歷算全書 · 卷三十八

欽定四庫全書 厯算全書卷三十八 宣城梅文鼎撰 筆算卷五 開平方法 測量句股全恃開方開方有平有立而平之用博以其有實無法故別為一術以佐乘除之所窮 平方者面羃也其形正方故亦為自乘之積開平方者以自乘之積求正方之邉故西法謂之測面其邉謂之方根法先列實　依除法作兩直線以所用方積列於右直線之右自上而下至單位止無單作○ 次作防定位　自單位作一防起毎隔一位防之有一防則商一位【如有二防則商數有十有三防則商數有百】 次定初商　皆自原實最上一防截定為初商之實【如防在首位即以一位為初商實防在次位即合兩位為初商實】以自乘數約而商之皆以防處為本位防上一位為進位【本位者單數也如一商一四商二九商三其自乘皆本位不論百與萬以上皆作單數用進位者十數也如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有進位不論千與萬以上上皆作十數用】 又法　以初商實入表皆視初商實有與表同數或稍大於表數者用之以命初商【如一商一四商二此與表數相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表數稍大也若至九則商三又為相同之數矣十至十五皆商三皆比表數稍大至十六商四又為相同之數他皆仿此】初商表【凡初商三以下減積在本位四以上減積合兩位此表明之】 用表防法【但視初商實不滿表上自乘積者退一格即商數如不滿○四即商一不滿○九即商二他仿此】既得商數即書於左直線之右皆對初防之進位書之【凡商得一二三四書於防之上一位】五以上又進一位【凡商得五六七八九書於防之上兩位】次減實　以初商數自乘書於左直線之左皆以本位對初防【如初商一二三自乘一四九皆本位即對初防書之如初商四五六七八九其自乘皆有進位則以下一字對初防】就以此命為減數以對減右直線所列方積如減積不盡則有次商次商之法　倍初商得數為次商亷法對原實位書於右直線之左【視實冇二防則初商是十有三防初商是百四防初商是千各取倍數對原列方積千百十零之位書之倍而言十者亦進位對之】截原實第二防為次商之實【次商減積至此防止】以廉法約實為次商數【並依除法約之】挨書於初商之下即用次商數為隅法亦書於廉法之下為次商廉隅共法【省曰次商法】以與次商數相乘書其數於左直線之左【皆以法首位所乘之進位對次商數書之若言如之數亦以○位對之法有幾位徧乘而挨書之　至次防止　又法先以法尾位隅法乘次商數以本位對次防書之進位上一字書之依乘法例自下而上法有幾位皆徧乘而迭進書之至次商數止亦同】命為次商減積數以對減右直線余積而定次商【皆減積至次防止】如減數大於余積則改次商【亦改隅法】如上乘減及減而止次商減積不盡則有三商 三商之法　合初商次商數倍之為廉法【簡法只以隅法加倍増入次商法內即三商廉法】截原實第三防為三商之實【三商減積至三防而止】余並同次商如減積不盡則有四商 四商以上並同三商法 審○位之法　若次商廉法大於苐二防以上余積或數適相同是商得○位也【凡商得一數者其減積必與廉法同而多一數以為隅故僅同者無隅積也即不能商一數而成○位】則書○於初商之下以當次商亦增○於亷法之下為三商亷法三商以上有○並同【若應商幾位而於初商或次商即已減積至儘是末幾位皆商得○也俱補作○】命分之法　若已商得單數而仍有餘積當以法命之【以商得方根倍之加隅一為分母不盡之數為分子命為幾分之幾】雖未商得單數而余積甚少不能成單一數亦以法命之【前審○位雲亷法大於余積者但取第二防以上相較不論千百十零其所謂不能商一數者或是一千或是一百不拘定是單一也故商○之後仍有所商與此不同】 還原法以商得方根自之有不盡者以不盡之數加入之即得原實又簡法作直線於左方以應減之積依並法並之必合原實有不盡數亦加入之並同除法還原 初商本位式【凡初商一二三者減積言如在本位　初商一二三四者書商數於防之上一位然以書商數之位言之亦本位也兩本位法此一式中皆可明之】 假如有方田積二百五十六步問每面方若干 答曰每面方十六步 列實【作兩直線列方積於右直線之右】作防定位【自單位起毎隔一位作一防共兩防宜商兩次　初商是十】 