幾何論約 · 卷六

欽定四庫全書 幾何論約卷六 柘城杜知耕撰 一題 等高之角形方形自相為比例與其底之比例等解曰甲乙丙丁戊己兩角形乙辛戊庚兩方形等高其底乙丙戊己題言甲乙丙與丁戊己乙辛與戊庚皆若乙丙與戊己之比例 増題凡兩角形兩方形等底自相為比例與其高之比例等 耕曰即前圗以高為底以底為高其理自明二題 三角形任依一邉作平行線即此線分兩餘邉為比例必等三角形內有一線分兩邉為比例而等即此線與余邉為平行 解曰甲乙丙角形內作丁戊與乙丙平行題言丁戊分甲乙於丁分甲丙於戊其甲丁與 丁乙之比例若甲戊與戊丙也又言甲丁與丁乙甲戊與戊丙為比例而等則丁戊乙丙必平行論曰試作丁丙戊乙兩線其丁戊乙丁戊丙兩形同丁戊底又在平行線內即等【一卷三七】而甲戊丁與丁戊乙兩形之比例若甲戊丁與丁戊丙矣【五卷七】夫甲戊丁與丁戊乙亦同在平行線內則甲戊丁與丁戊乙兩形之比例必若甲丁丁乙兩底也【本卷一】依顯甲戊與戊丙兩底之比例亦若甲戊丁與丁戊丙兩形也是甲丁與丁乙亦若甲戊與戊丙矣【五卷十】 三題 三角形以一直線任分一角為兩平分分對角邊為兩分則兩分之比例若余兩邉三角形分角線所分對角邉之比例若余兩邉則所分角為兩平分解曰甲乙丙角形以甲丁線平分乙甲丙角題言乙丁與丁丙若乙甲與甲丙又言乙丁與丁丙若乙甲與甲丙則甲丁線分乙甲丙角必 為兩平分 論曰試作乙戊與甲丁平行次引長丙甲線至戊其甲乙戊與乙甲丁相對兩角必等外角丁甲丙與內角戊亦等【一卷二九】今乙甲丁與丁甲丙又等即甲乙戊角與戊角亦等而甲戊與甲乙兩腰亦等矣【一卷六】則戊甲與甲丙必若乙甲與甲丙夫戊甲與甲丙又若乙丁與丁丙【本卷二】是乙甲與甲丙若乙丁與丁丙矣 四題 凡等角三角形其在等角旁之各兩腰相與為比例必等而對等角之邉為相似邉 解曰甲乙丙丁丙戊兩形相當之各角俱等題言甲乙與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲丙若丁丙與丁戊甲丙與乙丙若丁 戊與丙戊而毎對等角之邉各相似相似者謂各前各後率各對本形之相當角 論曰試並置兩形令兩底成一直線次引長乙甲戊丁兩線相遇於己成乙己戊形其甲丙與己戊平行則戊丙與丙乙若己甲與甲乙即若等己甲之丁丙與甲乙也更之甲乙與乙 丙若丁丙與丙戊也又丁丙與己乙平行則乙丙與丙戊若己丁與丁戊即若等己丁之甲丙與丁戊也更之即乙丙與甲丙若丙戊與丁戊也依顯甲乙與甲丙亦若丁丙與丁戊也 糸凡角形內之直線與一邉平行而截一分為角形必與全形相似如甲乙丙角形作丁戊直線與乙丙平行而截一分為甲丁戊形必與 甲乙丙全形相似 増題凡角形之內任依乙丙邉作丁戊平行線於乙丙邉任取己防向甲角作甲己直線分丁戊於庚則乙己與己丙之比例必若丁庚與 庚戊 論曰甲巳乙甲庚丁兩角形既相似即甲己與己乙若甲庚與庚丁也更之即甲己與甲庚若己乙與庚丁也【五卷十六】依顯甲己與甲庚若己丙與庚戊則乙己與丁庚亦若己丙與庚戊也【五卷十一】更之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也【五卷十六】 五題 兩三角形其各兩邉之比例等即兩形為等角形而對各相似邉之角各等 解曰甲乙丙丁戊己兩角形其甲乙與乙丙若丁戊與戊己乙丙與甲丙若戊 己與丁己甲丙與甲乙若丁己與丁戊題言此兩形為等角形而對各相似邉之角甲與丁乙與戊丙與己各等【論同前題】 六題 兩三角形之一角等而等角旁之各兩邉比例等即兩形為等角形而對各相似邉之角各等 解曰甲乙丙丁戊己兩角形其乙與戊兩角等而甲乙與乙丙若丁戊與戊己 題言餘角丙與己甲與丁俱等【論同四題】 七題 兩三角形第一角等第二相當角各兩旁之邉比例等第三相當角或俱小於直角或俱不小於直角即兩形為等角形而對各相似邉之角各等 