方程立法原以對減有盡不盡而得其朕兆若三色俱減而盡其算不立矣惟不知有空位者可以徑求而誤以所用之減余為是左行之原數故也 凡減盡者兩俱減盡不應右減盡而左行獨存若謂復用左行之原數何以不用原列之馬一而加一負騾以為馬一減去故不用則四石二斗何既減而復存耶故以立負騾減馬一為用減余之法則四石二斗不宜存四石二斗為用原列之法則馬一不宜減負騾不宜立破兩法而叅用之一不成矣承譌者遷就多岐抑奚足怪 今試以減余更置則先得騾力如後圖 如前法以一和一較遍乗得數　驢同名減盡　騾異並得七為法　正十二石六斗無減就為實　實如法而一得一石八斗為騾力以驢三除相當一騾之力得六斗為驢力【任於原列左行或右行如法減驢力或騾力得馬力】 論曰凡減余重列之數皆可更置互求何則皆實數也三色減去一色即二色法矣若干減余之適足加以四石二斗則不可以互求故知其誤 又試以原列更置之先減去騾如後圖 如法先以右中遍乗　騾減盡　中行驢一　右行馬二皆無減分正負列之　載米餘四石二斗在右行與馬同名　左行騾空故徑與減余相對　依和較雜法乗之　驢同減盡馬異並七為法　載米異倂十六石八斗為實　法除實得二石四斗為馬力以馬力減四石二斗餘一石八斗得騾力　以馬 力倍之同減四石二斗餘六斗得驢力 試又更之如後圖 如前法先以右中兩行遍乗減去驢余馬一騾六皆無減分正負載米餘八石四斗在右與騾同名乃重列之如前法徑與左行相對遍乗　馬同減盡騾異並七為法　載米異並十二石六斗為實實 如法而一得騾力以次得驢馬力皆如前 論曰凡諸色方程其上下皆可互更如上二圖以空位徑求之法求之無所不合也 又試以原列無空而減余適足者為例如後 假如有三車三槖駝七牛各欲載物六十四石而皆不能勝若車借駝牛各一駝借車牛各一牛借車駝各一則皆能載問三者力若干 畣曰車二十四石　槖駝十二石　牛四石 法以和數列位 如法乗　車皆減盡　甲乙兩行減余皆在乙行和數也　乙丙相減余乙駝二丙牛六是有正負也載物減盡適足也【乙丙載物減盡則不但對減去之物適相當而其減余之駝二牛六其力亦適相當也雖欲不命之適足不可得矣】 乃以和較雜重列之 依一和一較法求得牛三十二為法　載物一百二十八石為實　法除實得四石為牛力　牛六共力二十四石以相當之駝二除之得十二石為駝力以牛力駝力減六十四石餘四十八石車二除之得二十四石為車力【用右行原數】 論曰此亦以和變較而有適足之數也豈以有空位而立之負乎可以悟其非矣 試更以較數求之 假如運糧以象馬牛車三種但云接運時以三象所載與四牛車二十四馬載之則餘三十六石以八牛車所載與二象十二馬載之亦餘三十六石以七十八馬所載與二象二牛車載之亦餘三十六石問各若干畣曰象七十二石　牛車二十七石　馬三石 法以較數列位 如法互乗減並重列其餘【中行每加二分一則首位象與右齊同可對減矣其中左象本同徑以對減皆省算法也】 依省算法求得馬三十載九十石以馬除載得三石為馬力　馬九十載二百七十石牛車十除之得二十七石為牛車力　合計牛車四馬二十四共載一百八十石異加正三十六石象三除之得七十二石為象力【用右行原數】 論曰此原列較數也而其較數亦有減而適足者然則先無適足減之而成適足者往往有之矣 惟適足故分正負非以空位而立負也故知減余之亦有適足而復用左行者非矣知用減余而非用左行則立負之非不攻而破矣 同加異減辨 同名相減則異名相加矣諸書所載忽而同減者忽而異減忽而異加者忽而同加豈不謬哉又為之説曰以正為主則同減而異加以負為主則異減而同加又為之説曰同名相乗則其下同減而異並異名相乗則其下異減而同並言之縷然用之紛然而要之非是也夫同名相減即如盈朒章兩盈兩朒相減也異名相併即如盈不足相併也豈有同加異減之理乎所以誤者不知正負交變之法也正負宜變而不變則首位之異名者何以能對減而盡乎不得不遷就其法同加異減矣苟知其變則首位必同名首位既同名則凡減皆同名凡加皆異名較若畫一何必紛紛強為之説乎 凡減余重列有仍其負正如故者亦有更其正負絶非其故者且有先無正負及其重列而有正負者有先分正負及其重列之而反不分者若但以初名為定則加減皆舛矣 假如同減之餘分在兩行而為同名【或左余正右亦余正或左余負右亦余負】則重列必為異名矣必變其一行之名而列之而其下所餘數必是此二異名物之較數也若無餘數必是此二異名物相當適足也【此以三色言之若四色以上減余位數多者皆仿此論之】 