初商【防在實首位即以實首位○二為初商實以自乘數約之得一為初商初商是一宜對防上一位書於左直線之右有兩防初商是一十自乘一百為減數書左線之左遙對右行初防○二百書之就以對減初商實於二百內減一百仍余餘一百改書之初商減積未盡有次商】 次商【倍初商一十作二十對原列方積十步位書於右線之左為亷法　以第二防余實一五六為次商實用亷法約實可商七步因無隅積只約六步為次商以書於初商之下即用六步為隅法以書於亷法之下合亷隅共二十六步為次商法以乘次商六步得亷積一百二十步隅積三十六步皆對次商位書起每挨一位書之至次防止共得次商減數一百五十六以對減余實恰盡】共開得平方根一十六步合問 甲乙丙丁四形合為正方形【四面皆一十六步】甲分形正方【四而皆十步積一百步即初商積】丙丁二分形皆長方【廣六步長十步積六十步兩形共積 一百二十步即次商廉積】 乙小分形亦正方【面皆六步積三十六步即次商隅積】自乘還原法置方一十六步為實即以 十六步為法乘之得二百五十六步合 原數 初商進位式【凡初商四五六七八九減積言十在進位初商五六七八九書商數於防之上兩位凡書商數以防上一位為本位則此其進位也兩進位法此一式中皆有之】 假如方積三十五萬八千八百零一尺問方若干答曰方五百九十九步 列位【同前】 作防定位【有三防宜商三次初商是百】 初商【防在實次位即合兩位三五為初商實入表表中有小於三五者是二五其方根五即以五為初商數對實初防上兩位書左直線之右又即以表中自乘數二五遙對實三五書於左直線之左就以對減初商實餘一○改書之以待次商】 次商【倍初商五百作一千○百對實千百位書於右直線之左為亷法　以第二防上余實一○八八為次商實用亷法約之得九為次商續書於初商之下即以次商九為隅法書亷法之下合亷隅共一○九為次商法以乘次商九得亷積九隅積八一對次商位書起至次防止共得減數九萬八千一百以減次商實餘一○七改書之以待三商】三商【以次商隅法九十倍作一百八十於次商法一千之下抹去○九改書一八共一一入為亷法　以第三防上余積一○七○一為三商實用亷法約之得九為三商續書於次商下即以三商九為隅法書於亷法之下合亷隅共一一八九為三商法以乘三商九步得亷積一萬○六百二十隅積八十一對三商位書起至第三防止共得減數一萬○七百○一以對減三商實恰盡】凡開得方根五百九十九尺 初商甲【方五百尺積二十五萬尺】次商【丁戊】二亷【各長五百尺濶九十尺共積九萬尺】隅乙【方九十尺積八千一百尺】 三商【已庚】二亷【各長五百九十尺濶九尺共積一萬○六 百二十尺】隅丙【方九尺積八十一尺】七形合成正方共積【三十五萬八千八百○一○】 商○位式 假如方積八十二萬六千二百八十一尺問方若干答曰九百○九尺 列位 作防定位【並同前條】 初商【防在次位合兩位八二為初商實表入表得八一小於八二其方根九即為初商在五以上對初防上兩位書之亦以表數八一對實八二書於左線之左以減初商實余○一改書之以待次商】 次商【倍初商九百作一千八百對原實位書之為亷法以第三防上余實○一六二為次商實以亷法約之法大實小不能商一數是商得○位也紀○於初商之下即於實首位銷去一○余俟三商】 三商【因次商是○增○於廉法之下共一八○為亷法以第三防上余實一六二八一為三商實用亷法約實得九尺為三商書於次商○之下即以九為隅法書於亷法之下共亷隅法一八○九以乘三商九得亷積一萬六千二百隅積八十一減三商實恰盡】凡開得方根九百○九尺 計開 初商方九百尺　積八十一萬尺 續商亷【各濶九尺長九百尺】共積【一萬六千二百尺】　隅方九尺積【八十一尺】通共八十二萬六千二百八十一尺 假如方積二十五億○七百○○萬四千九百尺問方若干答曰五萬○七十尺 列位【原積尾位是百補作兩○列之】作定位【有五防當商五次　初商是萬】 初商【以實首兩位二五為初商實入表得五為初商書於防上兩位次以自乘數對實列之相減盡】次商【倍初商五萬尺得一十○萬為亷法對原實位書之以第二防上余實○○○七為次商實實有三○無可商是次商○也書○於初商五之下亦於實首銷去一○以待三商】 三商【因次商○增○於亷法下得一○○為亷法　以第三防上余實○○七○○為三商實實仍有兩○位是三商亦○也又書○於次商○之下於實首復銷去一○以待四商】 