簡明邏輯學二十講 · 第二十講　余話

「我們談邏輯談了這麼多次……關於它歷史演進的大概情形，似乎也應該提到一下。」老教授說，「我已經說過，邏輯學的鼻祖是亞里士多德。亞里士多德關於邏輯的研究收集在《工具論》里。自亞里士多德以後，邏輯在中世紀沒有什麼進步。中世紀學者對於亞里士多德的邏輯，只做了一些煩瑣的注釋工作。這期間邏輯之所以沒有什麼進步，最大的原因是將邏輯的題材囿限於自然語言界域中，而沒有開闢那邏輯題材豐富的數學園地。 「到了十七世紀，德國數學家萊布尼茨（Leibnitz）提出普遍數學（mathesis universalis）和普遍語言（characteristica universalis）的觀念。這算是開近代邏輯之先河。可惜，萊布尼茨只提了一個頭，他並沒有把他的想法發展出來。到了十九世紀，英國數學家喬治·布爾出現，才開始大規模地正式用數學方法研究邏輯。從他開始，邏輯和純數學才逐漸合流。邏輯上有名的布爾代數（Boolean Algebra）就是布爾創建的。他在這方面的重要著作有《邏輯之數學的解析》（Mathematical Analysis of Logic），一八四七年出版；《思考規律》（Laws of Thought），一八五四年出版。那個時候，學者對於邏輯的性質沒有現在這麼清楚。邏輯的研究受哲學上的知識論甚至於形上學的影響。哲學家多以為邏輯是思維之學，所以，布爾的邏輯書，也被冠以思考規律的名稱。其實，這本書所講的內容，與思考之心理歷程毫不相干，與思考之知識論的問題也毫不相干，而主要是邏輯之代數學的表示。繼布爾而起的，有德國數學家施羅德。他在這方面的著作，有三巨冊的《邏輯代數學》（Algebra der Logik）。 「布爾以後，最大的邏輯家是弗雷格（Gottlob Frege）。弗雷格是十九世紀中葉到二十世紀初葉的人。他的貢獻頗多，有邏輯系統構造方法、語句演算、語句函數、量化項（Quantifiers）、推論規律，並從邏輯推出算術等。因為弗雷格的著作艱深，所用符號繁雜，所以不大為同時的人所知悉，甚至被人誤解。」 「學者常有這類不幸。」王蘊理說。 「是的……到了本世紀，由於羅素之發現，弗雷格大為受人重視。現在，弗雷格的著作被翻譯出來，學理一一被人介紹與闡釋。時至今日，研究邏輯與數學基礎的人，沒有不研究弗雷格的。比弗雷格稍晚的，有義大利的皮亞諾（G.Peano），他對邏輯代數學有所革新。 「到了二十世紀，羅素和懷特海出現。他們的工作，主要系集十九世紀以來數理邏輯諸研究的大成。二人合著《數學原理》。這部著作，凡三巨冊，被公認為亞里士多德的《工具論》以後邏輯研究中的里程碑。這部著作實證地證明，用系統建構的方法，可以把全部純數學從邏輯推論出來。這部著作對於現代純數學家與邏輯家發生了決定性的激勵作用。由於羅素的倡導，四十年來，從事數學基礎與邏輯研究的西方學者，數目一天比一天多。 「自從《數學原理》問世以來，邏輯的研究呈現一種分殊（ramification）的趨勢。在羅素以後，最堪注意的，而且影響最大的人物有三個：一個是羅素的門人路德維希·維特根斯坦。他的重要著作是《邏輯哲學論》（Tractatus Logico–Philosophicus）。現代邏輯中最有影響的套套邏輯（tautology）概念，是他明顯地提出的。維特根斯坦之倡導，促成維也納學派（Vienna Circle）之興起。由於維也納學派之興起，促成解析哲學之創建。還有一個是奧國邏輯家哥德爾（K.Gödel），另外一個是卡爾納普（R.Carnap）。哥德爾的重要貢獻是不全定理（incompleteness theorem），以及與這個定理有密切關聯的另一定理。這另一定理說，我們在一個邏輯系統以內，於某些條件下，不可能構成一個證明來證實這個系統是自身一致的。他又貢獻了語法之算術化（arithmetization of syntax）的方法。卡爾納普教授則深受弗雷格的影響，從事邏輯語法的研究。他的著作頗多，重要的有《語言的邏輯語法》（Logical Syntax of Language）、《意義與必然》（Meaning and Necessity）、《蓋然的邏輯基礎》（Logical Foundation of Probability）。繼他們而起的人物，遍布英美和西歐。」 「吳先生，您所說的，我們有些還不了解。」王蘊理說。 「當然，剛才所說的，有些是很專業的問題。要能了解它們的意義之所在，必須做進一步的研究，或專門的研究。」 「是不是要讀您剛才所舉的那些書呢？」周文璞問。 「當然要讀的。……不過，學不躐等，最好還是按部就班來，先讀些基本的書。」 「先讀哪些書呢？請問。」周文璞又接著問。 「如果二位還有興趣的話，那麼最好再讀讀沃爾夫（A.Wolf）教授著的《邏輯學教材》（A Textbook of Logic），Lodon，George Allen and Unwin Ltd出版。沃爾夫教授多年教這一門功課，教學經驗豐富。這本書中，純邏輯成分，雖然沒有咱們這些天來討論得多，但應用的部分和一般的常識真不少，所以讀讀是有益的。這本書文理條暢淺明，對初學者並不難。 「如果二位讀了這本書還感到不滿足，而希望多知道一點兒新的知識，多得到一些新式的訓練，那麼有本內特（A.Bennett）和貝利斯（C.A.Baylis）兩位教授合著的《形式邏輯：現代導論》（Formal Logic: A Modern Introduction）。本內特是美國布朗大學的數學教授，貝利斯是該校的哲學教授。