歷算全書 · 卷七

序 厯家所憑全恃測騐昔者蔡邕上書願匍匐渾儀之下按度考數著於篇章以成一代盛典古人之用心蓋可想見然則儒者端居斗室足不履觀台目不睹渾象安所得測騐之事而親之而安從學之曰所恃者有測騐之法之理在則句股是也遭秦之厄天官書器散亡漢落下閎鮮于妄人等追尋墜緒厯代相承攷訂加詳至於今日厥理大著則句股之用於渾圓是也今夫測量之法方易而圓難古用徑一圍三聊舉成數非有所不知也自劉徽祖沖之各為圓率逮元趙友欽定為徑一則圍三一四一五九二與今西術略同皆割圓以得之非句股奚借焉【西法割圓比例以直角三邊形為主即句股也但異其名不異其實】然用句股測平圓猶易用句股測渾圓更難厯家所測皆渾圓也非平圓也古有黃赤道相准之率大約於渾器比量僅得梗槩未能彰諸笇術近代諸家以相減相乘推變其差損益有序稍為近之而未親也惟元郭太史守敬始以弧矢命笇有平視側視諸圖推步立成諸數黃赤相求斯有定率視古為密由今觀之皆句股也但其立法必先求矢又用三乗方取數不易故但能列其一象限中度率不復能求其細分之數厯書之法則先求角既因弧以知角復因角以知弧而句股之形能預定其比例又佐之八線互用以通其窮其法以三弧度相交輒成三角則此三弧度者各有其相應之弧與弧相割即與相遇而句股生焉茍熟其法則正反斜側八線犁然各相得而成句股【八線比例以半徑全數為正余為句為股又以割線為切線與半徑全數為其句股表中所列句股形凡五千四百】於是乎黃可變赤赤可變黃可以經度知緯可以緯度知經羅絡鉤連旁通曲暢分秒忽微臚陳笇位求諸中心可無纎芥之疑告諸同學亦如指掌之晰即不必匍匐渾儀之下可以不窺牖而見天道賴有此具也全部厯書皆弧三角之理即皆句股之理顧未嘗正言其為句股使人望洋無際【彼雲直角三邊形此雲句股乃西國方言譯書時不知此理遂生分別】又譯書者識有偏全筆有工拙語有淺深詳略所載圖説不無滲漏之端影似之談與臆參之見學者病之茲稍為摘其肯綮從而防剔訂補以直截髮明其所以然竊為一言以蔽之曰析渾圓防句股而已蓋於是而知古聖人立法之精雖弧三角之巧豈能出句股範圍然句股之用亦必至是而庶無餘蘊爾厯法之深防奧衍不啻五花八門其章句之詰曲離奇不啻羊腸絙度而由是以啓其扃鑰庶將掉臂遊行若揭日月而騁康莊矣文雖不多實為此道中開闢塗徑蓋積數十年之探索而後能防通簡易故亟欲與同志者共之餘老矣禹服九州之大厯代聖人教澤所漸被必有好學深思其人所冀大為闡發俾古人之意晦而復昭一線之傳引而弗替則生平之志願畢矣豈必身擅其名然後為得哉余拭目竢之康熙二十三年上元甲子長至之吉勿庵梅文鼎書於柏梘山中 欽定四庫全書 厯算全書卷七 宣城梅文鼎撰 弧三角舉要卷一 弧三角體勢 弧三角與平異理故先體勢知體勢然後可以用算而算莫先於正弧猶平三角之有句股形也故以為弧度之宗正弧形之之角取法於黃赤交角則有定度而餘角取法於過極圏交黃道之角則隨度而移互用之其理益顯故有求餘角法弧三角以一角對一邊而比例等與平三角同而其理別故有弧角比例法斜弧無相對之弧角則比例之法窮故有垂弧法三角求邊則垂弧之法又窮故有次形法垂弧與次形合用則有捷法弧與角各有八線而可以互視故有相當法【余詳環中尺及塹堵測量】 弧度與天相應 弧三角之法以測渾員渾員之大者莫如天員之至者亦莫如天故弧三角之度皆天度也 以平測員其難百倍以員測員其簡百倍而得數且真是故測天者必以弧度而論弧度者必以天為法測弧度必以大圏 渾球上弧度有極大之圏乃腰圍之一線也如赤道帶天之紘原止一線如黃道如子午規如地平規盡然又如測得兩星相距之逺近亦為大圏之分【若以此兩星之距弧引而長之必匝於渾員之體而成大圏不論從衡斜側皆同一法】 球上大圏必相等 所以必用大圏者以其相等也　渾球上從衡斜側皆可為大圏而其大必相等者以俱在腰圍之一線也如黃道赤道及子午規地平規俱系大圏必皆相等不相等即非大圏故惟大圏可相為比例【任測兩星之距不必當黃赤道而能與二道相比例者以其皆大圏也】 球上兩大圏無平行者 大圏在渾球既為腰圍之一線則必無兩圏平行之法若平行即非大圏【如黃赤道並止一線而無廣即無地可容平行線也子午規地平規亦然】球上圏能與大圏平行者皆小圏謂之距等圏 