歷算全書 · 卷三十

欽定四庫全書 厯算全書卷三十 宣城梅文鼎撰 籌算一 作籌之度 凡籌以牙為之或紙或竹片皆可長短任意以方正為度 凡籌背面皆平分九行每行以曲線界之為兩半圓狀凡籌背面皆相對第一籌之隂即為第九便檢尋也二與八三與七四與六五與空位皆仿此共五類類各五籌當珠盤二十五位或更加之亦可　外有開方大籌為平方立方之用詳見別卷 籌式列左 作籌之理 凡籌每行以曲線界之成兩位其下為本位上為進位假如本位一兩則進位為十兩 凡列兩籌則行內成三位下之進位與上之本位兩半圓合成一位故也　列三籌則成四位　列四籌則成五位　五籌以上皆仿此 凡籌有明數有暗數明數者籌面所有之數是也暗數者行數也假如第一行即為一數第二行即為二數 凡籌與行數相因而成積數假如第二籌之第四行即為八數第九籌之第八行即為七二數 籌算之資 凡用籌算當先知並減二法今各具一則 並法 並者合也合眾散數為一總數也又謂之垜積　其法先列散數自上而下對位列之千對千百對百十對十單對單以類相附 列訖並為一總數　其法從最下小數起自下而上如畫卦之法　數滿十者進位作暗馬而本位書其零 恐混原數故以此 別之便覆核也 假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二萬六千九百石合之共幾何 如圖散數三宗依法並之為 一總數得三萬五千四百四 十八石 減積法 減者去也於總數內減去幾何則知其仍余幾何也減與並正相反減而剰者謂之減余 其法以應減去之數列左以原有之總數列右而對減之 千對減千百對減百十對減十單對減單 減而盡者抹去之　減而不盡者改而書之 本位無數可減合上位減之假如欲減八十而原數只有七十但其上位有一百則合而減之於一百七十內減八十仍餘九十 假如有銀三十二萬五千三百一十兩支放過二十九萬五千三百○五兩仍余幾何 依法減之仍餘三萬○○○ 五兩 十萬千百十兩 如圖先於三十萬內減二十萬餘一十萬改三為一次減九萬而萬位無九合上位共一十二萬減之 餘三萬抹去一二改書三 次減五千　次減三百　皆減盡皆抹去之書作○次減五兩而兩位無五於一十兩內減之抹去一 ○改書○五　減訖餘二○○○三 凡算有乘有除乘者用並法除者用減法 籌算之用 凡算先別乘除乘除皆有法實實者現有之物也法者今所用以乘之除之之規則也 凡籌算皆以實列位而以籌為法法有幾位則用幾籌如法有十系兩位則用兩籌法有百系三位則用三籌 凡法實不可誤用唯乘法或可通融若除法必須細認俱詳後 乘法 勿庵氏曰凡理之可言者皆其有數者也數始於一相縁以至於無窮故曰一與一為二二與一為三自此以徃巧厯不能盡乘之義也故首乗法 解曰乗者増加之義其數漸陞如乗高而進也亦曰因言相因而多也珠算有因法有乗法在籌算總一乘法殊為簡易 法曰凡兩數相乘任以一為實一為法 假如以人數給糧或以人為實糧為法或以糧為實人為法皆可 凡算先列實【列書之於紙或粉板亦可依千百十零之位列之自左而右】 次以法數用籌乘之 法有幾位則用幾籌 【假如法為六十四則用第六第四兩籌法為三百八十四則用第三第八第四共三籌】 凡乘皆從實末位最小數起 視原實某數即於籌其行取數列之 【假如實是二則取第二行數】 凡列乘數皆自下而上如畫卦 凡實有幾位挨次乗之但次乗之數必高於前所列之數一位 【假如先乘者是單次乗者必是十故進位列之】 乗訖乃以並法並之合問 又法 凡法尾空位者省不乗但於並數之後補作圏於其下以存其位尤為簡捷 如上圖乘訖並得三○ ○○因法尾有空又補 作一圏是為三○○○ ○則知所得三萬 定位法見前 又若田為一畝二分則所得為三合何也畝下有分故得數之三○○其尾○又是勺下之分也此定位之精理須細審之 一四二四四四五七五共九位因實尾空位【無零年故也】用省乘法加一○於末位下共十位而以尾○命為分得一十四萬二千四百四十四日五十七刻五十○分合問 除法 勿庵氏曰天地之道盈虛消息而已無有盈而不虛無有消而不息乘者息也盈也除者消也虛也二者相反而不能相無其數每相當不失毫釐如相報也邵子曰算法雖多乘除盡之矣故除法次之 解曰除者分物之法也原作幾何今作幾分分之則成各得之數而除去原數也有歸除有商除珠算任用籌算則獨用商除為便以意商量用之故曰商除 法曰凡除以所分之物為實今欲作幾分分之為法法與實須審定倘一倒置則毫釐千里矣【假如有糧若干分給若干人則當以糧為實以人之數為法除之蓋糧數是所分之物人數是用以分之之法也若倒用以糧分人則所誤多矣】　凡法有幾位則用幾籌　乃列實【自上而下直書之】　視籌之第幾行中積數有與原實相同者或略少於實者用其數以減原實而得初商　