歷算全書 · 卷十

欽定四庫全書 厯算全書卷十 宣城梅文鼎撰 環中黍尺卷三之四 初數次數法【加減代乗除之法從初數次數而生故先論之】 【上卷之法用角旁兩正相乗今則兼用兩餘故別之為初數次數其法有二其一次數與對弧余相加其一相減也相加又有二一鋭角一鈍角也相減有四或余內減次數或次數內減余而又各分銳角鈍角也】 約法　三邊求角 角求對邊 余次數相加例【銳角法鈍角法各一】 丁乙丙形　有三邊求乙銳角　角旁大弧丁巳【正辛戊余巳戊】小弧丙乙【正丙癸余巳癸】兩正相乗全數除之成初得數戊庚又以兩餘相乗全數除之成次得數戊丑【即卯巳】乃以次得數卯巳加對弧之餘已戌成卯戌【即申戊】 一　初得數　　戊庚 二　【次得數與對弧余相併】申戊 三　半徑　　　亥已 四　角之餘　已干 【以余檢表得乙銳角之度】 若先有角求對邊則反之 一　半徑　　　亥巳 二　角之餘　巳干 三　初得數　　戊庚 四　【次得數與對弧余相併】申戊【以次得數戊丑減之得對弧余丑申即巳戌】 論曰辛戊正與亥巳半徑同為乙丁弧所分則辛戊全與丁戊分若亥巳全與干巳分也而辛戊與丁戊小又若戊庚句與申戊小句也故戊庚與申戊必若亥巳與干巳 若用丁甲丙形其算並同何以明之甲丁者乙丁半周之餘甲丙者乙丙半周之餘其所用正並同又同用丁丙為對角之弧甲角又同乙角皆以干已為余故也 右系對邊小於象限角旁弧異類故其法用加而為銳角 仍用前圖取丁甲寅三角形　有三邊求甲鈍角　角兩旁弧同類　對角邊大為寅丁其正酉戌余戌已　旁弧丁甲其正辛戊余已戊　又旁弧寅甲其正寅壬余壬已　初得數戊庚【半徑除兩正矩】　次得數卯巳【半徑除兩餘矩】 所用三率與前銳角形並同亦以卯已加已戌成申戊為三率所得四率干已亦為甲角之餘【末以余檢表得度以減半周余為甲鈍角之度】 若先有甲鈍角求對邊丁寅則反用其率一半徑亥已二甲角余干已三初數戊庚四申庚末以次數戊丑去減得數甲戊余丑申為對弧余 論曰對弧寅丁系過弧與銳角形對弧丁丙相與為半周之正余度同用酉戌為正戌已為余角旁弧丁甲即乙丁半周之餘度同用辛戊為正戊已為余甲寅弧又與乙丙弧等度其正壬寅同癸丙余壬巳同癸巳故加減數並同所異者對弧大而兩旁弧又同類故為鈍角 若用寅乙丁形其算並同以同用丁寅對弧而兩弧在角旁者寅乙為寅甲半周之餘丁乙為丁甲半周之餘所用之正余並同故也甲角同乙角皆以干已余度轉減半周為其度 右系對邊大於象限而角旁兩弧同類故其法用加而為鈍角 正余交變例 若角旁兩邊以象限相加減而用其餘弧則正余之名互易而所得初數次數不變三率之用亦不變解曰弧小以減象限得余弧弧大以象限減之而用其餘亦余弧也其故何也凡過弧與其減半周之餘度同用一正故過弧內減象限之餘即反為過弧之餘弧亦曰剰弧而此剰弧之正即過弧之餘也 若兩弧內一用余度則其初數次數皆為正乘余半徑除之之數然其數不變何也一弧既用余度則本弧之正變為余弧之餘而其又一弧仍系本度則正不變然則先所用兩正相乗為初數者今不變而為余乘正乎次數仿此 試仍以前圖明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】內減去亥乙象弧其剰弧亥辛之正戊已即乙辛過弧之餘也又亥辛之餘辛戊即過弧乙辛之正也然則先以辛戊正乗丙癸正者今不變為辛戊余乘丙癸正乎然但變其名為余乘正而辛戊之數不變則其所得之初數戊庚亦不變也次數仿論【按此法即測星時第二法所用】 若角旁兩弧俱改用余弧則初數變為兩餘相乘次數變為兩正相乗蓋以正變余余變正而所得之初數次數不變 試仍以前圖明之丁乙丙形乙角旁兩弧乙丁改用辛亥【義見前】乙丙改用丙亥皆余弧也則丙癸辛戊兩正皆變余【丙癸為丙亥弧余辛戊為辛亥弧余】癸已戊已兩餘皆變正【癸已為丙亥弧正戊巳為辛亥弧正】然則先以兩正相乘者今為兩餘然雖變兩餘而其為丙癸與辛戊者不變故其所得之初數戊庚亦不變也次數仿論 總例 凡弧度與半周相減之餘則所用之正同餘亦同 凡弧度與象限相減之餘則所用之正變余余變正 余內減次數例【鈍角法銳角法各一】 丁乙丙弧三角形有三邊 求乙鈍角　丙乙小弧其 正丙辰余辰巳　丁 乙大弧其正癸甲余 甲已　是為角旁之兩弧 不同類　癸干初得數【兩正】 【乗半徑除之數】　午已次得數【兩餘乗半徑除之數】　丁丙對邊大其正壬卯余卯已　對邊大於象限而角旁弧不同類宜相減　對弧余大於次數法當於余卯巳內減去次得數午已余午卯【即艮丁】為二率 一　初得數　癸干 二　【次得數減余】　艮丁 三　半徑　　辛已 四　角余　寅已 對邊大角旁弧異類而次數小減對弧余其角為鈍宜以四率寅已撿余表得度以減半周度其餘即為乙鈍角之度【即寅酉大矢之度】 若先有乙鈍角求對弧則反用其率 一　半徑　　辛巳 二　角余　寅已 