離大圏左右作平行圏皆曰距等圏謂其四圍與大圏相距皆等【如於黃道內外作緯圏其與黃道相距或近則四靣皆近或逺則四面亦皆逺無毫忽之不同平行故也赤道緯圏地平高度並同】而其自相距亦等故曰距等也【如黃道內外或近或逺處處可作距等圏而皆與黃道平行即其圏亦自相平行故並為等距】距等圏皆小於大圏【如黃道內外緯圏但離數分其圍即小於黃道其距益逺其圏益小小之極至一防而止諸緯圏並然】不能與大圏為比例【大圏惟一距等圏無數無一同者無法可為比例】故為比例者必大圏也 如圖甲乙為大圏大圏只一丙丁及戊庚等皆小圏小圏無數漸近圎頂己即其圏愈小而成一防大小懸殊故不可以相為比例 大圏之比例以度不拘丈尺 凡圏皆可分三百六十度【每圏平分之成半周四平分之成象限象限又各平分之為九十度成三百六十度】而球大者其大圏大球小者其大圏小皆以本球之圍徑自為比例不拘丈尺【盡本球之圍分為全周之度其球上之度即皆以此為準但在本球上為最大故謂之大圏非以丈尺言其大小】古人以八尺渾儀准周天蓋以此也又如古渾儀原有三重其在內之環周必小於外而其度皆能相應者在內環周雖小而在內之渾員以此為大圏即在內之各度並以此為準故也 大圏之度為公度 凡球上距等圏亦可平公三百六十度而其圈皆小於本球之大圏又大小不倫則其所分之細度亦皆小於大圈而大小不倫矣惟本球腰圍大圏上所分之度得為公度故凡言度者必大圏也 如圖甲乙為大圏一象限丙丁及戊庚各為距等小圏一象限象限雖同而大小迥異又如甲辛為大圈三十度丙壬及戊癸亦各為小圏之三十度其為三十度雖同而大小亦異再細攷之至一度或至一分亦大小異也故惟大圏之度為公度 大圏即本球外周其度即外周之度而橫直皆相等 平員有徑有周渾員亦有徑有周立渾員於前則外周可見即腰圍之大圏也旋而視之皆可為外周故大圏之橫直皆等【皆以外周度為其度故等】 如圖子午規為渾儀外周其度三百六十乃橫度也地平為腰圍度亦三百六十乃橫度也橫度直度皆得為外周故其度相等若依北極論之則赤道又為腰圍而亦即外周也推是言之渾球上大圏從衡斜側皆相等何則旋而視之皆得為腰圍即皆得為外周故也大圏上相遇有相割無相切大圏相割各成兩半分 球上從衡斜側既皆成大圏則能相割矣而皆為渾員之外周則必無相切之理【若相切者必在外周之內為距等小圈】 如圖甲丙乙為大圏半周能割大圏於甲於乙而不能相切丙丁成小圈則能切大圏於丙於丁 如圖甲庚辛乙為大圏半周割外圏於甲於乙則甲己乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圏割大圏於庚於辛而庚辛非半周 球上兩大圏相割必有二處此二處必相距一百八十度而各成兩平分如黃赤二道相交於春分必復相交於秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黃道成兩半分赤道亦兩平分也若距等圏與大圏相割必不能成兩平方 兩大圏相遇則成角 球上大圏既不平行則其相遇必相交相割而成角弧三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有銳鈍共三種而角兩旁皆弧線與直線角異 如圖己午戊子為子午規辛午乙子為地平規兩大圏正相交於南地平之午北地平之子則皆正角而四角皆等並九十度角也【正角一名直角一名十字角一名正方角】 如圖午辛子為地平規丁辛癸為赤道規兩大圏斜相交於辛則丁辛子鈍角大於九十度丁辛午銳角小於九十度兩角相併一百八十度減銳角其外角必鈍若減鈍角亦得鋭角也故有內角即知外角　又兩銳角相對兩鈍角相對其度分必等故有此角即知對角凡此數端並與平三角同然而實有不同者以角兩旁之為弧線也 弧線之作角必兩 直線剖平員作角形如分餅角旁兩線皆半徑至周而止弧線剖渾冪作角形如剖角旁兩弧線皆半周必復相交作角而等【如黃赤道交於二分其角相等】 角有大小量之以對角之弧其角旁兩弧必皆九十度 弧線角既如瓣則其相距必兩端狹而中濶其最濶處必離角九十度此處離兩角各均即球上腰圍大圏也故其度即為角度【如黃赤道之二分交角二十三度半即二至時距度此時黃赤道離二分各九十度乃腰圍最濶處也】 大圈有極 大圏能分渾員之面冪為兩則各有最中之處而相對是為兩極兩極距大圏四靣各九十度 