有不盡者如法再商或三商以上皆如之實盡而止　余實不滿法以法命之 凡商數皆以籌之行數為其數【假如所減是等第一行即商一數第二行即商二數】 書商數法曰凡書商數皆與減數第一位相對　若所減第一位是○則補作○於原實首位上而對之【此定位之根】 定位法曰除畢以商得數與原實對位求之皆於法首位之上一位命為單數【程大位曰歸於法前得零古法實如法而一是也】此有二法　有法少實多者從原實內尋法首位認定逆轉上一位命為單數【如米則為單石錢則為單文之類】既得單數則上而十百千萬下而分秒忽微皆定矣此為正法 有法反多實反少者乃變法也法從原實首位逆溯而上至法首位止又上一位命為單數【此是虛位借之以求實數】既得單數乃順下求之命所得為分秒之數 初商除盡式　　　　法此欲分為七十二分也故以七二為 假如太陽每　　　　　法用兩籌 嵗行天三百　　　　實三六○　　如圖先列三百六十度 六十度分為　　　　　百十　　　為實次簡兩籌行內有 七十二每　　　　　　　　　　三六○與實相同用減 幾何度　　　　　　　　　　　原實恰盡　次查所簡 【答曰】每五度　　　　　　　　　　系籌之第五行商作五又查所減第一位是三將商數五對三字書之 定位法曰此法少於實也宜於原實內尋十度位即法首位也法首再上一位為單度定所得為五度假令實是三千六百則所得為五十度如後圖 定位法曰此亦法少於實也法亦於 原實內尋法首十位再上一位為單 位單位空補作圏再上一位是十度 定所得為五十度用籌同而得數逈 異定位之法所以當明也 再商式　　　　　　法此欲分為一十二分也故以一二 假如皇極經世　　　　為法用兩籌 一元共一十二　　　實　　　　　　如圖列實【一元總數】簡萬九千六百年　　　○一二九六○○籌第一行是○一 分為一十二會　　　　十萬千百十年二商作一數【第一行故】 各幾何　　　　　　　　　　　　　【商一】減實一十二萬 答曰每防一萬　　　　　　　　　　餘九千六百不盡 ○八百年　　　　　　　　　　　　再用籌如法除之又因所減數是○一二故於原實首補作圏而以商得一對此○位書之【即所減籌上第一位也】此定位之根不可錯須細審之 簡兩籌第八行是○九六與余實 相合再商八【第八行故也】減余實九千 六百恰盡 此所減數亦是○九六故以商得 八進位書之以暗對其○ 如此審定商數位置已知不錯而初商次商隔一位不相接是得數有空位也乃於其間補作圏為一○八 假如隔兩位則作兩圏三位以上仿此求之若非於商數審其位置鮮不誤矣此算中一大闗鍵也非此則不能定位 定位訣曰此亦法少於實也從原實內尋法首十位再上一位是單年單位空補作圏又上一位是十十亦 【亦補作圈又上一位是百知所】 【得為八百年　　　　　　也知百知千萬矣定為一萬○八百年假　　　　　　　如黃鐘之法此欲分得二】【千一百八十實一十七萬七乃為一分故以二一八七千】 【一百四十七為法用四籌】 【七其分法二千一百八十】 【七問若干分答曰八十一】 空 二千一百八十七再商之 簡籌第一行是○二一八七正合 余實再商一除實恰盡 次商一進位書暗對所減○位 定位訣從原實尋法首位千逆轉 上一位得單分則余位皆定 按籌算原書於定位頗略又其為法原實橫而商數縱各居其方不相依附定位頗難故雖厯書間有訛位今特詳之而兩兩直書於定位尤易亦足見余之非好為異也 四商法 假如有小珠三十　　　　四此欲分為九分有【為主】奇也萬三千一百五十四故粒【則六分五厘是其奇零九分之分去聲】換得大珠重九錢以為法用籌三根【九六五】六分五厘每大 珠一如後圖列實　　　　先簡籌第錢換小珠【三】 幾何粒行略少　　　　　於【二八九五】實商減答曰【三】每 錢換三萬五實余　　　　實【二十八萬九千】千五【五百五萬三千】 百六十粒以　　　　　　【六百五】續商以錢 次簡籌第【五】行是【四八二五】為略少於余 實商【五】減余實【四萬八千二百五十】仍余【五千 四百○四】以待第三商 原實　　　　　　　又簡籌第【五】行是【四八二五】為略少於余 實又商【五】減余實【四千八百二十五】仍余 商數　　　　　　　　【五百七十九】知尚有第四商也 又簡籌第【六】行是【五七九○】與余實恰合 四次商數俱對首位　　商作【六】除余實【五百七十九】恰盡定位訣從原實中尋法首【單】位逆轉上一位得【單】粒定所得為【三萬五千五百六十○粒】命為大珠每錢所換小珠之數五園問曰法是錢數實是粒數不類也何定位亦如是准乎勿庵曰此定位之法所以的確不易也且錢與粒不類子疑之固矣抑知單與單之為一類乎葢所問是每錢若干故錢數為單位若問每分若干則法首錢數為十位得為【三千五百五十六】矣故定位須詳問意乃要訣也 