四商【因三商亦○又增○於亷法之下得一○○○為亷法以第四防上○七○○四九為四商實用亷法約之得七十尺書於三商○之下即以七為隅法增於亷法下共亷隅法一○○○七以乘四商七得亷積七百萬隅積四千九百以對減四商實恰盡】 五商【五防宜有五商而四商已減實盡無可商作○於四商】 凡開得方根五萬○○七十○尺 命分式 假如方積五百七十六萬四千八百尺問方根若干答曰二千四百尺【又四千八百○一分尺之四千八百】 列位【實盡於百位如前法補作兩圏列之】作防定位【有四防宜商四次初商是千】 初商【以實首○五為初商實入表得二為初商以自乘數○四減實○五改書餘一以待次商】次商【倍初商二千得四千為亷法　以第二防上余實一七六為次商實用廉法約之得四為次商即以為隅法書廉法下共亷隅法四四以乘次商四得亷積一百六十萬隅積一十六萬共減積一百七十六萬次商實減盡】 三商【倍次商隅法四作八增入次商法共四八為三商亷法以第三防上余實○○四八為三商實有兩○無可商作○於三商位消去實首一○以待四商】 四商【三商○亦增○於亷法下共四八○為亷法以第四防上余實○四八○○為四商實僅與亷法相同是無隅積也不能商一數作○於四商位其不盡之數以法命之法以亷法四千八百○加隅一共四千八百○一為命分之母以不盡之數四千八百為分子命為四千八百○一分尺之四千八百即一尺弱也】 共開得平方二千四百尺又四千八百○一之四千八百 此雖未開至單尺之位而余實甚少不能成一單尺故即以法命之若余實是四千八百○一尺則商得平方二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不能成一單尺也 開方分秒【凡開方欲知分秒法於余實下毎増兩○位則多開一位為分秒之數　平方之積尺有百寸寸有百分皆以百為母故增兩○】 假如有平方積二十四尺平方開之得方四尺不盡八尺問分秒若干　答曰方四尺零八寸九分八厘九毫有奇 如常列位作防防在次位即以 二四兩位合商得方四尺減其 自乘一十六尺餘八尺用命分 法以商四尺倍作八尺又加隅 一得九為命分母不盡為分子 命為方四尺又九分尺之八 今欲知其寸【九分尺之八者是以尺作九分而今有其八言毎方四尺之外仍此畸零是其中有寸】法於余實下加兩○化八尺為八百寸【毎尺縱橫十寸故其積百寸】用為次商實以初商四尺倍之得八尺亦化八十寸【商數是毎邉之數故尺只十寸】對余實十寸位書之【即第一○位】為亷法用廉法約實可商九寸因恐無隅積只商八寸書於初商四尺之下亦即以次商八寸為隅法書於廉法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得亷積六百四十寸隅積六十四寸共亷隅積七百○四寸自次商位書起至第二○位止以對減余實仍餘九十六寸命為奇數 凡商得毎方四尺八寸有奇 再求其分 法於實下又加兩○以餘九十六寸化九千六百分【解見上】為三商實　商數四尺八寸亦化四百八十分倍之為九百六十分移對余實百分十分之位書之為亷法以亷法約實商得九分為三商書次商之下亦即以三商九分為隅法書於亷法九百六十分之下共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷積八千六百四十分隅積八十一分共積八千七百二十一分自三商位書起至第四○位止以對減余實仍餘八百七十九分命為奇數 凡商得每方四尺八寸九分有奇 再求其厘 法於余實下又加兩○以餘八百七十九分化八萬七千九百厘為四商實　次倍商數四尺八寸九分作九尺七寸八分化為九千七百八十厘移對余實依千百十之位書之為亷法　用亷法約實得八厘為四商書於三商之下即以四商八為隅法增於亷法末共亷隅法九千七百八十八厘以乘四商八厘得亷積七萬八千二百四十厘隅積六十四厘自四商位書起至第六○位止以減余實仍餘九千五百九十六厘 凡商得每方四尺八寸九分八厘有奇 再求其毫 如法於余實下又加兩○化余實為九十五萬九千六百毫為五商實　