若同減之餘分在兩行而為異名【或左余正而右余負或左余負而右余正】則重列必為同名矣而其下所餘數必是此二同名物之和數也【此亦以三色言之其減余只二色故也】則其原列正負之名皆不用矣 若異倂者尤為易見何也凡異並者正與負並也正與負並則如一物矣故重列之際必以一行為主而定其名【或為正或為負或變和數則無正負】若但守初名而不知所變將一物而名之正又名之負乎必不然矣兼此數端知正負之交變出於自然非強名也【不知正負之變亦不知和較之變矣故又有奇減偶加之誤也】 今以諸書所載同加異減例考定如左 假如以牛二羊五作價易豬十三剰價五兩以牛一豬一易羊三適足以羊六豬八易牛五不足三兩問價各若干 畣曰牛價六兩　羊價二兩五錢　豬價一兩五錢 列所問數 先以右行牛正二遍乗中左兩行得數【中右首位同名故正負不變右左首位異名故變左行之正負以從右亦為以少從多】 次以中行牛正一遍乗右行皆得原數　乃以中右兩得數對減　牛各正二同名減盡　羊異名【右正五中負六】並得十一豬異名【右負十三中正二】並得十五　價無減【右正五兩中適足】仍得五兩　於是分正負以價與羊為同名而重列之【羊右正中負豬右負中正故仍為較數價與羊同為正於右行故仍為同名】次以左行牛負五遍乗右行得數【左行既變以從右則右行不變仍其正負】乃以左右兩得數對減　牛各正十同名減盡羊異名【右正廿五左負十二】並得三十七　豬同名【右負六十五左負一十六】減餘四十九【在右】　價同名減【右正二十五兩左正六兩】餘十九兩【亦在右】　於是亦分正負亦以價與羊同名而重列之　羊與余豬原分正負於右故仍為較數價與羊同為正於右故同名 列兩減余 如法以兩正羊遍乗得數　乃對減　羊同減盡豬同減餘十六為法　價同減餘二十四兩為實法除實得一兩五錢為豬價　以豬十五價二十二兩五錢異加正價五兩【共二十七兩五錢】羊十一除之得二兩五錢為羊價　任於原列中行羊三價七兩五錢內減豬價一兩五錢餘六兩為牛價 論曰凡列正負可以任意呼之要在知下價之於正負孰為同名耳若乗後得數則其首列一位必以同名而相減故正負有時變而其價之正負從之變矣故同異加減必以乗後得數而定也如此所列左右行先為一正一負異名之價而乗後得數必為同名之價何也兩價皆與牛同名而牛在首列得數必同名故也若以羊更置首列則兩價得數必異名何也價與羊於右同名而於左異名也 試更列之於後 上　　　　中上　　　中下　　　下 如法以中行羊與左右兩行互遍乗得數相減　羊同減皆盡　右中牛異並三十七　豬異並一百十八　價異並四十五兩【價與牛同名】中左牛同減餘九豬異並三十　價九兩無減【與牛同名】 乃以兩減余各分正負而重列之 如法以牛互遍乗而變左行之正負以相從　牛同減盡　豬同減餘四十八為法　價同減餘七十二兩為實　法除實得豬價以次得牛羊價合問　試又更之 如法以中行豬與左右兩行互遍乗得數相減　豬同減皆盡右中羊異並一百十八【右負中正】　牛同減餘四十九【余負在中】　價同減餘一兩【余負在右】　分正負【以價與羊同名】　左中羊異並三十【中正而左負】　牛異並十三【中負左正】　價三兩無減【中之負數】亦分正負【以價與牛同名】　皆重列之 如法互乗羊同減盡牛同減餘六十四兩為法價異並三百八十四兩為實法除實得牛價六兩以次得羊價豬價 論曰反覆求之皆同減異加別無他術可見古人立法之簡快奇減偶加辨 方程立法只同名相減異名相加盡之【和數有減無並皆同名也較數有減有倂或同名或異名也和較交變故減並相生】不論二色三色四色乃至多色皆一法也今諸書不察偶見瓜梨一例有奇減偶加之形不得其觧遂執為四色之定法而不知通變使方程一章之法為徒法而莫可施用深可惜也故覼縷辨之今將梨一問考定如後 假如有二梨四共價四十文又梨二榴七共價四十文榴四桃七共價三十文一桃八共二十四文問各價幾何畣曰八文　梨六文　榴四文　桃二文 法以和數列位　依四色有空以省算法求之 惟甲丁兩行有如四色故先以相乗　減盡甲梨四丁桃十六皆無減　價餘八文　分正負【梨甲桃丁故也】以價與桃同名【同在丁行故也】　減盡矣而余行皆無則只三色故徑以減余之數與乙行相對 如法互乗　梨同減盡　榴二十八【左正】桃三十二【右負】皆無減價異並一百七十六文【右負左正】 隔行之異名乃同名也以和數列之不分正負又以余行無梨則只二色徑以減余與丙行列之【於後】 如法乗減榴減盡餘桃六十八為法價一百三十六文為實法除實得桃價二文　以丙行桃七價十四文減共三十文餘十六文悉榴價也榴四除之得榴價四文　