解曰甲乙丙丁戊己兩角形其第一甲角與丁角等第二丙角兩旁之甲丙乙丙兩邉偕相當己角兩旁之丁己戊己兩邉比例 等其第三相當角乙與戊或俱小於直角或俱不小於直角題言兩形之丙與己乙與戊角俱等八題 直角三邉形從直角向對邉作一垂線分本形為兩直角三邉形即兩形皆與全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形從直角作甲丁垂線題言所分甲丁丙甲丁乙兩形皆與全形 相似亦自相似 論曰甲乙丙甲丁丙兩形既各以乙甲丙甲丁丙為直角而丙角又同其餘一角必等而兩形為等角形等角旁之各兩邉比例必等依顯甲丁乙與甲乙丙全形亦相似夫兩形既各與全形相似即兩形亦自相似 糸從直角作垂線即此線為兩分對邉線比例之中率而直角旁兩邉各為對角全邉與同方分邉比例之中率何者丙丁與甲丁若甲丁與乙丁也故甲丁為丙丁乙丁之中率又乙丙與丙甲若丙甲與丙丁也故丙甲為乙丙丙丁之中率又乙丙與乙甲若乙甲與乙丁也故乙甲為乙丙乙丁之中率 九題 一直線求截所取之分 法曰甲乙直線或截取三分之一先從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己為三分次 作己乙直線末作丁庚與己乙平行即甲庚為甲乙三分之一 論曰丁庚既與己乙平行即己丁與丁甲若乙庚與庚甲合之己甲與甲丁若乙甲與庚甲也甲丁既為己甲三之一則庚甲亦乙甲三之一矣十題 一直線求截各分如所設之截分 法曰甲乙線求截各分如所設甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙線相聨末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線於己於庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也 從此題作一用法甲乙直線求平分若干分即從甲任作甲丙為若干平分余同前 又簡法如甲乙線求五平分即從乙任作丙乙線為丙乙甲角次任作丁戊與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己庚辛壬癸令丁癸小於甲乙次從甲過癸作甲子線 遇乙丙於子末從子作子壬子辛子庚子己四線各引至甲乙線為丑寅卯辰五平分 又簡法如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分即用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四線即分甲乙 於己辰卯寅為五平分 又用法先作一器如丙丁戊己任平分為若干格今欲分甲乙線為五平分即取甲乙之度一端抵 戊丙線一端抵庚辛線如甲乙大於戊庚即漸移之令合線若至壬即戊壬之分為甲乙之分 増題有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之比例【法同前】 又増題甲乙丙丁兩線各三分於戊己於庚辛其甲戊與戊乙若丙庚與庚丁甲己與己乙若丙辛與辛丁也即中率戊己庚辛各與前後率為比例亦等謂甲戊與戊己若丙庚與庚辛己乙與戊己 若辛丁與庚辛也 論曰試聨甲於丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三線相聨其甲戊與戊乙 既若丙庚與庚丁即庚戊與丁乙平行甲己與己乙既若丙辛與辛丁即辛己與丁乙平行而庚戊與辛己亦平行故甲戊與戊己若丙庚與庚辛也己乙與戊己亦若辛丁與庚辛也 十一題 兩直線求別作一線相與為連比例 法曰甲乙甲丙兩線求別作一線相與為連比例謂甲乙與甲丙若甲丙與所求線也先 