次倍商數四八九八作九尺七寸九分六厘化為九萬七千九百六十毫為亷法移對余實萬千百十之位書之用亷法約實得九毫為五商書四商下亦即以五商九為隅法增入亷法下共亷隅九萬七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷積八十八萬一千六百四十毫隅積八十一毫對五商位書起至第八○位止以減余實仍餘七萬七千八百七十九毫 凡商得方四尺八寸九分八厘九毫又九萬七千九百七十九之七萬七千八百七十九即奇數也 右單數下已開四位【尺為單位析為寸分釐毫凡四位】其不盡者是不滿一毫之數於單數為十萬分之一【如欲再求忽微亦如上法】 開方縱【縱者長方形也以方為濶加縱數為長其法與方無異但須以商得數乘縱數為縱積併入方積以減原積不及減者改商之其次商亦倍初商加縱為亷法但倍方而不倍縱　三商以上並同】 假如有長田積六百二十四步濶不及長二步問長濶各若干答曰長二十六步濶二十四步 列位【以實列右線之右　以縱二步列右線之左對實步位列之】 如常作防定位 初商【以○六為初商實商得二十步自乘應減方積四百步又以商數乘縱二步得縱積四十步如法列之以減原實仍餘一百八十四步】 次商【倍初商二十步作四十步加縱二步共四十二歩為亷法以約余實得商四步即以為隅法合亷隅縱共四十六用乘次商四得亷積一百六十步隅積十六步縱積八步共減積一百八十四步恰盡】命為濶二十四步　　加縱二步為長二十六步 合問 以圖明之 甲為初商方形【長濶各二十步積四十步】已初商縱形【濶二步　長亦二十步積四十步】戊丙並次商廉【長各二十步　濶四步　積八十步】乙次商隅【方四步　積一十六步】丁次商縱亷【長四步　濶二步　積八步 以上五者合之為一長方形共長二十六步　濶二十四步 積六百二十四步合原數】 若縱數有比例可求者先以比例分其積平方開之得濶因以知長 假如有直田積四百五十步但云長多濶一倍問長濶若干 答曰濶十五步　長三十步 法平分其積得二百二十五步平方開之得濶十五步 置濶十五步倍之得長三十步合問 假如有長田積二百五十二步但云長比濶多四分之三問長若干 答曰　濶一十二步長二十一步 法以多三分加分母四共七為法以分母四乘積為實法除實得一百四十四步開方得濶一十二步置濶一十二步七因四除之得二十一步為長【長比濶多九步於十二步為四分之三】 開立方法 平方者方田之屬也但取面羃之積立方者方倉之屬也必求其內容之積故平方曰面立方曰體有面而後有體有線而後有面故皆以線為根 假如長二尺者線數也線有長短而無廣狹若以此線橫展之長亦二尺濶亦二尺則其積四尺為面面者平方形也面有濶狹而無厚薄又以此面層累而厚之長濶皆二尺高亦二尺則其積八尺為體體者立方形也立方有虛有實如築方台則實鑿方池作方窖則虛然其立方之積數一也 法先立位【同平方】　作防【自單位起每隔二位防之以最上一防為初商實】　定位【視有若干防則商幾位如有二防則商數有十有五防則商數有百並同平方】 初商法　以自乘再乘數約而商之【如一商一八商二二七商三之類】書商數於左線之右【凡商得一數者書於防上一位商得二三四五者書於防上兩位商得六七八九者書於防上三位】即以自乘再乘數書於左線之左以對減初商實【初商減積至初防止】 次商法　以初商自乘而三之為平亷法【亦曰方法】　以初商三之為長亷法【亦曰亷法】皆對原實千百位書之　截第二防上余實為次商實【次商減積至次防止】以平亷法約實得次商【列初商下】即以次商為隅法列長亷次【亦按千百位列之】乃以次商乘平亷法為平亷積又以次商自乘以乘長亷及隅法為長亷小隅積俱挨書之以減余積不及減者改商 三商法　以余實另列之　合初商次商自乘而三之為平亷法　合初商次商三之為長亷法　截第三防上余實為三商實【三商減積至此防止】　亦即以三商為隅法【余並同前】 四商以上並同三商 命分法　合平亷長亷法再加隅一為命分母不盡之數為命分子【並同平方】 還原法　置商數自乘得數再以商數乘之即合原實【有不盡者以不盡之數加入之】 初商表【用法與平方表同】 假如立方積五千八百三十二尺問方若干 答曰方一十八尺 列實 作防定位【有兩防初商是十】 初商【以五千為初商實約商一十自乘再乘得一千為應減積減原實餘四千】 次商【以初商自乘而三之得三百為平亷法　又以初商三之得三十為長亷法　