如圖甲辛乙為赤道大圈己為北極己為南極甲己丁己等弧線距北極各九十度距南極亦然　若己為天頂甲辛乙為地平大圏亦同如甲正北辛正東乙正南丁東北丙東南所在不同而甲乙等高弧距天頂各九十度皆等 大圏上作十字弧線引長之必過兩極兩極出弧線至大圏必皆十字正交 如赤道上經圏皆與赤道正交為十字角則其圏必上過北極下過南極也然則從兩極出弧線過赤道必十字正交矣 大圏之極為眾角所輳 如赤道上逐度經圏皆過兩極則極心一防為眾角之宗【經圏之弧在赤道上成十字者本皆平行漸逺漸狹至兩極則成角形之銳尖】角無論大小皆輳於極而合成一防離此一防外即成銳鈍之形而皆與赤道度相應所謂量角以對弧度而角兩旁皆九十度以此 如圖己為北極即眾角之頂鋭其所當赤道之度如乙丙等則己角為鋭角如丙庚等則己角為鈍角　若己為天頂外圏為地平亦然 角度與角旁兩弧之度並用本球之大圏度故量角度者以角為極 有弧線角不知其度亦不知角旁弧之度法當先求本球之九十度【其法以角旁二弧各引長之使復作角乃中分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度可知】以角為心九十度為界作大圏【與角旁兩弧並本球大圏而其分度等】乃視角所當之弧【即角旁兩九十度弧所界】於大圏上得若干度分即角度也故曰以角為極 三大圏相遇則成三角三邊 此所謂弧三角形也如黃道赤道既相交於二分又有赤道經圏截兩道而過之則成乙丙甲弧三角形 知圖己為北極戊辛為赤道丁庚為黃道二道相交於春分成乙角又己壬為過極經圏自北極己出弧線截黃道於丙得丙乙邊為黃道之一弧亦截赤道於甲成甲乙邊為赤道之一弧而過極經圏為二道所截成丙甲邊為經圏之一弧是為三邊即又成丙角甲角合乙角為三角 弧三角不同於平三角之理 弧三角形有三角三邊共六件以先有之三件求餘三件與平三角同所不同者平三角形之三角並之皆一百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度必盈【三邊在一度以下可借平三角立算因其差甚微然其角度視半周必有微盈】但不得滿五百四十度【角之極大者合之以比三半周必不能及】 平三角之邊小僅咫尺大則千百萬里弧三角邊必在半周以下【不得滿一百八十度】合三邊不得滿三百六十度【如滿全周即成全員而不得成三角】 平三角有兩角即知餘角弧三角非算不知 平三角有一正角餘二角必銳弧三角則否【有三正角兩正角者其餘角有鈍有鋭或兩鋭兩鈍或一鋭一鈍不等】 平三角有一鈍角餘二角必銳弧三角則否【其餘角或鋭或正或鈍甚有三鈍角者】 平三角以不同邊而同角為相似形同邊又同角為相等形弧三角則但有相等之形而無相似之形以同角者必同邊也 平三角但可以三邊求角不可以三角求邊弧三角則可以三角求邊【弧三角之邊皆員度也初無丈尺可言故三角可以求邊若干三角邊各有丈尺則必有先得之邊以為之例所以不同　前條言有相等之形無相似之形亦謂其所得之度相等非謂其丈尺等也】 弧三角用八線之理 平三角用八線惟用於角弧三角用八線並用於邊平三角以角之八線與邊相比弧三角是以角之八線與邊之八線相比平三角有正角即為句股若正弧三角形實非句股而以其八線輳成句股 平三角以角求邊是用弧線求直線也【有角即有弧】以邊求角是用直線求弧線也然角以八線為用仍是以直線求直線也句股法也弧三角以邊求角以角求邊並是以弧線求弧線也而角與邊並用八線仍是以直線求直線也亦句股法也【蓋惟直線可成句股】所不同者平三角所成句股形即在平靣而弧三角所成句股不在弧靣而在其內外 弧三角之防線面體 測量家有防線面體弧三角備有之其所測之角即防也但其防俱在弧靣【如於渾球任指一星為所測之防即角度從茲起如太陽太陰角度並從其中心一防論之】 弧三角之邊即線也但其線皆弧線【如渾球上任指兩星即有距線或於一星出兩弧線與他星相距即成角而角旁兩線皆弧線也】 弧三角之形即靣也但其靣皆渾球上面冪之分形弧三角之所麗即渾體也剖渾員至心即成錐體而並以弧三角之形為底【詳塹堵測量】 渾員內防線面體與弧三角相應 前條防線面體俱在球面可以目視器測但皆弧線難相比例【比例必用句股句股必直線故也】賴有相應之防線面惟在渾體內厯員可指雖不可以目視而可以算得弧三角之法所以的確不易也　