以乙行榴七價二十八文減共四十二文悉梨價也梨二除之得梨價六文　以甲行梨四共二十四文減共四十文除十六文悉價也二除之得價八文 論曰此和數變為較數而較數復變和數也何以言之初次減余價八文乃桃多於梨之價故曰變為較數也【桃十六價三十二文梨四價二十四文差八文】何以知之餘數分在兩行也【桃十六在丁行梨四在甲行】何以知桃多於梨桃與價同在丁行故同名也然所用分正負者是甲丁兩行之減余非但以丁行空位而立負也又因乙丙位皆空故用此減余徑與乙行相對是省二算也乃徑求也非專用丁行為主也減余較也乙行和也一和一較故有異名相併而非以偶行故加也 若第二次減余則復是和數何也其相併一百七十六文乃桃榴之共價【桃三十二價六十四文榴二十八價一百十二文共此數】而非其較數故曰復變和數也何以知之桃與榴雖分余於兩行而異名然隔行之異名乃同名也【乙行榴正價亦正減餘桃負價亦負兼而用之變為同名矣】至於立負之非此尤易見蓋既變和數無正負矣雖兩遇空而無減豈得謂之立負乎又因丙行梨亦空故徑用減余與之對減是又省一算非以丁行對丙行也而顧曰立負榴於丁行誤之誤矣減余變和丙行相對是兩和也故有減而無並也而豈以奇行之故而減也乎哉　今試以甲丁之行易之則加減全非矣 如法以甲丁行對乗減盡　桃十六【甲】梨四【丁】皆無減　價相減餘八文【甲】　乃分正負以價與桃同名而重列之與乙行相對 如法乗　桃同減盡　榴六十四【左正】梨二十八【右負】皆無減　價同減餘四百二十四文　依前論隔行之異名即同名也不分正負而重列之與丙行相對 如法減榴　余梨六十八為法　四百○八文為實法除實得梨價六文以次得諸物價皆如前 論曰此但更其前後之行耳而價皆同減無異並可見奇減偶加之非通法矣　又試以上下之位而更之 如法以甲丁先乗減去梨盡　余榴二十八【甲】四【丁】皆無減　價相減餘八十文【甲】依前論分正負以價與榴同名而重列之與乙行相對 如法乗減榴盡　餘桃一百九十六【左正】一十六【右負】皆無減　價相減餘五百二十文【左正】依前論復變和數不分正負而徑與丙行重列之 如法減桃　余六十八為法　價五百四十四文為實　法除實得價八文以次得諸物價皆如前 論曰此亦有同減無異加固不以奇偶之行而有別也若以甲丁減余更置之則亦有異並之用如後圖 論曰此下價何以倂異名故也何以異名凡一和一較方程在和數行者其得必與較首位同名故其較數之價與首位同名者則亦與和價同名也其與首位異名者與和價亦異名也 先用丙行何也以有故可與余相減亦可見行次之非定也　理之不定乃其一定凡事盡然泥一端以定之轉不定矣 又論曰此亦復變為和數也何以知之正榴正價皆右負桃負價皆左以之並為一行則無正負矣蓋隔行 如法減桃　余榴六十八為法　價二百七十二文為實　法除實得榴價四文以次得諸物價皆如前 論曰兼此數端知加減非闗行數矣 統宗歌曰四色方程實可夸湏存末位作根芽若遇奇行湏減價偶行之價要相加諸書仍訛又推而至於五色六色皆雲以末位為主而自首行以往皆與之加減至其所以加減者又皆以行之奇偶如一行三行五行奇數也則價與末行減二行四行偶數也則價與末行加而不言同異名將奇行者皆同名乎偶行者皆異名乎未可必也不知彼所設問各行逓空兩位勢必挨列雖雲四色乃四色之有空者耳非四色之本法也【省算卷辨之極詳可以互發】既挨列矣余行之首一色皆空不湏乗減惟末行首行相對可以互乗非用末行乃用上一色相對之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又當以中行先用矣雖欲以末行為主得乎 至於第二次重列而乗減者乃用首行末行相減之餘也非専用末行也葢兩行相減乃生餘數若謂之用末行亦可雲用首行矣 又因各行多空故徑以減余與次行乗減得數又徑以減余與三行乗減乃省算之法於末行毫不相渉也 且方程之行次非有定也其前後可以互居左右中可以相易亦何從而定之為末行乎末行無定矣又安有奇偶之可言乎而以是為加減之定法乎 然則惡乎定曰詳和較以列減余別同異以定加減苟其和數也雖空無減不立正負也苟其較數也雖無空位分正負也此列減余之法也但同名者不論何行皆減但異名者不論何位皆加此定加減之法也如是而已 法實辨 算家法實皆生於問者之所求如有總物若干總價若干而問每物若干價則是以物為法價為實也或問每銀一兩得若干物則是以價為法以物為實也諸算盡然則方程可知矣算海説詳曰中余為法除下實蓋本統宗然其説非也同文算指曰以少除多其説亦非也何以明之曰方程法實猶諸算之法實也故必於問者之所求詳之中下多少非可執也 