合兩線作丙甲乙角以丙乙線聨之次引長甲乙線至丁令乙丁與甲丙等次作丁戊線與丙乙平行末引長甲丙線遇丁戊於戊即丙戊為所求論曰丙乙既與戊丁平行即甲乙與乙丁若甲丙與丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙與甲丙若甲丙與丙戊也【五卷七】 注曰別有一法以甲乙乙丙兩線列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引長甲乙線末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線於丁即乙丁為 所求 論曰甲丙丁既是直角而丙乙垂線即為甲乙乙丁之中率則甲乙與乙丙若乙丙與乙丁也【本卷八之糸】 十二題 三直線求別作一線相與為斷比例 解曰甲乙乙丙甲丁三線求別作一線相與為斷比例謂甲丁與所求線若甲乙與乙丙也先以甲乙乙丙為一直線次以甲丁線合甲丙 任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊與丁乙平行末引長甲丁遇丙戊於戊即丁戊為所求 論曰丁乙既與丙戊平行即甲丁與丁戊若甲乙與乙丙【本卷二】 十三題 兩直線求別作一線為連比例之中率 法曰甲乙乙丙兩線求別作一線為中率謂甲乙與所求線若所求線與乙丙也先並兩線成一直線而平分於戊即以戊為心甲作界作 甲丁丙半圜末從乙至界作乙丁垂線即乙丁為所求 論曰試作甲丁丁丙兩線成甲丁丙直角形【三卷三十】而丁乙垂線為對邉兩分線之中率【本卷八之糸】注曰依此題可推凡半圜內之垂線皆為兩分徑線之中率何者半圜之內從垂線作角皆直角故也【三卷三】 増題有甲乙甲丙兩線甲乙大於甲丙二倍以上求兩分甲乙而以甲丙為中率先以甲乙甲丙聨為直角平分甲乙於丁即以丁為心甲 為界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊與甲乙平行遇圜界於戊末從戊作戊己垂線而分甲乙於己即甲丙為甲己己乙之中率何者戊己既半圜內垂線即為兩分徑線之中率而甲丙與戊己等故為甲己己乙之中率 十四題 兩平行方形等一角又等即等角旁之兩邉為互相視之邉兩平行方形之一角等而等角旁兩邉為互相視之邉即兩形等 解曰辛乙乙己兩方形等【謂其容等】甲乙丙戊乙庚兩角又等題言此兩角旁之各兩邉為互相視之邉謂甲乙與乙庚若戊乙與乙丙也又言等角旁之各兩邉為互相視 則辛乙乙己兩形必等 論曰試以兩等角相聨於乙令甲乙乙庚成一直線而戊乙乙丙亦一直線【一卷十五増】次引長辛丙己庚遇於丁辛乙乙己兩形既等即辛乙與乙丁若乙己與乙丁也而辛乙與乙丁兩形等高即兩形之比例若其底甲乙與乙庚也【本卷一】依顯乙己與乙丁等高兩形亦若其底戊乙與乙丙也則甲乙與乙庚亦若戊乙與乙丙也 十五題 相等兩三角形之一角等即等角旁之各兩邉互相視兩三角形之一角等而等角旁之各兩邉互相視即兩三角形等 解曰甲乙丙丁乙戊兩角形等兩乙角又等題言等角旁之各兩邉互相視謂甲乙與乙 戊若乙丁與乙丙也又言等角旁之各兩邉為互相視則甲乙丙丁乙戊兩角形必等 論曰試以兩等角相聨於乙令甲乙乙戊成一直線而丁乙乙丙亦一直線【一卷十五増】次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊兩形既等即甲乙丙與丙乙戊之比例若丁乙戊與丙乙戊矣夫甲乙丙與丙乙戊兩等高形之比例若其底甲乙與乙戊也而丁己戊與丙乙戊兩等高形之比例亦若其底丁乙與乙丙也是甲乙與乙戊若丁乙與乙丙 十六題 四直線為斷比例即首尾兩線矩內形與中兩線矩內形等首尾兩線矩內形與中兩線矩內形等即四線為斷比例 解曰甲乙己庚戊己乙丙四線為斷比例謂甲乙與己庚若戊己與乙丙也題言甲乙乙丙矩內甲丙形與己庚戊己矩內戊庚形等又言兩矩內形等則甲 乙與己庚必若戊己與乙丙也 