以平亷法約第二防上余實得八尺為次商即以為隅法並如法列之乃以次商乘平亷法得二千四百為平亷積又以次商自乘得六十四以乘長亷及隅法得長廉一千九百二十隅積五百一十二共減積四千八百三十二恰盡】 以圖明之 甲為初商方形【長濶皆十尺積一千尺】乙為次商平亷凡三以輔於 方之三面【長濶皆十尺厚八尺積八百尺共積 二千四百尺】 丙為次商長亷亦三以輔三 平亷之隙【長十尺濶與厚皆八尺積六百四十 尺共積一千九百二十尺】 丁為次商隅如小立方以補三長亷之隙【長濶高皆八尺積五百一十二尺】 假如立方積二千二百五十九億七千七百八十一萬一千五百七十尺問方根若干答曰方六千零九十尺【又一億一千一百二十八萬二千五百七十一之一億一千一百二十八萬二千五百七十】 列實【實尾無單位補作○】作防定位【有四防初 商是】 千 初商【合實三位約之商六千對初防上三位列之以六千自乘再乘得減積二千一百六十億其餘積改書以待次商】 次商【日乘初商而三之得一億○八百萬為平亷法以初商三之得一萬八千為長亷法各對原實位列之　以第二防上余實為次商實實首有兩○無可商是次商○也作○於初商之下即於實首消去兩○余俟三商】 三商【次商○即以次商法為三商法　以第三防上余實為三商實以平亷法約之商九十尺即以為隅法對實十位列之乃以九十乘平亷法得平亷積九十七億二千萬又以九十自乘得八千一百以乘長亷及隅法得長亷積一億四千五百八十萬隅積七十二萬九千共減積九十八億六千六百五十二萬九千】 四商【以第四防上余實另列之　合三次商數六○九自乘而三之得一億一千一百二十六萬四千三百為平亷 法　又以六○九三之得一萬八千二百 七十為長亷法　以法約實僅與兩亷法 之數相同無隅積不能成一單數以法命 之合平廉長亷數加隅一為命分母余實 為命分子】 命為立方六千○九十尺又【一億一千一百二十八萬二千五百七十一尺之一億一千一百二十八萬二千五百七十】 自乘　　　　　　再乘 厯算全書卷三十八 比例規用法假如原序 康熙癸未季弟爾素有比例規用法假如之作又五年丁亥重加挍録示予屬為序序曰形而上者不可得而數有數可數即有象可見故算法量法理本相通而尺可為算器也厯書中有書一卷耑明尺算謂之比例規觧比例雲者謂以尺中原有之兩數求今所問之兩數以例相比如古者異乗同除及西人三率之法而有尺以著其象則不煩言説乃作者之意也規雲者謂以銅鐵為規器兩髀翕張用其末鋭分指兩尺上同數以得橫距而命得數則用尺之法也規本畫圓之器於尺為借用故仍其名曰規本觧有作法用法惜無設例罕能用者攜李陳獻可藎謨補作例祗平分一線而已龍舒方位白中通作數度衍以橫尺取數而不用規亦惟平分一線夫平分用止乘除聊足以明異乗同除之理而尺算之善不盡於是若乃平方立方分圓輕重諸術其求法多不以異乗同除為用而數變為線爰生比例即盡歸於異乗同除此其所長也又規端取數毫氂可辨而防移進退簡快靈妙橫距雖無數而取諸本尺其則不逺固勝橫尺矣吾弟此書仍其用規本法自平分以下十線一一為之用例以明之原書謬誤稍為刋正然後其書可得而用為功於度數之學不小也憶嵗乙夘余始購得厯書抄本於吳門姚氏偶缺是觧至戊午秋介亡友黃俞邰太史虞稷借到皖江劉潛柱先生本抄補之葢逾時而後能通其條貫以是正其訛闕又次年己未始為山隂友人何奕美作尺亦稍以己意増損推廣之而未暇為立假如今得爾素是書可以無作矣勿庵兄文鼎序 【方爾素撰此書時安溪相國以冢宰開府上谷公子世得鍾倫鋭意厯算之學余兄弟及兒以燕下榻芝軒與諸同學晨夕問難甚相得也無何爾素挈兒燕南歸相國入參密勿而世得亡兒相繼化去余亦大病濱死然猶能偷視息至今日為爾素序此書不可謂非不幸中幸也憶爾素六十時余有句雲如稼觀登塲如行將百里何以収桑榆無為所生恥今當相與念茲弗替爾勿庵又識】 凡例 按西士羅雅谷自序謂譯書草創潤色之増補之必有其時今之釋例不嫌小有同異所以相成當亦作書者之所欲得也 比例規觧原列十線為十種比例之法今仍之比例既有十種可各為一尺今總歸一尺者便攜也一尺中列十線則一尺而有十尺之用恐其不清故各線之端書某線以別之 各線並從心起數惟立方線初防最大割線亦然又五金線之用近尺末故俱不到心以便他線之書字然其實並從心起算用者詳之【尺心即尺端也兩尺端聫於樞心成一防故從茲起算】