假如和數方程有物若干又物若干共價若干是物之位在上中而價之位在下也若問每物之價而以物為法銀為實是中除下也固也或問每銀一兩之物而以銀為法物為實又當以下除中矣不知問者之所求以物求價乎以價求物乎愚故曰中下難執也 又物之價值莫可等計有賤於銀之物以一兩而得數千百斤有貴於銀之物以數十百金而得一物假如有貴物若干又若干共價若干是物之數少而銀之數多也而問每物之價謂之以少除多似也若問每銀之物不又當以多除少乎又如有賤物若干又若干共價若干是物之數多而銀之數少也而問每銀物若干謂以少除多可也若問每物價若干不且以多除少乎惟以多除少故有不滿法之實實不滿法故有以法命之如雲每銀一兩於物得幾分之幾者是也其物多除銀少者則有退除為錢若分厘故曰多少難拘也 多少中下既不足以定法實則法實安定曰亦惟於問意詳之而已　今具例如後 論曰方程法實只是以下一位與上中數位相湏為用耳故有實一而法二其三色者則有實一而法三若以下除中者則有法一而實二或法一而實三故用互乗之法以減之及其用也則只是一法一實而已二色者互乗而對減其一則一法一實也三色者對減其一又對減其一亦一法一實也四色五色其法悉同此方程立法之原也 問河工方九百尺以當築城八百尺城多一工以河工七百二十尺當城工七百尺城多二工問每工一日若干尺 畣曰河工每日六十尺　城工每日五十尺 如法乗減　余城工五萬四千尺為實　工一千○八十為法法除實得每工五十尺為城工每日之數以城工五十尺除右行八百尺得十六工同減負一工餘十五工以除河工九百尺得每工六十尺為河工每日之數 論曰此以下除中也縁所問每工一日土若干尺以工求土也故以工為法土為實若拘中法下實則法實反矣 若問每土千尺該用幾工則當以五萬四千尺為法一千○八十工為實法除實得百分工之二是為每城工一尺之數以所問每千尺乗之得二十工是為城工每千尺用工二十日也　若用異同除則以土千尺乗一千○八十工得一百○八萬工為實以法五萬四千尺除之得二十工為城工每千尺之數亦同 於是以二十工乗八百尺【用右行原列】千尺除之得十六工減負一工餘十五工河工九百尺數也以九百尺除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺數也以問千尺乗之得十六工又三分工之二為河工千尺之數　用異乗同除以千尺乗十五工得一萬五千工九百尺除之得十六工又九之六約為三之二亦同 問開渠十七工築堡二十工共以立方計者一千六百八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲計土續工則每百尺得幾工 畣曰開渠每土一百尺【二工半】築堡每土一百尺二工 如法乗減　余堡工八十為實　土四千尺為法法除實得每尺百分工之二以百尺乗之得二工為築堡每百尺之工【或異乗同除以百尺乗八十工得八千為實以法四千尺除之亦得每百工二工】　以左行堡工四十乗百尺二工除之得二千尺以減共三千二百尺餘一千二百尺渠土數也用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二工半為開渠每百尺之工【或異乗同除以百尺乗三十工得三千以一千二百尺除之亦得每百尺二工半】 論曰此亦以下法除中實也縁所問以土求工故也又為以多除少蓋土之數原多於工也故退除而得其分秒而所問者每百故又有異乗同除之用也並分母辨 自方程笇失傳有可以方程立算亦可以差分諸法立算者則皆收入諸法而不知用方程如愚末卷所載方程御襍法是也有實非方程法而列於方程如同文算指所収菽麥畦工諸互乗之法是也有可以方程算而不用方程漫以他法強合而漫謂之方程如並分母之法是也諸互乗法非方程易知不必辨故専辨分母 問甲乙二窖不知數但云取乙三之一益甲取甲二之一益乙則各足二千石 畣曰甲窖一千六百石　乙窖一千二百石 原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相減餘二千石為實並兩分母共五為法除之得四百石以乙分母三乗之得一千二百石為乙窖以乙窖減二千石餘八百石以甲分母二乗之得一千六百石為甲窖 論曰此法不然乃偶合耳若分母為三與四即不可用或分子為之二之三亦不可用況方程法原無平列兩色物之理而此獨平列既平列矣又何以先得乙窖皆不合也今以方程本法御之則無所不合 