論曰兩形之乙與己兩角既等而等角旁之兩邉又互相視則兩形必相等【本卷十四　若平行斜方形而等角亦同此論】十七題 三直線為連比例即首尾兩線矩內形與中線上直角方形等首尾兩線矩內形與中線上直角方形等即三線為連比例 解曰甲乙戊己乙丙三線為連比例謂甲乙與戊己若戊己與乙丙也題言甲乙乙丙矩內甲丙形與戊己上戊庚方形等又言甲乙乙丙矩內形與戊己上 方形等則甲乙與戊己必若戊己與乙丙也論曰試作己庚線與戊己等即戊己己庚兩線矩內形與甲乙乙丙兩線矩內形等【本卷十六　若平行斜方形而等角亦同此論】 糸凡直線上方形與他兩線矩內形等即此線為他兩線之中率 十八題 直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等法曰甲乙線上求作直線形與所設丙丁戊己庚形相似而體勢等先於 設形任從一角向對角作直線分本形為若干角形如上形即分為角形三次於元線上作甲壬乙角形與丙己丁角形等次作乙壬辛甲壬癸兩角形與丁己戊丙己庚兩角形等則甲乙辛壬癸與所設形相似而體勢等凡設多角形俱仿此増簡法如設甲乙丙丁戊直線形求於癸線上作一形與所設形相似而體勢等先於甲角旁之甲乙甲戊引長之為甲己甲壬次從甲向各角作直線為甲庚甲辛次 於甲乙線上截取甲己與癸線等末從己作己庚與乙丙平行作庚辛辛壬與丙丁丁戊各平行即所求 十九題 相似三角形之比例為其相似邉再加之比例解曰甲乙丙丁戊己兩角形其相當之角各等而甲乙與乙丙若丁戊與戊己題言兩形之比例為乙丙與戊己再加之比 例 論曰若兩形等則為相同之比例即再加仍相同之比例若乙丙大於戊己邉即於乙丙截乙庚令乙丙與戊己若戊己與乙庚也次作甲庚線其甲乙與乙丙若丁戊與戊己更之即甲乙與丁戊若乙丙與戊己也亦若戊己與乙庚也夫甲乙庚與丁戊己兩形有乙戊兩角等而各兩邉又互相視即兩形等【本卷十五】又甲乙丙與甲乙庚等高兩形之比例若其底乙丙與乙庚即甲乙丙與丁戊己兩形之比例亦若乙丙與乙庚矣乙丙己戊乙庚三線既為連比例則乙丙與乙庚為乙丙與戊己再加之比例 糸依本題可顯凡三線為連比例即第一甲線上角形與第二乙線上角形之比例若第一甲線與第三丙線也第二乙線上角形與第三丙線上角形之比例亦若第一甲線與 第三丙線也皆再加之比例故也 二十題 以三角形分相似多邉形則分數必等而相當各三角形各相似其各相似兩三角形之比例若兩元形其元形之比例為兩相似邉再加之比例 先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸兩多邉形其相當各角俱等而等 角旁各兩邉之比例各等題言各以角形分之其角形之分數必等而相當之各角各相似 次解曰各相當角形之比例若兩元形 論曰此角形之比例既若彼角形則此各角形並必若彼各角形並是此全形若彼全形矣 後解曰兩元形之比例為兩相似邉再加之比例論曰兩分形之比例既若兩元形而兩分形之比例為兩相似邉再加之比例則兩元形亦為相似邉再加之比例 増題甲直線倍大於乙直線則甲直線上方形與乙直線上方形為四倍大之比例若甲方形與乙方形為四倍大之比例則甲線必倍大於乙線何者相似兩形之比例為 其邉再加之比例故也 糸依此題可顯三直線為連比例則第一線上多邉形與第二線上相似多邉形若第一線與第三線之比例 二十一題 兩直線形各與他直線形相似則兩形自相似 二十二題 四直線為斷比例則兩比例線上各任作自相似之直線形亦為斷比例兩比例線上各任作自相似之直線形為斷比例則四直線亦為斷比例 解曰甲乙丙丁戊己庚辛四線為斷比例謂甲乙與丙丁若戊己與庚辛也於甲乙丙丁線上任作兩角形於戊己庚辛線上任作兩方形題言四形亦為斷比例謂甲 乙壬與丙丁癸若戊丑與庚卯又言若四形為斷比例則甲乙丙丁戊己庚辛四線亦為斷例何者角形與角形方形與方形皆為其相似邉再加之比例故也 