三　初得數　癸干 四　【次得數減余】　艮丁 既得艮丁乃以次數加之成卯已余檢表得度以減半周得丁丙對邊之度 凡過弧與其減半周之餘度同用一餘故以余檢表得度以減半周即得過弧 仍用前圖取銳角 丁戊庚三角形【系銳角○此形有三銳角】有三邊求戊角　戊庚小邊其正庚丑余丑巳　丁戊次小邊其正癸甲余甲巳　是為角旁弧同類　初得數癸干【半徑除兩正矩】　次得數午已【半徑除兩餘矩】　丁庚對邊小其正壬卯余卯巳　對邊小於象限而角旁弧同類宜相減次數午已小於對弧余卯已以午已去減卯已余 卯午【即艮丁】 一　初得數　癸干 二　【次得數減余】　艮丁 三　半徑　　辛已 四　角余　寅已 對邊小角旁弧同類而次數小去減余其角為銳宜以四率寅已檢余表得戊銳角之度 若先有戊銳角度求對邊丁度則反用其度 一　半徑　　辛巳 二　角余　寅已 三　初得數　癸干 四　【次得數減余】　艮丁 以所得艮丁加次數午已檢余表得丁庚對邊之度因銳角角旁弧同類次數小於余得數後宜加次數為對邊余 論曰丁戊庚形與丁乙丙形為相易之形故丁戊為丁乙減半周之餘戊庚等乙丙此兩弧所用之正余並同則初數次數亦同矣而丁庚對弧亦丁丙對弧減半周之餘則所用余邊又同加減安得不同 次數內轉減余例【銳角法鈍角法各一】 丁乙丙形三邊求乙角【系銳角】　丙乙小邊正辰丙余辰已　丁乙大邊正癸甲余甲已　是為角旁之兩邊不同類　初得數甲干【半徑除兩正矩】　次得數午 已【半徑除兩餘矩】　丁丙對邊 大正壬卯余卯已 對邊大而角旁弧不同類 宜相減　次數午已大於 對弧余卯已法當於午 己內減卯巳余午卯【即甲艮】 為二率 一　初得數　　甲干 二　【余減次數之餘】　甲艮 三　半徑　　　辛巳 四　角余　　寅已 對邊大角旁弧異類而次數大受對弧余之減其角為銳宜以四率寅已檢余表得乙鋭角之度【即寅辛矢度】若先有乙角而求對邊丁丙則反用其率 一　半徑　　　辛巳 二　角余　　寅己 三　初得數　　甲干 四　【余減次數之餘】　甲艮 末以所得甲艮轉減次數午已得對弧余卯巳檢表得度以減半周為對弧丁丙度 前圖取鈍角 丁戊庚形三邊求戊角【系銳角】　戊庚小邊正丑庚余丑巳　丁戊次小邊正癸甲余甲巳　是為角旁兩弧同類　初數甲干【半徑除兩正矩】　次數午已【半徑除兩餘矩】　丁庚對邊小正壬卯余卯巳　對邊小而角旁兩弧同類宜相減　次數午巳大於對邊余卯巳當於午巳內減卯已余午卯【即甲艮】 一　初得數　　甲干 二　【余減次數之餘】　甲艮 三　半徑　　　辛巳 四　角余　　寅已 對邊小角旁弧同類而次數大內減去余其角為鈍宜以四率寅巳檢余表得度以減半周得戊鈍角之度 若先有戊鈍角而求對邊丁庚則反用其率 一　半徑　　　辛已 二　角余　　寅巳 三　初得數　　甲干 四　【余減次數之餘】　甲艮 末以所得甲艮轉減次數午巳得對弧余卯已檢表得對弧丁庚之度 一系　半渾員面所成斜三角形左右皆相對如左銳角者右必鈍也對邊左小者右必大也角旁之邊左為同類者右必異類也【角旁兩弧一居員周一居圓面此員面弧線左右所同用也而員周之弧左右有大小故同於左者不同於右】 加減法【以代乗除】 初數次數並以乘除而得今以總弧存弧之餘相加減而半之即與乗除之所得脗合法簡而妙而甲數乙數之用亦從此生矣 總法曰凡兩弧相併為總弧相減為存弧【存弧一曰較弧】總弧存弧各取其餘以相加減成初數次數　法曰視總弧過弧限則總存兩餘相加總弧不過象限則相減皆折半為初數【即原設兩弧之正相乗半徑除之之數】以初數轉減存弧余即為次數【即原設兩弧之餘相乗半徑除之之數】又法【總弧過象限兩餘相減不過象限則相加並折半為次數】又法【初數以相加成者以總弧余減初數以相減成者以總弧余加並加減初數為次數亦同】 又取總弧存弧之正相加減成甲數乙數　法曰以總存兩正相加折半為甲數【即原設大弧正乗小弧余半徑除之之數】總存兩正相減折半為乙數【即原設小弧正乘大弧余半徑除之之數】又法【以存弧正減甲數其餘為乙數亦同】又法【以甲數減總弧正即得乙數】 總弧在象限內兩餘相減 大弧丙寅　小弧辰丙【即丑丙】　二弧相加為總弧辰寅相減得存弧丑寅　丑寅存弧之餘丑癸【亦即丁乙】 辰寅總弧之餘卯辰【即癸子亦即乙午】　兩餘相減【丑癸內減 子癸存丑子或乙丁內減乙午存午丁】其餘 半之【丑子半之於壬成壬丑即亥丁】為【丙寅 辰丙】二弧兩正相乗半徑 除之之數即初得數也 以初得數轉減存弧之餘 【以壬丑減丑癸其餘癸壬亦即亥乙】其餘 為大小二弧兩餘相乗半徑除之之數即次得數也論曰丙辛大弧之正也丑戊小之正也以句股形相似之故乙丙半徑【】與丙辛正【股】若丑戊正【小】與丑壬初得數也【小股】其半而得者何也曰辰戊同丑戊則戊巳亦同丑壬而壬子即已戊則子丑者初得數【壬丑】之倍數故半之即得　