如渾球中剖則成平員即靣也於是以球面之各防【即弧三角之各角】依視法移於平員面即渾員內相應之防也又以弧與角之八線移至平面成句股以相比例是渾員內相應之線也　又如弧三角之三邊各引長之成大圏各依大圏以剖渾員即各成平員面是亦渾員內相應之面也二平員面相割成瓣之體三平員面相割成三楞錐體若又依八線橫割之即成塹堵諸體是渾員體內相應之分體也此皆與弧面相離在渾員之內非剖渾員即不可見而可以算得即不啻目視而器測矣 大圏與渾員同心 球上大圏之心即渾員之心【若依各大圏剖渾員成平員面其平員心即渾員之心】若距等小圏則但以渾員之軸為心而不能以渾員心為心同心者亦同徑【大圏以渾貟徑為徑若距等圏則但以通為徑】渾體內諸線能與弧三角相應者以此【渾員體內諸線皆宗其徑弧三角既以大圏相割而成必宗大圏之徑徑同故內外相應】弧三角之邊不用小圏亦以此也【距等圏既與大圏異徑則其度不齊不能成邊而所作之角必非真角無從考其度分也】 弧三角視法 弧三角非圖不明然圖弧線於平面必用視法變渾為平 平置渾儀從北極下視則惟赤道為外周不變而黃道斜立即成撱形　其分至各經圏本穹然半員今以正視皆成員徑是變弧線為直線也 立置渾儀使北極居上而從二分平視之則惟極至交圏為外周不變其赤道黃道俱變直線為員徑而成輳心之角【即大距度平面角】是變弧線角為直線角也【又距等圏亦變橫線而成各度正與員徑平行】其赤道上逐度經圏之過黃赤道者雖變撱形而其正不變且厯算可見如在平面而與平面上之大距度正同角成大小句股比例是弧面各線皆可移於平面也故視法不但作圖之用即步算之法已在其中 以上謂之正視【以黃赤道為式若於六合儀取天頂地平諸線亦同他可類推】 以上謂之旁視【渾員上有垜疊諸線從旁側視之庶幾可見雖不能按度肖形而大意不失以顯弧三角之理為用亦多】 角之矢 如圖甲丙乙丁半渾員以甲戊乙弧界之則其弧面分兩角為一鋭一鈍以視法移此弧度於相應之平面亦一鋭一鈍即分員徑為大小二矢而戊丙正矢為戊甲丙鋭角之度【戊乙丙亦同】戊丁大矢為戊甲丁鈍角之度【戊乙丁亦同】故得矢即得角 角之八線 如前圖丙戊弧為甲銳角之度與丙庚等則丙戊之在平面者變為直線即爲甲鋭角之矢而戊巳為角之餘戊庚為角之正丙辛爲角之切線己辛為角之割線皆與平面丙庚弧之八線等 丁巳戊過弧為甲鈍角之度與丁乙庚過弧等則丁戊在平面者變為鈍角之大矢而戊巳余戊庚正丙辛切線己辛割線並與鋭角同【平面鈍角之八線與外角同用弧三角亦然】正弧斜弧之角與邊分為各類 凡三角內有一正角謂之正弧三角形三角內並無正角謂之斜弧三角形 正弧三角形之角有三正角者有二正角一鋭角者有二正角一鈍角者【以上種種不須用算】又有一正角兩鋭角者【內分二種一種兩銳角同度一種兩銳角不同度】有一正角兩鈍角者【內分二種一種兩鈍角同度一種兩鈍角不同度】有一正角一銳角一鈍角者【內分二種一種銳鈍角角合之成半周一種合銳鈍兩角不能成半周】計正弧之角九種而用算者六也 正弧三角形之邊有三邊並足者【足謂足九十度】有二邊足一邊小者【在象限以下為小】有二邊足一邊大者【過象限以上為大○以上三種可不用算】有三邊並小者【內分二種一種二邊等一種二邊不等】有二邊大而一小者【內分三種一種二大邊等一種二大邊不等一種小邊為一大邊減半周之餘】計正弧之邊八種而用算者五也 二邊俱小則余邊必不能大故無二小一大之形二邊俱大則余邊亦不能大故無三邊並大之形一邊若足則余邊亦有一足故無一邊足之形 正弧三角形圖一【計三種】 正弧三角形圖二【訃三種】 以上正弧形三種有同度之邊與角謂之二等邊形內有己形雖無同等之邉角而有共為半周之邉角度雖不同而所用之正則同即同度也 凡邉等者角亦等後仿此 正弧三角形圖三【計三種】 以上正弧形三種邊角與丁戊巳三種無異但無同度之邊凡正弧三角形共九種 斜弧三角形之角有三角並鋭者【內分三種一種有二角相等一種三角不相等一種三角俱等】有二角銳而一鈍者【內分四種一種二銳角相等一種二銳角不相等一種鈍角為一銳角減半周之餘一種二銳角相等而又並為鈍角減半周之餘】有二角鈍而一銳者【內分四種一種二鈍角相等一種二鈍角不相等一種銳角為一鈍角減半周之餘一種二鈍角相等而又並為銳角減半周之餘】有三角並鈍者【內分三種一種有二角相等一種三角不相等一種三角相等】計斜弧之角十有四種 