法有○籌式　　　　　法此欲分作【九百○七分】也故以【九○七】 假如布二萬　　　　　　為法用三籌 一千七百六　　　　　　　　　　　如圖簡籌第【二】行 十八丈給與　　　　　　　　　　　【一八一四】商作【二】減實 九百○七人　　　　　　　　　　　【一萬八千一百四十】余【三千六百】 各幾何　　　　　　　　　　　　　【二十八丈】次簡第【四】行 答曰【每人二　　　　　　　　　　　三六十四丈　　　　　　　　　　　二八】商【四】除實盡以上例皆法少於實故法首在原實中乃本法也 以上兩例皆法多於實者其法首位或在原實中必原實首位也或不在原實中則在其原實上幾位也要之皆不能滿法其所得必為分秒乃通變之法也 論曰除者分也吾欲作幾分分之則為法所分之物為實所分之物能如所欲分之數則為滿法滿法則成一整數假如【三十六】人分布而布有【三十六】丈則各人分得一丈古雲實如法而一正謂此也程大位算法統宗曰歸扵法前得零其意亦同此立法之本意也乃有所分之物原少於所欲分之數是不滿法也既不滿法則不能成一整數而所分者皆分秒之數假如【三十六】人分布【二十七】丈則每人不能分一丈只各得【七尺五寸】是於【一丈】內得其【七分五秒】也然必先知整數然後可以知分秒故必於原實上虛擬一滿法之位若曰能如此則分得整數矣而今不能則所分得者皆分秒也於是視所擬整數虛位距商數若干位而命之若相差一位則得為十之一【如兩有錢尺有寸】隔位則為百之一【如兩有分丈有寸】此乃通變之法要其為法上得零則一而已矣 又論曰此原實即不滿法也若余實不滿法除之終不能盡則以命分之法御之詳後 命分法 法曰凡除法商數至單已極而有餘實不盡者不能成一整數也則以法命之此有二法 一法即以除法為命分不盡之數為得分則雲幾十幾分之幾 解曰命分者以一整數擬作若干分而命之如滿此數則成一整數而今數少故命之也得分者今所僅有之數在命分數內得若干也【命分者古謂之分母得分者古謂之分子】 假如古厯以九百四十分為日法每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五約為四之一【約法見後】 一法除之至盡古厯家所謂退除為分秒是也單下有一位命為十分之幾有兩位命為百分之幾十幾三位則命分千四位則命分萬皆以除得數為得分 假如授時厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五分是以萬分為日即命分也 式如後 假如五尺為歩每方一歩積二十五尺今有積二百四十尺得若干步 答曰九步又五分步之三 如圖列實簡籌第九行是二二 五商作九【第九行故】減實二百二十 五尺餘一十五不盡以法命之 命為九步又二十五分歩之一 十五約為五之三【約分法見後】 若用第二命分法再列余實加 ○位商之以得其分秒如後 余實下加一圈則一十五尺通 為一百五十分可再商矣 簡等第六行是一五○商六分 除余實恰盡 命分九歩六分【即十分歩之六 命分第二法與法多於實除法同故皆曰除分秒也】 若余實為一十六尺則又不盡一尺法當於不盡一○之下再加一圈為一○○使此一尺化為一百分而再除之得四厘共九歩六分四厘【即百分歩之六十四】 約分法 約分者約其繁以從簡也 法曰母數子數平列相減而得其紐數即以紐數為法轉除兩原數而得其可約之分 凡約分相減不拘左右但以少減多如左少右多則以左減右左多右少則以右減左若減之後或多者變而少則轉減之必減至左右相同無可減而止即紐數也【若一減之即得紐數則不必轉減】 解曰紐數者互相減之餘數相等者也以此除兩數則皆可分乃兩數之樞紐 若相減至盡而無紐數者則不可約 假如母數二十五子數一十五約之若干 畣曰五之三 一○　先以【十五】　　復以【一十】　○五 二五　減【二十五】一○轉減【十五】　一○ 一五　余【一十○】一五　余【○五】　　○五 復以【○五】轉減【一十】余【○五左右皆五即為紐數】以紐數【○五】為法轉除母【二十五】得【五】除子數【一十五】得【三】故曰五之三葢母數是五個五子數是三個五也 此轉減例 又如母數九百四十子數二百三十五約之若干畣曰四之一 先以【二百三十五】減【九百四十】余【七百○五】又減之餘【四百七十○】又減之餘【二百三十五】 左右皆【二百三十五】即紐數也 以紐數【二百三十五】轉除母數【九百四十】得【四】除子數【二百三十五】得一故曰四之一 母數是四個【二百三十五】 子數是一個【二百三十五】 此不轉減例 厯算全書卷三十