二十三題 等角兩平行方形之比例以兩形之各兩邉兩比例相結 解曰甲丙丙己兩平行方形兩丙角等題言兩形之比例以各等角旁各兩邉之比例相結者謂兩比例之前率在此形兩比例之後率在彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙與丙戊相結也或以乙丙 與丙戊偕丁丙與丙庚相結也 論曰試以兩等角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直線次引長甲丁己庚遇於辛次任作一壬線次以乙丙丙庚壬三線求斷比例之末率線為癸【本卷十二】末以丁丙丙戊癸三線求斷比例之末率線為子其甲丙丙辛兩形等高既若乙丙丙庚兩底即若壬與癸也依顯丙辛丙己兩形亦若癸與子也平之即丙甲與丙己若壬與子也【五卷二十】若以乙丙與丙戊偕丁丙 與丙庚相結以乙丙丙戊聨成一線依上推顯注曰乙丙與丙庚丁丙與丙戊二比例既不同理又異中率故借壬與癸癸與子同中率而不同理之兩比例以為象令相象之丙庚丁丙亦化兩率為一率為乙丙丙戊首尾兩率之樞紐因以兩比例相結所以通比例之窮也自三以上仿此二十四題 平行方形之兩角線形自相似亦與全形相似 解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線任作戊己庚辛兩線與丁丙乙丙平行交角線於壬題言戊庚己辛兩角線方形自 相似亦與全形相似 二十五題 兩直線形求作他直線形與一形相似與一形相等法曰甲乙兩直線形求作一形與甲相似與乙相等先於甲邉丙丁上作丙戊方形與甲等【一卷四四四五】次依丁戊邉作丁辛方形與乙等次作一壬癸線為丙丁丁庚之中率【本卷十二】末於壬癸作子形與甲 相似即與乙相等 論曰丙丁壬癸丁庚三線既為連比例則一丙丁與三丁庚若一丙丁上之甲與二壬癸之上之子相似兩形 之比例又若丙戊與丁辛等高兩形之比例則丙戊與丁辛若甲與子矣夫丙戊丁辛元若甲與乙今又若甲與子是乙與子等也 二十六題 平行方形之內減去一平行方形其減形與元形相似而體勢等又一角同則減形必依元形之對角線解曰乙丁平行方形內減戊己平行方形元形與減形相似而體勢等又同甲角題 言戊己形必依乙丁形之對角線 二十七題 凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線之上闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕依形必大於此有闕依形 解曰甲乙線平分於丙於甲丙半線上任作甲丁形為甲丙半線上有闕依形次作甲戊滿元線形而丙戊為丙乙半線上闕形次作丁乙角線末任作己壬癸子兩線與甲乙乙戊平行交角線於庚即得甲庚為甲乙 線上有闕依形而癸壬為闕形癸壬闕形既依乙丁角線則與丙戊闕形相似而體勢等題言甲丁有闕依形必大於甲庚有闕依形 論曰己丁丁壬兩形同高等底即兩形等【一卷三六】而庚戊為丁壬之分則丁壬大於庚戊較餘一庚丁形其大於丙庚亦如之【丙庚庚戊兩餘方相等故】即等丁壬之己丁形大於丙庚亦較餘一庚丁形也次毎加一丙己形則甲丁必大於甲庚矣 又解曰若庚防在丙戊形之外即引乙丁角線至庚作辛丑與癸戊平行次引甲癸乙癸聨之末作庚己與辛甲平行 得甲庚為甲乙線上有闕依形而己丑為闕形與丙戊闕形相似而體勢等題言甲丁有闕依形亦大於甲庚有闕依形 論曰試引丙丁線至子即辛子子丑兩線等而辛丁丁丑兩形亦等其丁丑己丁兩餘方亦等即己丁與辛丁亦等夫辛丁大於辛壬既較餘一庚丁形則己丁之大於辛壬亦較餘一庚丁形也此兩率毎加一甲壬形則甲丁大於甲庚者亦較餘一庚丁形矣依顯不論庚防在丙戊形內形外凡依角線作闕形而與丙戊相似者其有闕依形俱小於甲丁以必有庚丁之較故也 二十八題 