辛乙大弧之餘也戊乙小弧之餘也乙丙半徑【】與辛乙余【句】若戊乙余【小】與亥乙次得數也【小句】又以存弧余內兼有初得次得兩數故減初得次也【丑癸余內有丑壬初數癸壬次數故減丑壬即得癸壬也或於乙丁內減亥丁得亥乙並同】 以上用總存兩餘加減 又丑寅存弧之正丑丁【即午子或癸乙】辰寅總弧之正辰午【即卯乙】兩正相加半之為大弧正乗小弧余半徑除之之數即甲數也　以甲數轉減總弧之正【以午已減辰午其餘巳辰亦即卯未】是為大弧余乗小弧正半徑除之之數即乙數也 論曰乙辛大弧之餘也辰戊小弧之正也以兩句股形同比例之故丙乙半徑【】與乙辛余【句】若辰戊正【小】與辰已乙數也【小句】 又丙辛大弧之正也戊乙小弧之餘也而丙乙半徑【】與丙辛正【股】若戊乙余【小】與戊亥甲數【小句】也又以總弧正內兼有甲乙兩數故減乙得甲減甲亦得乙矣【辰午正內有辰巳乙數巳午甲數故減辰巳得巳午若減巳午亦必得辰巳】 以上用總存兩正加減 若以酉丙為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑【正丑丁余丑癸】其存弧辰酉【正辰午余卯辰】但互易存總之名其他並同論曰凡過象限之弧與其減半周之餘弧同用一正如丙酉過弧以減半周得丙寅所用正【丙辛】余【辛乙】皆丙酉弧與丙寅弧之所同也故但易總存之名而正余加減之用不變又法　凡過象限之弧即截去象限用其餘度如法加減但以總弧為存弧存弧為總弧而總存之餘為正正為余如酉丙過弧截去酉甲象限只用丙甲為大弧與丙丑小弧相加減則丑甲為總弧其正丑癸余丑丁而辰甲為存弧其正卯辰余辰午是總存正余名皆互易也法以總存兩正相減而其餘折半為甲數【丑癸內減卯辰余丑子半之得丑壬為甲數】仍以甲數轉減總弧正【甲數丑壬轉減丑癸其餘癸壬即乙數】是其名雖易而其實不易也但橫易為直 論曰去過弧之象限而用之則過弧之正為余余為正矣故加減而得之數皆兩弧之正乘余余乘正之數而非復正乗正余乘余之數也何也過弧之正余互易而小弧之正余如故也 如丙酉過弧去象限為丙甲則其正丙庚即過弧之餘也【丙庚即辛乙故】其餘庚乙即過弧之正也【庚乙即丙辛故】而小弧丙丑之正丑戊余戊乙皆如舊故先得之丑壬為大弧余丙辛乘小弧正丑戊而丙乙半徑除之也非兩正相乘也乙數轉減正而得之亥乙【即癸壬亦即戊未】為大弧正辛乙乘小弧余戊乙而半徑除之也非兩餘相乘也 又論曰又法即測夜時篇中測星距午之第二法也加減代乗除只此一例而絶不與七卷八卷之乘除求初數次數者相雖有學者何從悟入乎愚故為之詳説以發其覆 又論曰元法依圖直看直者正橫者余又法正余互易則圖當橫看變立體為眠體本以總存兩餘加減者變為兩正加減然其數並同 又論曰又法是用大之餘度而小弧則用元度何以言之測星條用星之赤緯即去極之餘度也其用赤道高則極去天頂之元度也然而赤緯在南者則是於星去極度截去象限之數也何以亦為余度曰過弧既與其減半周之餘度同一正則此減半周之餘度亦即正弧也然則此截去象限而余者非即正弧之餘度乎大弧過象限若干度與不及象限若干度其正並同故加減可通為一法【此又測星條用法之意】 約法 兩弧俱用本度或俱用余度相加減以取總存二弧是兩正或兩餘也則用總存兩餘加減法取初得數惟視總存二弧俱在一象限則相減或分跨兩象限則相加皆以初數減存弧之餘為次得數 若兩弧內有一過弧則總弧之正小於存弧而余反大當以初數減總弧之餘為次數 若一弧用本度一弧用余度相加減以取總存之弧是一正一餘也則用總存兩正加減法其加減皆眎兩正原法或加或減取甲數即以甲數減總弧正余為乙數 若過弧節去象限而用其剰度與余度同法【凡余度是以本度減象限而得名今反以象限減過弧故別之曰剰】 若兩俱剰弧與兩餘弧同法 若只一剰弧與一正一餘同法 論曰過弧用剰度為余弧其法甚簡快凡過弧皆當用之可不用本度矣【算普天星經緯歲差宜此】 又按凡存弧之餘內兼有兩正相乗兩餘相乗兩數即初次兩得數也凡總弧之正內兼有此正乗彼余彼正乗此余之數即甲乙兩數也故易其名以別之也 大弧寅丙正丙辛余 辛乙　小弧辰丙【即丑丙】正 辰戊【即丑戊】余戊乙 二弧相加為總弧辰寅正 辰午余午乙　相減 為存弧丑寅正丑丁余 丁乙　存總兩餘【午乙丁乙】相併成午丁半之於亥成亥丁即初得數大小二弧兩正【丙辛辰戊】相乗半徑除之之數也　以初得數亥丁轉減存弧之餘丁乙余亥乙即次得數大小二弧兩餘【辛乙戊乙】相乗半徑除之之數也 論曰以句股形相似之故丙乙半徑與丙辛正若戊丑正與初數丑壬【即亥丁】也皆比股也 又丙乙半徑與辛乙余若戊乙余與次數亥乙也皆比句也 以上用總存兩餘加減因總弧跨過象限故相加 又存弧正丑丁與總弧正辰午相加成辰干【以午乾等丁艮亦即丑丁也】折半得巳午【即戊亥　