依帶分化整為零法列位 如法乗減　甲減盡　余乙五分為法　餘二千石為實　法除實得四百石為乙之一分以乙分母三乗其一分得一千二百石為乙窖　以乙之一分減二千石餘一千六百石為甲窖 論曰此亦用五分為法也然為得數相減之餘非並分母也所用之實亦二千石然為甲分互乗之數相減非甲乙兩分母互乗相減也 亦先得四百石為乙三分之一然以乙列於中甲列於上故先減去甲而余乙為法以先得乙之分若列乙於上則亦先得甲分矣試更列之以先求甲窖 如法乗減　乙減盡　甲餘五分為法　餘四千石為實　法除實得八百石為甲之一分以甲分母二乗之得一千六百石為甲窖 以甲之一分減二千石餘一千二百石為乙窖 論曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先得其一色何也其互乗而對減者皆實數也若並分母為法則無實數可言故不可以互求 愚於帶分言之備矣或化整為零【如上所列二例是也】或變零從整或除零附整共有三法凡帶分者皆可施用若並分母為法則多所不通矣　凡此皆諸書沿誤而同文算指亦皆收入未嘗駁正也 試以分母非三與二者求之 假如有句股不知數但云以股四之一益句以句三之一益股則皆二丈二尺問句股各若干 畣曰句一丈八尺　股一丈六尺 依化整法列位 上　　　　中　　　　　下 如法乗減　余股十一分為法　四丈四尺為實法除實得四尺為股之一分以股分母四乗其一分得一丈六尺為股 以股之一分減共二丈二尺餘一丈八尺為句 論曰此十一為法也若以股列於上則亦十一分為法也如並分母將以七為法其能合乎 又試以分子非之一者求之 假如有股與不知數但云若取六分之二以益股則五丈五尺若取股三分之二以當則少五丈五尺問若干 畣曰股三丈　七丈五尺 法以一和一較依化整法列位 如法互乗　股同名減盡　異名並得二十二分為法　數異名並得二十七丈五尺為實　法除實得一丈二尺五寸為之一分以分母六乗其一分得七丈五尺為　以之二分二丈五尺減共五丈五尺餘三丈為股 論曰此以二十二為法也若以列於上則亦二十二為法也而並分母是將以九為法矣豈不毫釐千里乎 以上數則皆不可並分母為法 問者或雲甲乙倉粟不知數但知共二千石其甲二之一與乙三之一等各若干 畣曰甲八百石　乙一千二百石 法以和較襍列位亦用化整為零 徧乗甲同減盡　乙異並五分為法　二千石無減為實　法除實為乙之一分　以乙分母三乗其一分得一千二百石為乙倉　因適足故乙之一分猶甲之一分也以甲分母二乗之得八百石為甲倉 論曰惟此有似於並母然實非並分母乃並得數之異名者也又按並母法與方程不同 假如有倉粟取三之一又二之一共計二千石問原數若干 畣曰原數二千四百石 法以兩母互乗其子而並之得五為法　以兩母相乗得六以乗二千石得一萬二千石為實　法除實得二千四百石為原倉之粟 論曰此即並母法也因兩分子皆一故並母用之實並兩分母互乗其子之數也蓋既曰三分二分其原數必可以三分之又二分之者也故以兩分母相乗得六借為原數之衰原數六則三之一即二也二之一即三也並而用之借為所取之分如雲取原數六分之五而二千石也六分之五為二千石則其全數必二千四百石矣此通分法非方程 設問之誤辨 算家設問以為規式意雖引而不發數則實而可稽苟其稽之而無有真實可言之數則其意不能自明而何以為式乎至其立法之多違於古皆以不深知算理而臆見橫生又相因而必至也故以設問為之目 今將同文算指所載井不知深例考定如後余如此者尚多不能一一為辨也【錢塘吳信民九章比類亦載是例非同文創立也蓋方程之沿誤久矣】 問井不知深以五等繩度之用甲繩二不及泉借乙繩一補之及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一用丁繩五則借戊一用戊繩六借甲一乃俱及泉其井深若干五等繩各若干 原法曰列五行以五繩之數為母借繩一為子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一為井深積列位 一甲二　乙一　　○　　○　　　○　七百二十一二○　　乙三　　丙一　○　　　○　七百二十一三○　　○　　　丙四　丁一　　○　七百二十一四○　　○　　　○　　丁五　　戊一　七百二十一五甲一　○負一　○負一　○負一　戊六　七百二十一乃取五行為主而以一二三四俱與相乗 