一直線求作依線之有闕方形與所設直線形等而其闕形與所設方形相似其所設直線形不大於半線上所作方形與所設方形相似者 法曰甲乙線求作依線之有闕方形與丙等而其闕形與丁相似先平分甲乙於戊次於戊乙半線上作戊庚形與丁相似次作甲庚滿線形若甲己形與丙等即得所求矣若甲己大於丙【若甲己小於丙即不 可作】即等甲己之戊庚亦大於丙也 則求戊庚大於丙之較為壬【一卷四五 増】即作癸丑形與壬等而與戊庚 相似次截取己巳己卯與癸子癸 寅等而作己卯方形必與癸丑相等相似而又與戊庚相似次引己辰抵元線又引卯辰兩端作午未線即甲辰為甲乙線上有闕依形與丙等而乙辰闕形與丁相似 論曰辰庚與辰戊兩餘方既等毎加一乙辰角線形即乙己與戊午亦等而與等戊午之戊未亦等乙己與戊未既等又毎加一戊辰形即甲辰與申辰酉磬折形等矣夫磬折形為戊庚之分而戊庚與丙及癸丑並等戊庚既截去等癸丑之卯己則所余磬折形與丙等矣即甲辰亦與丙等 二十九題 一直線求作依線之?余方形與所設形等而其餘形與所設方形相似 法曰甲乙線求作依線?余 方形與丙等而其餘形與丁 相似先平分甲乙於戊於戊 乙上作戊庚方形與丁相似 次別作辛方形與丙及戊庚 並等又別作癸丑方形與辛等又與丁相似癸丑既與辛等即大於戊庚次引己戊至卯與壬丑等引己庚至寅與壬癸等而作寅卯方形即卯寅與癸丑等又與戊庚相似次引甲乙至己引庚乙至午引午卯至未末作甲未線與己卯平行即得甲辰?余方形依甲乙線與丙等而己午為余形與戊庚相似即與丁相似 論曰甲卯戊午既等戊午與乙寅兩餘方又等是甲卯與乙寅亦等矣而毎加一卯己形則甲辰與申乙酉磬折形必亦等夫磬折形元與丙等【卯寅即癸丑元與丙及戊庚並等毎減一戊庚即磬折形與丙等】即甲辰亦與丙等三十題 一直線求理分中末線 法曰甲乙線求理分中末先於元線作甲丙方形次依丁甲邉作丁己?余方形與甲丙形等而甲己為余形又與甲丙相似則戊己分甲乙於辛即所求【本卷界三】 論曰丁己與甲丙兩形既等毎減一甲戊形即甲己辛丙兩形亦等矣此兩形之兩辛角既等即等角旁之各兩邉為互相視之線也【本卷十四】而等戊辛之甲乙線與等辛己之甲辛線其比例若甲辛與辛乙也是甲辛乙為理分中末也 三十一題 三邉直角形之對直角邉上一形與直角旁邉上兩形若相似而體勢等則一形與兩形並等 解曰甲乙丙三邊直角形甲為直角各邉上任作直線形相似而體勢等題言乙丁形與乙庚丙辛兩形並等 論曰甲丙上方形與乙丙上方形之比例若丙辛與乙丁甲乙上方形與乙丙上方形之比例若乙庚與乙丁夫甲丙甲乙上兩方形並與乙丙上方形等【一卷四七】則丙辛乙庚兩形並亦必與乙丁等増題角形之一邉上形與余邉上相似兩形並等則對一邉角必直角 三十二題 兩三角形此形之兩邉與彼形之兩邊相似而平置兩形成一外角若相似之各兩邉各平行則其餘各一邉相聨為一直線 解曰甲乙丙丁丙戊兩角形其甲乙與甲丙若丁丙與丁戊也試平置兩形令相切成一甲丙丁外角而甲乙與丁丙甲丙與丁戊各相似之兩邉各平行題言乙丙丙戊為一直線 三十三題 等圜之乗圜分角或在心或在界其各相當兩乗圜角之比例皆若所乗兩圜分之比例而兩分圜形之比例亦若所乗兩圜分之比例 解曰甲乙丙戊己庚兩圜等其心 為丁為辛兩圜各任割一圜分為 乙丙為己庚其乗圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界者為乙甲丙己戊庚題先言乙丙與己庚兩圜分之比例若乙丁丙與己辛庚兩角次言乙甲丙與己戊庚兩角之比例若乙丙與己庚兩圜分後言乙丁丁丙兩腰偕乙丙圜分乙丁丙分圜形與己辛辛庚兩腰偕己庚圜分己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚兩圜分一系在圜心兩角之比例皆若兩分圜形 二系在圜心角與四直角之比例若圜心角所乗之圜分與全圜界四直角與在圜心角之比例若全圜界與圜心角所乗之圜分 幾何論約卷六