斜弧三角形之邊有一邊足二邊小者【內分二種一種二小邊相等一種二小邊不等】有一邊足二邊大者【內分二種一種二大邊等一種二大邊不等】有一邊足一邊小一邊大者【內分二種一種大小二邊合之成半周一種合二邊不能成半周】有三邊並小者【內分三種一種三邊不等一種二邊等一種三邊俱等】有二邊大而一小者【內分四種一種二大邊等一種二大邊不等一種小邊為一大邊減半周之餘一種二大邊等而又並爲小邊減半周之餘】有二邊小而一大者【內分四種一種二小邊等一種二小邊不等一種大邊為一小邊減半周之餘一種二小邊等而又並為大邊減半周之餘】有三邊並大者【內分三種一種三邊不等一種二邊等一種三邊俱等】計斜弧之邊二十種 斜弧三角形圖一【計四種】 以上斜弧形四種並三角三邊同度謂之三等邊形內有二等邊者其一邊為等邊減半周之餘與三等邊同法【以同用正故】 斜弧三角形圖二【計十二種】 以上斜弧三角形十二種並二等邊形內有四種以大小二邊度成半周與二等邊同法【小邊為大邊減半周之餘則同用一正】 斜弧三角形圖三【計十種　厯書只九種遺一鋭二鈍形】 以上斜弧三角形十種並三邊不等【用算只四種】 凡斜弧三角形共二十六種 通共弧三角形三十五種【內除正弧三種不須用算實三十二種】 乙丁寅為赤道乙丙癸為黃道乙與寅為春秋分癸為夏至午癸丁辰為極至交圏午與辰為南北極午丙甲為過極經圈 丙乙為黃道距二分之度甲乙為赤道距二分之度【卯同升度】丙甲為黃赤距緯成丙乙甲三角弧形甲為正角乙春秋分角與渾員心卯角相應 癸丁弧為黃赤大距【即乙角之弧亦為夘角之弧】癸巳為乙角正卯巳其餘戊丁為乙角切線戊卯其割線卯癸及夘丁皆半徑成癸巳夘及戊丁夘兩句股形 又午夘半徑庚午為乙角餘切庚夘為乙角餘割成午夘庚倒句股形 丙辛為丙甲距度正丙壬為丙乙黃道正作辛壬線與丁卯平行成丙辛壬句股形 子甲為丙甲距度切線甲丑為甲乙赤道正作子丑線與丙壬平行成子甲丑句股形 酉乙為丙乙黃道切線未乙為甲乙赤道切線作酉未線與子甲平行成酉未乙句股形 前二句股形在癸丁大距弧內外【癸巳邜用正余在弧內戊丁夘用割切線出弧外】後三句股形在丙乙甲三角內外【丙辛壬在丙角用兩正在渾員內子甲丑在甲角兼用正切線半在內半在外酉未乙用兩切線在渾員外】 論曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安從乙視之則丁乙象限與丁夘半徑視之成一線而辛壬聨線甲丑正未乙切線皆在此線之上矣以其線皆平安皆在赤道平面與赤道半徑平行故也【是為句線】赤道平安則黃道之斜倚亦平其癸乙象限與癸夘半徑從乙視之亦成一線而丙壬正子丑聨線酉乙切線皆在此線之上矣以其線皆斜倚皆在黃道平面與黃道半徑平行故也【是為線】 黃赤道相交成乙角而赤道既平安則從乙窺夘卯乙半徑竟成一防而乙丑壬夘角合成一角矣 諸句股形既同角而其句線皆同赤道之平安其線皆同黃道之斜倚則其股線皆與赤道半徑為十字正角而平行矣是故形相似而比例皆等也【其夘午庚倒句股形為相當之用與諸句股形亦相似而比例等】 又論曰丙辛壬形兩正【丙辛丙壬】俱在渾體之內其理易明子甲丑形甲丑正在渾體內子甲切線在渾體之外已足詫矣酉未乙形兩切線【酉乙未乙】俱在渾體之外雖習其術者未免自疑厯書置而不言蓋以此耶今為補説詳明欲令學者瞭然心目庶以用之不疑 用法 假如有丙乙黃道距春分之度求其距緯丙甲法為半徑癸夘與乙角之正癸巳若丙乙黃道之正丙壬與丙甲距緯之正丙辛也 一　半徑全數　癸夘　 二　乙角正　癸巳　股 三　黃道正　丙壬　 四　距緯正　丙辛　股 若先有丙甲距度而求丙乙黃道距二分之度則反用之為乙角之正癸巳與半徑癸夘【若欲用半徑為一率以省除則為半徑午夘與乙角之餘割庚夘其比例亦同】若丙甲距緯之正丙辛與丙乙黃道之正丙壬也 一　乙角正　癸巳　　半徑全數　午夘　股二　半徑全數　癸夘　　乙角餘割　庚夘　 三　距緯正　丙辛　　　　　　　　　　股 四　黃道正　丙壬　　　　　　　　　　 右丙辛壬形用法 