辰子折半為巳子子乾折半為午子合之成巳午】為甲數大弧正丙辛乗小弧余戊乙半徑丙乙除之也 以甲數已午轉減總弧正辰午余辰巳為乙數大弧余辛乙乗小弧正辰戊半徑丙乙除之也 以上用總存兩正加減 若用酉丙過弧為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑存弧酉辰但互易存總之名其它並同以過弧酉丙所用之正丙辛余辛乙即丙寅弧所同用故也 又法 於酉丙過弧內截去象限酉甲只用其剰弧甲丙則甲丙反為小弧丙丑反為大弧【説見前條】 圖式三 總弧在象限內兩餘相 減　乙丙小弧其正丙 辰余辰已　丁乙稍大 弧其正丁甲余甲巳 戊壬初得數【兩正相乗半徑除】 【也即庚甲或戊卯】　午戊次得數 【兩餘相乗半徑除也即巳癸】　今改用加減以省乗除　以二弧相加成總弧丁丙其正子丁余子巳　又二弧相較成存弧壬丙其正壬辛【卽午巳】余辛巳【卽壬午】 於存弧之餘辛巳內減去總之餘巳子存子辛半之於癸得子癸及辛癸皆初得數也亦卽戊壬也【或於壬午丙減午卯半之於戊得卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也】　又於存弧余辛已內仍減去初得數辛癸存癸已即次得數也【壬午內減戊壬存午戊亦同】 此因總弧在象限內故以總弧余減存弧余求初數是初數小於次數 解曰以句股形相似之故己丙半徑【】與丙辰正【句】若丁甲正【】與甲庚初數也又壬甲等甲丁故庚甲亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也 又已丙半徑【】與辰已余【股】若甲已余【】與巳癸次數【股】也 右系總存兩餘用法 又丁庚為甲數【丁甲大弧正乗辰巳小弧余半徑除之也亦即庚卯即甲戊】　子庚為乙數【辰丙小弧正乗甲巳大弧余半徑除之也即癸甲】 今改用加減法以存弧正子卯【即辛壬】加總弧正子丁成卯丁而半之於庚得丁庚為甲數【亦即庚卯即戊甲】　仍於總弧正丁子內減去甲數丁庚存子庚【即癸甲】為乙數 此亦總弧在象限內亦總存兩正相加求甲數是甲數大於乙數 解曰以句股形相似之故已丙半徑與辰巳小弧余若丁甲大弧正與甲數丁庚皆與股之比例也又丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以半而得之也 又巳丙半徑與丙辰小弧正若甲已大弧余與乙數甲癸【即子庚】皆與句之比例也 右系總存兩正用法 一系　凡兩弧內無過弧則存弧之餘大故其中有初次兩數而總弧則正大故其中有甲乙兩數雖兩數相加能令總弧跨過象限此理不變余仍系存弧大正仍系總弧大 總弧過象限兩餘相加 乙丙小弧正辰丙余 辰已　乙丁過弧正 丁甲余甲已　初得數 戊丁【半徑除兩正矩即子癸亦即癸辛亦即 庚甲】　次得數癸巳【半徑除兩餘矩】 今用加減代乗除以二弧相加成總弧丁丙正丁子余子已　又二弧相較成存弧壬丙正壬辛余辛巳　乃以總存兩餘相加成子辛【子巳加辛巳】而半之於癸得子癸及癸辛【亦即丁戊即庚甲】初得數也　又以初數子癸轉減總弧之餘子已余癸巳次得數也【此因總弧跨過象限故兩餘相加求初數是初數大於次數】 解曰以句股形相似故半徑已丙與正丙辰若正丁甲與初數丁戊皆與股之比例也　又半徑丙已與余辰已若余甲巳與次數癸已皆與句之比例也　又壬甲等丁甲則庚甲亦等戊丁而辛癸亦等子癸故半而得 右用總存兩餘加減 又甲數丑甲小弧余辰已乗過弧正丁甲半徑除之也　乙數癸甲小弧正辰丙乗過弧余甲巳半徑除之也 今用加減搃存兩正相加成丑戊【癸戊與正丁子等丑癸與正辛壬等故以相加即成丑戊】半之於甲得丑甲【亦即甲戊】為甲數　仍以甲數丑甲轉減存弧正丑癸余癸甲為乙數【或以總弧正癸戊減甲數甲戊亦即得乙數癸甲】 此亦總弧跨象限外仍系總存兩正相加求甲數【甲數仍大於乙數】 解曰半徑丙已與小弧余辰已若大弧正丁甲與甲數丑甲皆以比句也　又半徑丙已與小弧正辰丙若大弧余甲巳與乙數癸甲皆以比股也又壬甲等丁甲則甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半之而得 右用總存兩正加減 一系　凡兩弧內有過弧者總弧之餘反大故初次兩數皆在總弧余內而總弧之正反小故甲乙兩數皆在存弧正內也【此必原有一過弧始用此例非謂總弧過象限也觀圖自明】 甲數乙數用法【黃赤道經緯相求】 黃赤二道經緯相求用斜弧三角形以星距黃極為一邊星距北極為一邊並兩極之距為三邊此本法也今不用距極度而用其餘度【距極度本為緯度之餘今用三角形以距極度為邊故緯度皆為余度】徑取黃緯為一邊【此先有黃緯而求赤緯也若先有赤道而求黃道即用赤緯為邊】二至之黃赤大距為一邊【黃赤大距原與兩極之距等】而取二邊之總存兩正為用以加減省乘除故在本法為初數次數者別之為甲乙數焉甲數乙數不止為求黃赤而舉此為式其理特著故命之曰甲數乙數用法實黃赤相求簡法矣 