先以一行甲二遍乗五甲【甲一得二戊六得十二積七百二十一得一千四百四十二】 五行甲一亦遍乗一行對減【甲得二減盡乙得一因五行乙空立負一積七七百二十一本數以減五行仍餘七百二十一】 次以二行乙三乗五行【乙負一得負三戊正十二得三十六積七百二十一得二千一百六十三】 五行乙負一亦乗二行【乙三得三對減盡丙一得一因五行丙空立負一積七百二十一得本數併入五行積共二千八百八十四】 再以三行丙四乗五行【丙負一得四戊正三十六得一百四十四積二千八百八十四得一萬一千五百三十六】 五行丙負一亦乗三行【丙四得四減盡丁一得一因五行丁空立負一積得本數與五行對減餘一萬○八百一十五】 又以四行丁五乗五行【丁負一得五戊正一百四十四得七百二十積一萬○八百一十五得五萬四千○七十五】 五行丁負一亦乗四行【丁五得五減盡戊一得一併入五行戊正七百二十共七百二十一積得本數併入五行積五萬四千○七十五共五萬四千七百九十六】 乃以最後所得求之以積五萬四千七百九十六為實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減四行總積【七百二十一】餘六百四十五以丁五除之得丁繩一丈二尺九寸以減三行積【七百二十一後同】餘五百九十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸以減二行積餘五百七十三以乙三除之得乙繩一丈九尺一寸以減一行積餘五百三十以甲二除之得甲繩二丈六尺五寸 論曰此一例中有數誤　一者以末行為主而以一二三四與之相乗此由不知和較交變而沿奇減偶加之失誤一　一者謂末行有空故立負由不知有空徑求而沿立負之非誤二　一者以除法命為井深而設問不明言丈尺誤三　又輒立母逓相乗加借子一之法誤四　一例中誤至數端將令學者何所措意乎 前之兩誤【謂以未行為主而奇減偶加反立負之法】業於梨諸例辨之綦詳可以互見今特明後兩誤之非具如後論 凡言百十者皆虛位也其實數以單位為端故單位為寸則十者尺百者丈若單位為尺則十者丈百者十丈若單位為丈則十者十丈百者百丈七百二十一以為井深不知其所謂一者尺乎寸乎丈乎若七百二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚懸然其為七百二十一者不殊也先不明言尺寸雖得數何以命之 詳觀問意乃借井深以知各繩故井深者和數也在各行中皆所列諸繩之共數必先知此共數然後以乗減之法求之而各數乃見矣而不先言井深轉借各繩以求之方程中無此法也故其所得但為七百二十一之虛率而不能防其為丈尺何等亦固然耳 七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一則一千四百四十二若三其七百二十一則二千一百六十三推之以至於無窮凡可以七百二十一除之而盡者皆可以五等繩相借而及泉也故使其井為一丈四尺四寸二分之深則戊繩必一尺五寸二分丁繩必二尺五寸八分丙繩必二尺九寸六分乙繩必三尺八寸二分甲繩必五尺三寸矣使其井為二十一丈六尺三寸之深則戊繩二丈二尺八寸丁繩三丈八尺七寸丙繩四丈四尺四寸乙繩五丈七尺三寸甲繩七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三則偕丙一若丙四則偕丁一若丁五則偕戊一若戊六則偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率也 七百二十一者除法也以此為法除井深乗並之數而得一繩因以知各繩即不得以此命為井深 除法法也井深實也而以法為實乎 以七百二十一為除法乃繩也如所求先得戊繩之數則此七百二十一者即是戊繩也其五萬四千七百九十六者乃七百二十一戊繩之共數也以戊繩七百二十一為法除其共數而得七十六則是一戊繩之數也故七百二十一者繩也五萬四千七百九十六者井深也【假如一井深七丈二尺一寸則七十六井共深五百四十七丈九尺六寸井無此深乗並而有也數猶戊繩之七百二十一亦以乗並而得也】而顧以繩之積為井深之積乎 假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其為戊繩之共數必一百○九丈五尺九寸二分而其戊繩亦必七百二十一以七百二十一為法除一百○九丈五尺九寸二分得一尺五寸二分則一戊繩之數矣故曰七百二十一者非井深也乃除法也繩也繩之為除法者有定而其所除之井深無定也 