假如有甲乙赤道同升度求距緯丙甲法為半徑夘丁與乙角之切線丁戊若甲乙赤道之正甲丑與丙甲距緯之切線子甲也 一　半徑全數　卯丁　句 二　乙角正切　丁戊　股 三　赤道正　甲丑　句 四　距緯正切　子甲　股 若先有丙甲距緯而求甲乙赤道則反用之為乙角之切線戊丁與半徑丁夘【或用半徑為一率則為半徑夘午與乙角之餘切午庚】若丙甲距緯之切線子甲與甲乙赤道之正甲丑也一　乙角正切　戊丁　半徑全數　卯午　股二　半徑全數　丁夘　乙角餘切　午庚　句 三　距緯正切　子甲　　　　　　　　股 四　赤道正　甲丑　　　　　　　　句 右子甲丑形用法 論曰以上四法厯書所有但於圖増一夘午庚句股形則互視之理更明 假如有丙乙黃道距二分之度徑求甲乙赤道同升度法為半徑夘癸與乙角之餘夘巳若丙乙黃道之切線酉乙與甲乙赤道之切線未乙也 一　半徑全數　夘癸　 二　乙角余　卯巳　句 三　黃道正切　酉乙　 四　赤道正切　未乙　句 若先有甲乙赤道而求其所當黃道丙乙法為半徑丁夘與乙角之割線戊夘若甲乙赤道之切線未乙與丙乙黃道之切線酉乙也 一　半徑全數　丁夘　句 二　乙角正割　戊夘　 三　赤道正切　未乙　句 四　黃道正切　酉乙　 論曰以上兩條酉未乙形用法予所補也有此二法黃赤道可以自相求而正角弧形之用始備矣外此仍有三弧割線余之用具如別紙 十餘年前曽作弧三角所成句股書一冊稿存兒輩行笈中覓之不可得也庚辰年乃復作此至辛己夏復得舊稿為之惘然然其理固先後一揆而説有詳略可以互明不妨並存以征予學之進退因思古人畢生平之力而成一事良自不易世有子云或不以覆瓿置之乎康熙辛己七夕前兩日勿庵梅文鼎識是日也爲立秋之辰好雨生涼炎歊頓失稍簡殘帙殊散人懐 甲乙丙正弧三角形即測量全義第七卷原圖稍為酌定又増一酉未乙形 測員之用甚博非止黃赤也然黃道赤道南北極二分二至諸名皆人所習聞故仍借用其號以便識別案圖中句股形凡五皆形相似 其一癸巳夘形 以癸卯半徑為【即黃道半徑】癸巳正為股【即黃赤大距弧之正】巳夘余為句【即黃赤大距弧之餘】 其二戊丁夘形 以戊夘割線為【即黃赤大距弧之正割線】戊丁切線為股【即黃赤大距弧之正切線】丁夘半徑為句【即赤道半徑】 以上二句股形生於黃赤道之大距度乃總法也兩句股形一在渾體之內一出其外同用夘角【即黃道心亦即春分角】 其三丙辛壬形 以丙壬正為【即黃經乙丙弧之正以丙夘黃道半徑為其全數而夘壬其餘】丙辛正為股【即黃赤距緯丙甲弧之正亦以丙夘黃道半徑為其全數而辛夘其餘】辛壬橫線為句 法於赤道平面上作橫線聨兩餘成夘壬辛平句股形此形以距緯余【夘辛】為黃經余【夘壬】為股而辛壬其句也此辛壬線既為兩餘平句股形之句亦即能為兩正立句股形之句矣厯書以辛壬為丙辛之餘誤也然則當命為何線曰此非八線中所有乃立三角體之楞線也 其四子甲丑形 以子丑斜線為【此亦立三角體之楞線也非八線中之線】子甲切線為股【即黃赤距緯弧之正切線以赤道半徑甲夘為其全數而子夘其割線也】甲丑正為句【即赤經乙甲弧之正亦以赤道半徑甲夘為其全數而丑夘其餘也】 其五酉未乙形 以酉乙切線為【即黃經丙乙弧之正切線以黃赤半徑夘乙為其全數而酉夘其割線也】酉未立線為股【此亦立三角之楞線非八線中之線】未乙切線為句【即赤經乙甲弧之正切線亦以黃赤半徑夘乙為其全數而未夘其割線也】 以上三句股形生於設弧之度第三形在渾體之內第四形半在渾體之內而出其外第五形全在渾體之外 問既在體外其狀何如曰設渾圓在立方之內而以兩極居立方底葢之心以乙春分居立方立面之心則黃赤兩經之切線酉乙未乙皆在方體之立面而未乙必為句酉乙必為於是作立線聨之即成酉未乙句股形矣此一形厯書遺之予所補也【詳塹堵測量】 論曰此五句股形皆同角故其比例等然與弧三角真同者乙角也 第一【癸巳夘形】第二【戊丁夘形】兩形皆乙角原有之八線即春秋分角也其度則兩至之大距也 或先有角以求邊則以此兩形中線例他形中線得線則得邊矣 或先有邊以求角則以他形中線例此兩形中線得線則亦得角矣【蓋夘角即乙角也○若欲求丙角則以丙角當乙角如法求之】 第三形【丙辛壬形】以黃經之正【丙壬】黃赤距度之正【丙辛】為與股是以黃經與距緯相求 