第一圖　黃緯小於黃赤大距甲數大乙數小 甲丙亢危大圈為過 兩極之經圈【即二至經圈】心乙亢軸即黃道 二分經線　丙乙室 為黃道　心為黃極 寅乙危為赤道 甲為北極　辰胃婁 為黃道北緯【即丙辰之度】　丑尾奎為黃道南緯【即丙丑之度】星在箕　箕心為星距黃極緯度　箕女為星距黃道緯【即丙辰之度】　甲心箕銳角為黃道經度其餘女乙甲心為兩極相距【二十三度三十一分半】　寅丙為夏至距緯【同甲心之度】 今求甲箕為星距北極緯度　其餘弧箕翌為星距赤道緯【即氐危之度】 用甲心箕三角形有心角【黃道經】有心箕弧【星距黃極緯】有甲心弧【為兩極之距】而求對角弧甲箕【星赤道北極緯】 依加減代乗除改用寅丙夏至距【即心甲】辰丙黃道緯【即心箕之餘箕女又即丙丑度】　寅丙辰丙相加為總弧辰寅其正辰午　又相減為較弧丑寅其正丑丁【亦即丁井亦即午昴亦即子午】以丑丁正【即午昴】加辰午正成辰昴折半得巳午 甲數【巳子為辰子之半子午為子昴之半合之成巳午】甲數【巳午】轉減正【辰午】余【巳辰】為乙數 或以丑丁正【即子午】減辰午正余辰子折半得辰巳為乙數以乙數轉減總弧正辰午得已午為甲數亦同 法為黃道半徑【丙乙】與心角之餘【女乙】若甲數【巳午】與四率【斗未】也 一　黃道半徑　丙乙 二　心角余　女乙 三　甲數　　　巳午【即戊酉】 四　【減過乙數之赤緯正】斗未【即虛栁】 論曰丙乙半徑與女乙余原若辰胃與箕胃【辰胃者箕心黃緯之正即距等圏半徑因箕心角線過箕至女分辰胃正於箕亦分丙乙半徑於女故丙乙與女乙若辰胃與箕胃皆全與分比例】而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆也【戊酉乙大句股以戊乙為戊酉為句斗未乙小句股以斗乙為斗未為句】戊酉【同巳午】斗未皆句也則其比例等故丙乙與女乙能若戊乙與斗乙亦即若已午與斗未 以乙數【辰巳即箕虛】加四率【斗未即虛栁】成箕栁即所求赤道緯度正檢表得赤緯在北【即箕翌亦即氐危】 若先有赤緯黃緯而求黃經則互用其率以三四為一二法為甲數【戊酉】與赤緯正內減乙數之斗未若黃道半徑【丙乙】與心角黃經度之餘【女乙】也 一　甲數　　　戊酉【即午巳】 二　【乙數箕虛減赤緯正】半未【即虛栁】 三　黃道半徑　丙乙 四　心角余　女乙　　　檢余表得心角之度假如前圖星在尾為黃道南緯則所用之甲數乙數並同所得之四率亦無不同而赤緯逈異 何以言之曰心不在箕而在尾則心 甲弧【兩極距度】心角【黃道經度】皆不變唯尾心 弧大於箕心故甲心箕三角形變為 甲心尾三角而所求對角之甲尾弧 亦大於甲箕故赤緯異也 然則所用之甲數乙數又同何也曰尾心為過弧則用在女尾【尾心內減去女心象限】女尾為黃道南緯與箕女北緯同度亦即同正則相加為總弧相減為較弧亦同而甲乙數不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率在北緯則用加在南緯則用減緯度迥異理勢自然也一　黃道半徑　丙乙 二　心角余　女乙　以乙數【辰巳】減四率斗未減盡三　甲數　　　已午　無餘為星在赤道無緯度四　【加過乙數之赤緯正】斗未 論曰此因乙數與四率同大故減盡也減盡則甲尾正九十度而星在赤道無緯也 亦有四率小於乙數者則當以四率轉減乙數用其餘為緯度正在赤道南 又論曰星在箕為黃道北在尾為黃道南然所得赤緯皆在北者以箕尾經度皆在夏至前後兩象限中也故所得四率在赤道北而加乙數則北緯大減乙數則北緯小皆北緯也惟四率轉減乙數則變為南緯【此亦惟黃南緯星又近二分則雖在夏至前後象限中而有南緯】 亦有無四率者心角必九十度其星必在黃道二分經度無角度余為次率故亦無第四率可求但以乙數為用視星在南北即以乙數命為南北緯度之正假如前圖中有星在胃是在北也即以乙數胃張【即辰巳】命為赤道北緯之正若星在房是在南也即以乙數乙癸【亦即辰巳】命為赤道南緯之正 又有所得四率北反用減南反用加者心角必為鈍角其星必在冬至前後兩象限其角度余必為大矢內減儀象限之餘則所得第四率在赤道之外【外即南也】而加減後所得皆赤道之南緯也故加減皆反【求北緯以加而南緯必減者星在北也求北緯以減而南緯必加者星在南也蓋所得第四率原系在北在南兩星緯度之中數　星在北在南皆主黃道言】假如前圖中有星在兌為黃道北而甲心兌三角形心 為鈍角其餘艮乙為艮丙大矢內 減象限之餘故所得第四率未斗在 赤道之外為赤道南緯【此南緯是黃道軸距赤道 軸】而兌星在黃道之北則其南緯正 小於未斗故必以乙數牛斗【即辰己亦即奎巳】減之其餘牛未【同兌庚】即兌星赤道南緯之正 