又輒立母子乗並之法夫以各繩為母而借繩為子未大失也蓋於三繩中取一即是三之一於四繩取一亦即四之一也乃謂七百二十一為母相乗而加借子則非也蓋位既迭空除首位減去外皆母與相乗乗子與相乗而不相遇至第四次乃相遇而又適當其變為一和一較之時異名相併故得此數以為除法耳固不得立此以為通法也 假如問五色方程而各行不空則和較之變多端豈預知其減並即使各行有空如所列而或為較數則有減而無並亦將以借子加之乎 又所加之一乃子相乗之數若遇借子為之二之三則皆不能徑用其原借之子數也故曰非通法也今試以井深一丈四尺四寸二分者舉例如後 假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等繩汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及泉問繩各長若干 法以帶分和數列位 上上　上下　中上　中下　下上　　下下 依空位省算先以一行與五行對乗　甲減盡　乙一戊十二皆無對不減　和數餘一丈四尺四寸二分　乙在首行　戊與一丈四尺四寸二分在五行分正負列之　和變較也　余行無甲繩不湏減 徑以減余與次行相對 依和較相襍法互乗　乙繩同減盡　丙一【左正】戊三十六【右負】皆無減　和較數異並五丈七尺六寸八分【右負左正】　復變和數不分正負【隔行異名並故也】 依和數乗　丙繩減盡　丁繩一【左】戊繩一百四十四【右】皆無減　和數減餘二十一丈六尺三寸【右】又復變和數也分正負列之 余行又無丙繩徑以減余與第四行相對 上　　　　　中　　　　下 依和較相襍乗　丁同減盡　戊異並七百二十一為法　和較數異並一百○九丈五尺九寸二分為實　法除實得一尺五寸二分為戊繩六之一　以減共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸為丁繩五除丁繩得二尺五寸八分為丁繩五之一　以 減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺八寸四分為丙繩　四除丙繩得二尺九寸六分為丙繩四之一以減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺四寸六 分為乙繩　三除之得三尺八寸二分為乙繩三之一　以減共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸為甲繩　二除之得五尺三寸爲甲繩二之一　以減共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分爲戊繩 計開 論曰此亦七百二十一為除法也減並之用與前無異而井深既別繩數迥殊不先言丈尺何以定之試又以較數明之 今有數不知總其五人所分亦不知各數但云取乙三之一以當甲取丙四之一以當乙取丁五之一以當丙取戊六之一以當丁取甲二之一以當戊皆不足七百一十九問若干 畣曰甲一千○三十四　乙九百四十五　丙九百○四　丁九百二十五　戊一千二百三十六 法以較數列位 依帶分法化整爲零 如法乗　甲同減盡　乙一【左負】戊十二【右負】皆無減同名在隔行仍分正負　較數異並與戊同名　余行無甲徑以減余對第三行 如法乗　乙同減盡　丙一【左負】戊三十六【右負】皆無減以隔行同名分正負　較數異並與戊同名　余 行無乙徑以減余對第四行 如法乗　丙同減盡　丁一【左負】戊一百四十四【右負】皆無減　以隔行同名分正負　較數異並仍與戊同名　余行無丙徑以減余對末行 如法乗　丁同減盡　戊同減餘七百一十九為法較數異並一十四萬八千一百一十四為實　法 除實得二百○五為戊之一分加正七百一十九共九百二十五為丁數　五除丁數得一百八十五為丁之一分加正七百一十九共九百○四為丙數四除丙數得二百二十六為丙之一分加正七百一十九共九百四十五為乙數　三除乙數得三百一十五為乙之一分加正七百一十九共一千○三十四為甲數　二除甲數得五百一十七加負七百一十九共一千二百三十六為戊數　六除戊數仍得二百○六為戊之一分 計開 論曰此其母與母相乗子與子相乗與前略同但末後相遇為同減故不以七百二十一為法而以七百一十九為法無他較數也若依母相乗而並子豈不誤哉 