或先有乙角有黃經以求距緯【用乙角實用壬角下同】 或先有乙角有距緯以求黃經 或先有黃經距緯可求乙角亦可求丙角 第四形【子甲丑形】以黃赤距緯之切線【子甲】赤經之正【甲丑】為股與句是以距緯與赤經相求 或先有乙角有赤經以求距緯【用乙角實用丑角下同】 或先有乙角有距緯以求赤經 或先有赤經距緯可求乙角亦可丙角 第五形【酉未乙形】以赤經之正切【未乙】黃經之正切【酉乙】為句與是黃赤經度相求 或先有乙角有黃經以求赤道同升度 或先有乙角有赤道同升以求黃經 或先有黃赤二經度可求乙角亦可求丙角 又論曰諸句股形所用之夘壬丑乙四角實皆乙角何也側望則弧度皆變正而體心夘作直線至乙為夘壬丑乙線即半徑也今以側望之故此半徑直線化為一防則乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣 癸丁為乙角之度【即黃赤大距二至緯度】癸乙為黃道半徑丁乙為赤道半徑戊丁為乙角切線癸巳為乙角正戊乙爲乙角割線已乙為乙角余癸巳乙戊丁乙皆句股形其乙角即夘角 丙甲為設弧距度其正丙辛其切線子甲 丙乙為所設黃道度其正丙壬【因側望弧度正成一線】偕距度正丙辛成句股形其乙角即壬角 甲乙爲所設赤道同升度其正甲丑【因側望弧度正成一線】偕距度切線子甲成句股形其乙角即丑角 酉乙為所設黃經切線未乙為赤道同升度切線此兩線成一酉未乙句股形在體外真用乙角 正弧三角形求餘角法 凡弧三角有三邊三角先得三件可知余件與平三角同理前論正弧形以黃赤道為例而但詳乙角者因春分角有一定之度人所易知故先詳之或疑求乙角之法不可施於丙角茲復為之條析如左【仍以黃道上過極經圏之交角為例】 假如有乙丙黃道度有乙甲赤道同升度而求丙交角則爲乙丙之正與乙甲之正若半徑與丙角之正也 假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角則為丙甲之正與乙甲之切線若半徑與丙角之切線 假如有丙甲距度及乙丙黃道度而求丙交角則為乙丙之切線與丙甲之切線若半徑與丙角之餘 又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度則為半徑與丙角之正若乙丙之正與乙甲之正 或先有乙甲同升度而求乙丙黃道度則以前率更之為丙角之正與半徑若乙甲之正與乙丙之正 又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度則為丙角之切線與半徑若乙甲之切線與丙甲之正 或先有丙甲距度而求乙甲同升度則以前率更之為半徑與丙角切線若丙甲正與乙甲切線 又如有丙交角有乙丙黃道度求丙甲距度則為半徑與丙角余若乙丙切線與丙甲切線 或先有丙甲距度而求乙丙黃道則以前率更之為丙角余與半徑若丙甲切線與乙丙切線 論曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求余邊亦如其用乙角也所異者乙角定為春分角則其度不變丙角為過極經圏交黃道之角隨度而移【交角近大距則甚大類十字角近春分只六十六度半弱中間交角度度不同他亦然皆逐度變丙角】有時大於乙角有時小於乙角【乙角不及半象限則丙角大乙角過半象限則丙角有時小】故必求而得之又論曰丙交角既隨度移而甲角常為正角何也凡球上大圏相交成十字者必過其極今過極經圏乃赤道之經線惟二至時則此圏能過黃赤兩極其餘則但過赤道極而不能過黃道極故其交黃道也常為斜角【即丙角】交赤道則常為正角【即甲角】 又論曰丙角與乙角共此三邊【一乙丙黃道一乙甲赤道一丙甲距度】其所用比例者亦共此三邊之八線【三邊各有正亦各有切線】而所成句股形遂分兩種可互觀也 乙角所成諸句股皆以戊丁夘為例 內角所成諸句股皆以亥辰夘為例 並如後圖 如圖丙角第一層句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也在乙角兩正交於丙在丙角兩正交於乙皆與股之比例而同不同股【乙角丙角並以乙丙黃道正為而乙角所用之股為丙甲正丙角所用則乙甲正皆正也而同股別】 