若星在巽亦同用心鈍角為甲心巽三角形艮乙余四率未斗在赤道外並同但巽星又在黃道之南則其南緯大於未斗四率故必以乙數虛巽【即辰巳亦即牛斗】加之成巽栁即巽星南緯之正 亦有四率小於乙數者則以四率轉減乙數用其餘為緯度在赤道北 又論曰星在兌為黃道北在巽為黃道南然所得赤緯皆在南者以兌巽經度皆在冬至前後兩象限中也故所得四率在赤道南而以乙數減則南緯小以乙數加則南緯大皆南緯也惟四率轉減乙數者則變為北緯【此亦必黃北緯星又近二分故雖在冬至前後象限中而仍有北緯　凡以乙數及四率相加減成緯度者並主緯度之正而言後仿此】 總論曰凡乙數皆南北兩赤緯度相減折半之數甲數則兩緯度之中數也【如箕女與女尾兩黃緯同度而不能以女庚為兩赤緯之中數者弧度有斜正故也】而所得四率即所求星南北兩緯正中數故與甲數為比例 凡所得四率星在夏至前後兩象限四率在赤道北星在冬至前後兩象限四率在赤道南 凡總弧正內兼有甲數乙數【不論黃南黃北並同一法】但視黃緯之大小若黃緯小於黃赤大距則以總存兩正相併而半之為甲數若黃緯大於黃赤大距則以總存兩正相減而半之為甲數並以甲數轉減總弧正為乙數又法 黃緯小於黃赤大距以總存兩正相減而半之則先得乙數黃緯大於黃赤大距以總存兩正相併而半之亦先得乙數並以乙數轉減總弧正為甲數求赤緯約法 凡星有黃緯之南北有黃經之南北【黃經南北即南六宮北六宮　星在夏至前後先得之黃經為鋭角是經在北也　星在冬至前後先得之黃經為鈍角是經在南也】若星之黃緯南北與黃經同者其赤緯南北亦與黃緯同法用四率乙數相加為緯度正加惟一法 星在黃道北又系夏至前後兩象限先得黃經鋭角是經緯同在北則赤緯亦在北　星在黃道南又系冬至前後兩象限先得黃經鈍角是經緯同在南則赤緯亦在南 若星之黃緯南北與黃經異者赤緯有同有異皆四率乙數相減為赤緯正減有二法 但視乙數大受四率轉減者赤緯之南北與黃緯同如星在黃道北而在冬至前後兩象限黃經角鈍是緯北而經南也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在北星在黃道南而在夏至前後兩象限黃經角鋭是緯南而經北也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在南若乙數小去減四率者赤緯之南北與黃緯異　如星在黃道北而在冬至前後黃經角鈍為緯北經南而乙數又小去減四率則赤緯變而南　星在黃道南而在夏至前後黃經角鋭為緯南經北而乙數又小去減四率則赤緯變而北 若星在黃道軸線是正當二分經度也其角必九十度無餘亦無四率但以乙數為用　星在北即以乙數命為赤道北緯之正　星在南即以乙數命為南緯之正 若遇乙數四率相減至盡者其星正當赤道無緯度第二圖　黃緯大於黃赤大距甲數小乙數反大【有黃道經緯求赤緯】 甲北極　心黃極 甲心為兩極之距 丙室黃道　寅危赤 道　寅丙為夏至大 距【同甲心】　乙為二分 以上並與前圖無 二　所異者黃緯丙 丑【即丙辰】大於寅丙故 乙數亦大於甲數　寅丙之正丙辛余辛乙　丙丑之正辰戊【或戊丑】余戊乙 甲數戊酉乃寅丙正乗丙丑余半徑除之也法為丙乙半徑與正丙辛若戊乙余與甲數戊酉乙數辰巳【或巳子或戊壬】乃辛乙余乗辰戊正半徑除之也法為丙乙半徑與余辛乙若辰戊正與乙數辰巳 假如星在箕為在黃道北箕心為距黃極之度其餘箕女黃道北緯也有箕心甲心【兩極距】二邊有心銳角【黃經】用甲心箕三銳角弧形求赤緯甲箕為對角之弧 依加減代乗除改用寅丙辰丙二弧相加為總弧辰寅其正辰午　又相減成較弧寅丑其正丑丁【即午子】以丑丁正加辰午正成辰子折半於巳為乙數【辰巳及巳子】　乙數辰已轉減總弧正辰午得已午為甲數【即戊酉】 本法以丑丁減辰午折半得已午為甲數　甲數巳午轉減辰午得辰巳為乙數 法為黃道半徑丙乙與余女乙若甲數戊酉與四率斗未也【理見前式論見】 一　黃道半徑　丙乙　　　　既得斗未以乙數箕 二　心角余　女乙　　　　虛加之成箕栁為赤 三　甲數　　　戊酉　　　　緯正查表得箕翌四　【以乙數減赤緯正】　斗未【即虛栁】　赤緯度在赤道北右系黃緯在北而心為銳角黃經亦在北故法用加而赤緯仍在北 若先有黃赤緯度而求黃經則互用其率亦同前式一　甲數　　　戊酉 二　【乙數減赤緯正】　斗未 三　黃道半徑　丙乙 四　心角余　女乙　　查余表得心角之度假如前圖星在尾為在黃道南則所用之甲數乙數及所得之四率並同惟赤緯異 論曰星不在箕而在尾則甲心箕三 銳角形變為甲心尾三角形而心尾 弧大於心箕故所求對角之甲尾弧 亦大於甲箕而赤緯大異 心尾大於心箕而甲數乙數悉同者因用余弧則女尾南緯與女箕北緯同度故也 一　黃道半徑　丙乙　　既得斗未以轉減乙數斗二　