且四次乗減其下較皆異倂亦足見奇減偶並之非又以法同而得數迥異者明之 今有數五宗不知其總但云以乙三之一當甲以丙四之一當乙以丁五之一當丙以戊六之一當丁皆適足若以甲二之一偕戊則共數七百二十一問各若干 法以和較帶分列位　化整為零 甲同減盡　乙一【左負】戊一十二【右正】皆無減　一千四百四十一亦無減　隔行異名即同名也變為和數重列之與次行對 乙同減盡　丙一【左負】戊三十六【右正】四千三百二十六【右正】皆無減　皆隔行異名亦變和數重列與第三行對 丙同減盡　丁一【左負】戊三十六【右正】一萬七千三百○四【右正】皆無減隔行異名仍變和數重列與第四行對 丁同減盡　戊異並七百二十一為法　八萬六千五百二十無減就為實　法除實得一百二十為戊六之一即丁數　五除之得二十四為丁五之一即丙數　四除之得六為丙四之一即乙數　三除之得二為乙三之一即甲數　半之得一為甲二之一以減共七百二十一餘七百二十為戊數 計開 甲二　乙六　丙二十四　丁一百二十　戊七百二十論曰此亦以七百二十一為法而其各數迥不相類則以下數之為和為較迥不相同也然則井深者即和數也而不先言其丈尺顧以除法命之可乎 又試以分子逓借而非之一者明之 今有甲乙丙丁船各十隻以載鹽九千七百七十六引俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四則各能載問各船若干 法以和數列位 列後 甲減盡　乙四【右】丁一百【左】皆無減　以兩行故分正負　載鹽餘五萬九千八百五十六【左】與丁同名甲空與減余對次行 乙同減盡　丙八【左正】丁一千【右負】俱無減　引異並六十三萬八千四百六十四【右負左正】異名在隔行復變和數無正負　乙空以減余對三行 丙減盡　丁餘九千九百七十六為法　引餘六百三十萬○四千八百三十二為實　法除實得六百三十二引為丁船數　以丙借丁船三乗丁數得一千八百九十六以減共九千九百七十六引餘八千○八十丙所載也以丙十除之得八百○八引為丙船數　以乙借丙船二乗丙數得一千六百一十六以減共九千九百七十六引餘八千三百六十乙所載也以乙十除之得八百三十六引為乙船數以乙船數減共九千九百七十六餘九千一百四十甲所載也以甲十除之得九百一十四引為甲船數計開各船每隻載數 甲船九百一十四引 乙船八百三十六引 丙船八百○八引 丁船六百三十二引 論曰此四色方程逓借法與諸書所載馬騾載米同亦與同文算指井不知深同但彼誤以除法為井深又誤立各母逓乗加借子法故設此問以顯其理 此所用除法丁船九千九百七十六猶彼所用除法戊繩七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而井深無定即如此問九千九百七十六之除法有定而鹽之數無定也何言乎無定假如以九千九百七十六引而倍之則各船之所載亦倍矣以引數半之船所載亦半矣然其除法之九千九百七十六如故也若不先言引數何知之 共載九千九百七十六引者鹽數也以九千九百七十六為法而除者船數也船為法者算家虛立之率鹽列位者問者現據之實數數雖偶同為用逈別 以各原數為母借數為子是也如甲借乙船一而乙船原有十即十分之一也謂母相乗而加借子一則非法也如此所用除法九千九百七十六何以處之又如後條馬歩舟師各借二分者又何以處之數雖似不可施之他數非通法矣 又試以三色例亦用異加得除法者觀之 假如有馬歩舟師不知數但云取騎兵五分之二益歩取歩卒三分之二益舟取舟師七分之二益騎則皆得六千七百八十名 畣曰歩卒四千五百名　騎兵五千七百名 舟師三千七百八十名 法以和數帶分列位 依省笇以左行加二分之一　步卒減盡　騎二分【右】舟師十分○半【左】皆無減　共數減餘三千三百九十【左】分余兩行變較數也　以較數與舟師同名中行步卒原空徑以減余作二色列之 依省算四因左行而退位　騎同減盡　舟師異並十一分三厘為法　和較數異並六千一百○二為實　法除實得五百四十為舟師之一分　以分母七乗之得三千七百八十名為舟師數 以舟師數減共數六千七百八十餘三千所借步卒之二分也　二除之分母三乗之得四千五百為歩卒數 以歩卒數減共數六千七百八十餘二千二百八十所借騎兵之二分也　二除之分母五乗之得五千七百名為騎兵數 論曰此雖以異加而得除法然不得竟以子之二加也故以分子一加者非通法也 厯算全書卷四十三