丙角第二層句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角丙角並以一正一切線交於甲為句與股之比例而所用相反【乙角於乙甲用正於丙甲用切線丙角則於乙甲用切線於丙甲用正皆乙甲丙甲兩弧之正切線而所用逈別】 丙角第三層句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙角以兩切線聨於乙在丙角以兩切線交於丙皆與句之比例而同不同句【乙丙兩角並以乙丙切線為而乙角以乙甲切線為句丙角以丙甲切線為句皆切線也而同句別】 球面弧三角形弧角同比例解 第一題 正弧三角形以一角對一邊則各角正與對邊之正皆為同理之比例 如圖乙甲丙弧三角形【甲為正角】　法為半徑與乙角之正若乙丙之正與丙甲之正更之則乙角之正角與對邊丙甲之正若半徑與乙丙之正也又丙角之正與其對邊乙甲之正亦若半徑與乙丙之正也合之則乙角之正與其對邊丙甲之正亦若丙角之正與其對邊乙甲之正 論曰乙丙兩角與其對邊之正既並以半徑與乙丙為比例則其比例亦自相等而兩角與兩對邊其正皆為同比例 又論曰甲為正角其度九十而乙丙者甲正角所對之邊也半徑者即九十度之正也以半徑比乙丙之正即是以甲角之正比對邊之正故以三角對三邊皆為同比例 第二題 凡四率比例二宗內有二率三率之數相同則兩理之首末二率為互視之同比例【即斜弧比例之所以然故先論之】 假如有甲乙丙丁四率甲【四】與乙【八】若丙【六】與丁【十二】皆加倍之比例也 又有戊乙丙辛四率戊【二】與乙【八】若丙【六】與辛【二十四】皆四倍之比例也 此兩比例原不同理特以兩理之第二第三同為乙【八】丙【六】故兩理之第一第四能互用為同理之比例【先理之第一甲四與次理之第四辛二十四若次理之第一戊二與先理之四丁十二皆六倍之比例也】 論曰凡二率三率相乘為實首率為法得四率今兩理所用之實皆乙【八】丙【六】相乘【四十八】之實惟甲【四】為法則得十二若戊【二】為法則得二十四矣法大者得數小法小者得數大而所用之實本同故互用之即為同理之比例也 試以先理之四率更為首率其理亦同【丁與辛若戊與甲皆加倍比例】若反之令兩四率並為首率亦同【甲與戊若辛與丁皆折半比例】並如後圖 第三題 斜弧三角形以各角對各邊其正皆為同比例 乙丙丁斜弧三角形任從乙角作乙甲垂弧至對邊分元形為兩正角形甲為正角 依前正角形論各對邊之正與所對角之正比例皆等 乙甲丁形丁角正與乙角正若半徑【即甲角正】與丁乙正是一理也 乙甲丙形丙角正與乙甲正若半徑與乙丙正是又一理也 兩理之第二同為乙甲第三同為半徑則兩理之首末二率為互視之同比例故丁角之正與乙丙之正若丙角之正與丁乙之正也 又如法從丁角作丁戊垂弧至對邊分兩形而戊為正角則乙角正與丁丙正亦若丙角正與乙丁正　又從丙作垂弧分兩形而壬為正角則乙角與丁丙亦若丁角與乙丙 一　丁角正　　　丙角正 乙丙丁斜弧三角形丁為鈍角　法從乙角作乙甲垂弧於形外亦引丙丁弧防於甲成乙甲丁虛形亦湊成乙甲丙虛實合形甲為正角 乙甲丁形丁角之正與乙甲邊若半徑與乙丁邊正一理也　乙甲丙形丙角之正與乙甲邊若半徑與乙丙正又一理也　准前論兩理之第二第三既同則丁角正與乙丙正若丙角正與乙丁正也 論曰丁角在虛形是本形之外角也何以用為內角曰凡鈍角之正與外角之正同數故用外角如本形角也 若用乙角與丁丙邊則作丙庚弧於形外取庚正角其理同上或作丁戊垂弧於形內取戊正角分兩形則如前法並同 用法 凡弧三角形【不論正角斜角】但有一角及其對角之一弧則其餘有一角者可以知對角之弧而有一弧者亦可以知對弧之角皆以其正用三率比例求之 假如乙丁丙三角形先有丁角及相對之乙丙弧則其餘但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此為角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可求乙角此為弧求角也 一　丁角正　　　　　一　乙丙正 二　乙丙正　　　　　二　丁角正 三　丙角正　乙角正　三　乙丁正　丁丙正四　乙丁正　丁丙正　四　丙角正　乙角正 厯算全書卷七