心角余　女乙　　牛得余未牛【即尾申】為赤緯三　甲數　　　戊酉　　正查表得尾卯緯度在四　【乙數內減赤緯正】　斗未　　赤道南 論曰此系乙數跨赤道故乙數內兼有赤緯及四率之數而減赤緯得四率以四率轉減亦得赤緯 右系黃緯在南而心為銳角是緯南而經北法當用減而乙數大受四率反減故赤緯仍在南 假如前圖星在巽則所用之甲數乙數亦同惟四率異【因巽艮黃緯即室奎之度與丙丑同故甲數酉戊與戊酉同大而乙數鬥牛兊干並同辰巳】 又巽星在黃道南而心為鈍角星在 秋分後春分前黃經亦在南則赤緯 亦在南法當用加 一　黃道半徑　　　丙乙【即室乙】 二　【鈍角余即大矢減半徑之餘】　艮乙【艮丙為心鈍角大矢內減丙乙得艮乙】 三　甲數　　　　　酉戊 四　【赤緯正內減乙數】　　　未斗 既得未斗以乙數鬥牛【即辰巳】加之成未牛為赤緯正【即栁巽】查表得震巽緯度在赤道南 假如前圖星在兌為黃道北所用之 甲數乙數四率並同惟赤緯異【兌艮北緯 與巽艮南緯並同丙丑之度故甲數乙數同甲心巽與甲心兊兩鈍角形 同用心鈍角故四率亦同惟心兊弧小於心巽故所求對角弧甲兊亦小】 【於甲巽而赤緯異】 一　黃道半徑　丙乙　　　既得未斗以轉減乙數二　鈍角余　艮乙　　　兊幹得余兊離為赤緯三　甲數　　　酉戊　　　正查表得兊坎緯度四　【乙數內減赤緯正】　未斗【即離干】　在赤道北 右系黃緯在北而心為鈍角是秋分後春分前為緯北而經南法當用減而乙數大受四率轉減故赤緯仍在北 第三圖　赤緯大於二極距甲數小乙數大 心甲箕三鋭角形　星在箕　有黃極緯心箕有北極 赤緯甲箕有黃赤極 距心甲【即室危】求甲角 為赤經　辰危赤緯 大於危室大距【即心甲】與前圖略同故乙數 亦大於甲數　所異 者此求赤經故諸數 皆生於赤緯謂總弧 較弧皆用赤緯也而加減正反在黃道矣 室危兩極距之正室辛余辛乙 辰危赤緯【即箕女為甲箕距比極之餘】之正辰酉余酉乙甲數戊酉法為半徑室乙與辛室正若酉乙余與甲數戊酉也 乙數辰已法為半徑室乙與辛乙余若辰酉正與乙數辰已【或婁酉正與乙數酉壬】也 依加減代乗除改用辰危室危相加為總弧辰室其正辰午又相減為較弧婁室其正婁丁【即午昴】 又以較弧正午昴減總弧正辰午餘數半之得已午為甲數【即戊酉也法於辰午內截減辰坤如午昴其餘坤午半之於已即得已午】 甲數已午轉減辰午正余辰巳為乙數【或以甲數已午加較午昴成巳昴乙數亦同】箕虛及未牛並同【皆乙數也】 又以箕翼黃緯之正箕柳與乙數箕虛相減得虛柳【即未斗】以為次率【因箕栁黃緯大乙數箕虛小故於黃緯正內減乙數得未斗】 法為甲數戊酉與未斗若酉乙與未乙亦即若危乙半徑與甲角之餘女乙也 一　甲數　　　　戊酉 二　【黃緯正內減去乙數】　未斗 三　赤道半徑　　危乙 四　甲角余　　女乙 論曰赤道經度春分至秋分【北六宮】為鈍角秋分至春分【南六宮】為銳角其角與黃經正相反此條星在箕是赤緯在北也而黃緯亦北兩緯同向宜相減成次率而乙數小於黃緯必以乙數減黃緯而得未斗乙數減黃緯而緯在北赤經必南六宮為銳角查表得度為甲角度即赤經也在秋分後以所得減三象限在冬至後以所得加三象限皆命為其星距春分赤道經度 若星在尾用甲心尾三角形則以黃 緯正反減乙數為次率【未牛乙數大於黃緯 鬥牛故以鬥牛反減未牛得未斗】余率並同 論曰此條星在尾是赤緯在南也而黃緯亦並在南兩緯同向宜相減而成次率而乙數大於黃緯宜於乙數內轉減去黃緯成未斗也乙數大受黃緯轉減而緯在南赤經必亦在南六宮為銳角 一　甲數　　　　戊酉 二　【乙數內減黃緯】　　　未斗 三　赤道半徑　　危乙 四　甲角余　　女乙 假如前圖星在兊用心甲兊三角形 有心兌邊【星距黃極】有甲兌邊【星距北極】有心 甲邊【兩極距】求甲鈍角為赤道經度 因赤緯同故甲數乙數同 星在兊赤緯在北黃緯亦在北緯同向北宜相減而成次率而乙數大以黃緯減之得斗未【乙數兊干內減去黃緯兊離余離干即斗未】 乙數大受黃緯轉減而赤緯在北必赤經亦在北六宮為鈍角 一　甲數　　　酉戊 二　【乙數內減去黃緯】　斗未 三　赤道半徑　寅乙 四　甲角余　艮乙 以艮乙查余表得度用減半周為甲鈍角即赤經也在春分後以象限減鈍角度在夏至後以鈍角度與三象限相減皆命為星距春分赤道經度 假如星在巽用心甲巽三角形有心巽邊【距黃極】有甲巽邊【距北極】有甲心邊【兩極距】求甲鈍角為赤經 甲數乙數並同 惟心在巽是赤緯南也黃緯亦南也兩緯並南宜相減 成次率　乙數小黃緯大故以乙數 減黃緯得斗未【鬥牛黃緯即栁巽也內減乙數未牛余即 斗未矣】　乙數小去減黃緯而赤緯在 南赤經必在北六宮為鈍角 一　甲數　　　酉戊 二　【黃緯內減乙數】　　斗未 三　赤道半徑　寅乙 四　甲角余　艮乙 以艮乙余查度春分後用余度減象限夏至後加象限皆命為距春分赤經 第四圖　赤緯小於二極距甲數大乙數小 假如星在箕用心甲 箕鈍角形有心箕過 【距黃極對角邊也其餘箕翼即黃緯】有 甲箕邊【距北極即辰危之餘】有 心甲邊【兩極距寅丙及危室並同】求甲鈍角赤道經 兩極距危室之正 危辛余辛乙　赤緯危辰之正辰戊余戊乙甲數戊酉【為半徑危乙與二極距之正危辛若赤緯余戊乙與甲數戊酉也】 乙數辰巳【或戊壬　為半徑危乙與二極距之餘辛乙若赤緯正辰戊與乙數辰巳也】依加減代乗除以辰危危室兩弧相加為總弧辰室其正辰午 又相減為較弧婁室其正婁丁【或丁井即午昴】 以總弧正辰午加較弧正午昴成辰昴而半之為甲數巳午【巳坤為辰坤之半坤午為坤昴之半合之為巳午】即戊酉 又以甲數己午轉減正辰午得辰巳為乙數【亦即戊壬】星在箕為赤緯北而黃緯亦在北兩緯同向宜相減而成次率而乙數大當以黃緯轉減之成斗未【牛未乙數內減牛斗黃緯余斗未】 乙數大受黃緯反減而緯在北赤經在北六宮為鈍角一　甲數　　　酉戊　　以艮乙余查度春分後二　【乙數內減黃緯正】　斗未　　用減象限夏至後加象限三　赤道半徑　寅乙　　命為距春分經度 四　甲角余　艮乙 若星在尾用心甲尾三角形則為南緯而黃緯亦南兩 緯同向宜相減成次率而乙數小於 黃緯故以乙數減黃緯成斗未【虛尾黃緯 內減乙數氐尾余虛氐即斗未】　其甲數乙數等算 並同　乙數小去減黃緯而緯在南 赤經必在北六宮為鈍角 一　甲數　　　酉戊 二　【黃緯正內減乙數】　斗未 三　赤道半徑　寅乙 四　甲角余　艮乙 若星在兌用心甲兌三角形兌為北緯而黃緯亦北兩 緯同向宜相減成次率而乙數小於 黃緯故以乙數減黃緯成未斗【兊干黃緯 內減乙數兊離余余離干即未斗】甲數乙數並同 乙數小去減黃緯而緯在北赤經反 在南六宮為銳角 一　甲數　　　戊酉　　以女乙余度秋分後減二　【黃緯正內減乙數】　未斗　　三象限冬至後加三象限三　赤道半徑　危乙　　命為距春分赤經【下同】四　甲角余　女乙 若星在巽用心甲巽三角形赤緯南黃緯亦南兩緯同向宜相減成次率而乙數大以黃緯轉減之成未斗【未牛乙數內減黃緯鬥牛即栁巽其餘即未斗】 乙數大受黃緯轉減而緯在南赤經 即在南六宮為銳角 一　甲數　　　戊酉 二　【乙數內減黃緯正】　未斗 三　赤道半徑　危乙 四　甲角余　女乙 第五圖　赤緯小於二極距甲數大乙數小 黃緯乙數相加成次 率【黃緯在南角鋭鈍黃緯在北角】星在巽用心甲巽三 角形有心甲邊【二極距】有巽甲邊【距北極度為過弧其 赤緯女巽在南】有巽心邊【距黃 極度其餘巽為黃緯在北】　求對 巽心弧之甲角　心甲兩極距即危室【或寅丙】其正危辛余辛乙　女巽赤緯即危婁【或辰危即丑寅】其正辰戊余戊乙 甲數戊酉【兩極距正危辛乗赤緯余戊乙半徑危乙除之之數也法為危乙與危辛若戊乙與戊酉】乙數辰巳【兩極距余辛乙乗赤緯正辰戊半徑危乙除之之數也法為危乙與辛乙若辰戊與辰巳】依加減代乗除改用辰危危室相加為總弧辰室其正辰午又相減為較弧婁室其正婁丁【即午昴及丁井】以總較兩正相加成辰昴折半得巳午為甲數即戊酉【巳坤為辰坤之半坤午為坤昴之半合之成己午】 甲數巳午轉減總弧正辰午得辰巳為乙數即戊壬黃緯巽氐在北赤緯女巽在南兩緯異向宜以乙數與黃緯正相加成次率【以同黃緯正巽栁之牛斗加同乙數戊壬之未牛成未斗】乙數黃緯正相加而黃緯在北其赤經必在南六宮為銳角法為甲數戊酉與未斗若戊乙與未乙亦即若危乙與女乙 一　甲數　　　　戊酉　　以女乙查余表得度二　【乙數加黃緯正】　未斗　　秋分後減冬至後加皆與三　赤道半徑　危乙　　三象限相加減命為其星四　甲角余　女乙　　距春分赤道經度 又如星在箕用心甲箕三角形有心甲邊【二極距】有箕甲邊【距北極度其餘箕艮赤緯在北】有箕心邊【距黃極度為過弧其黃緯翼箕在南】求對箕心弧之甲角 甲數乙數同上 惟黃緯翼箕在南赤緯箕艮在北兩緯異向宜以乙數 與黃緯正相加成次率【以黃緯正箕張相 同之牛斗加乙數辰巳相同之牛未成斗未】 乙數與黃緯相加而黃緯在南其 赤經必在北六宮為鈍角法為甲數 酉戊與斗未若戊乙與未乙亦即若寅乙與艮乙一　甲數　　　戊酉　　以艮乙查余表得度春二　【乙數加黃緯正】　斗未　　分後減夏至後加皆加減三　赤道半徑　寅乙　　象限命為其星距春分赤四　甲角余　艮乙　　赤道經度 求赤道經度約法 用三邊求角【兩極距為一邊距北極為一邊此二邊為角兩旁之弧距黃極為一邊此為對角之弧】以求到鈍角赤道經度在北六宮銳角赤道經度在南六宮 法為甲數與次率若赤道半徑與所求角之餘其樞紐在次率也 凡黃緯南北與赤緯同向者並以乙數與黃緯相減而成次率減有二法 凡黃緯南北與赤緯異向者並以乙數與黃緯相加而成次率 加惟一法 厯算全書卷十