這本書內容豐富，說理精當，觀點頗新，習題頗多。」 「您說的這兩種書，是不是主要以符號邏輯為內容的書呢？」王蘊理問。 「不是的，二者都是採取兼容並收的寫法。」 「假如我們想讀點兒符號邏輯的書，您可以介紹哪些呢？」王蘊理又問。 「有兩種很標準的著作。一是艾麗絲·安布羅斯和莫里斯·拉澤羅維茨合著的《符號邏輯基本原理》（Fundamentals of Symbolic Logic），New York，Rinehart and Co.Inc.出版。這本書說理暢達，編排均勻，又將古典邏輯兼消於類論（Theory of Classes）之中，恰到好處，所以，自出版以來，書評界迭有好評。可惜，這本書對於類型論（Theory of Types）談得太少，這是美中不足之處。 「如果二位的興趣偏重數理，那麼最好是熟讀塔爾斯基教授的《邏輯引論》（Introduction to Logic），Oxford University Press出版。塔爾斯基教授是波蘭人，現在流亡美國，在加利福尼亞大學任教。他是美國的第一流邏輯家。其所著Wahrheitsbegriff的論文，對於語意學及哲學解析，影響頗大。這本《邏輯引論》是為習數學而有邏輯興趣者寫的。第二部分，在事實上是講系統學的，尤見精彩，但須細讀方可通。」 「假若我們還想參及旁的書，應須讀些什麼呢？吳先生！」周文璞問。 「最好是讀奎因的新著《邏輯的方法》（Methods of Logic），New York，Henry Holt Co.出版。奎因在美國哈佛大學做哲學教授，是美國第一流邏輯家，以量化論（Theory of Quantification）為主要貢獻。這本書寫得很見精審，德國邏輯家也有好評。 「再進一步，讀希爾伯特和阿克曼二氏合著的Grundgüge der Theoretischen Logik。此書有英譯本，叫作Principles of Mathematical Logic，New York，Chelsea Publishing Company出版。希爾伯特是德國大數學家克萊因（Klein）以後的數學權威。這本書，邏輯界公認為標準的邏輯教本，凡現代邏輯中的重要問題，如類型論、決定問題（Entscheidungsproblem），無不論列。不過這本書，正如許多老牌德國人寫的理論書一樣，寫得非常緊湊，正文只有一百三十頁，不多也不少，必須精讀。近年來，寫專門的邏輯論文者、作博士論文者，常常引用它，其重要可以想見。 「假若我們已熟讀了上面所說的書，而對於邏輯再想深進，那麼最佳的可讀的標準著作便是奎因教授的《數理邏輯》（Mathematical Logic），Harvard University出版。這部書是邏輯界公認的一部精心巨構。如果我們熟讀並習完這部書，那麼對於現代邏輯的知識與訓練，可說『大體具備』。從此再往前去，不難左右逢源。 「如果我們已經熟讀並且習過上面所說的那些書，那麼就可以參讀懷特海和羅素合作的巨構《數學原理》。」 「吳先生！請問有沒有關於邏輯的刊物呢？」王蘊理問。 「有的，丘奇（A.Church）教授等人編輯的《符號邏輯》（The Journal of Symbolic Logic）是這方面的專門學刊。這個學刊的編輯，多是從事邏輯研究的專家。這個學刊是國際性的，所用語言至少有英、德、法三種。其中所發表的專文乃世界第一、第二流的著作。其中的書評也多出自專家手筆。不過，這些作品，必須具備邏輯上專門的知識和訓練，才可讀懂。其餘有關邏輯的文章，就英文的而言，常散見於《科學哲學雜誌》（Journal of Philosophy of Science）、英國出版的《分析》（Analysis），以及英美的幾種哲學刊物。」 「唔……」老教授沉吟一會兒說，「現代邏輯和邏輯語法有不可分的關聯。例如，我們想把類型論說清楚，就非利用邏輯語法不可。因此，我們研究邏輯到達相當程度，就必須從事語法的研究。我們要研究邏輯語法，就不可不讀前面曾提到過的卡爾納普教授所著的《語言的邏輯語法》，London，Kegan Paul出版。除了語法以外，邏輯還有一個重要的層面，就是語意。關於語意學的研究，卡爾納普教授的兩種著作——一種是前面提到過的《意義與必然》，University of Chicago Press出版；另一種是《語義學導論》（An Introduction of Semantics），Harvard University Press出版——都是需要讀的。此外，還有塔爾斯基教授以及其他學者的若干篇重要論文，也是必須讀到的。如果我們再把範圍擴大一點兒，想要知道語義學、邏輯同哲學的關係，那麼應讀的書有林斯基（L.Linsky）的《語義學與語言哲學》（Semantics and the Philosophy of Language），The University of Illinois Press出版。這是一本精彩的文集。 「如果咱們想對邏輯深造，那麼至少必須攻習數學中的組論（set theory）。假若我們再對嚴格的『邏輯哲學』發生興趣，那麼必讀的著作是古德曼（N.Goodman）教授的新作《表象的結構》（The Structure of Appearance），Harvard University Press出版。這部書寫得很硬，內容專業，新見層出，必須花一番氣力去讀才行。 「邏輯與其他科學的關係真是越來越密切。」老教授加強他的語氣，「我們知道，一切科學雖不只是語言，卻離不開語言。語言有語法，有語意。語法和語意弄清楚了，科學問題的一面就解決到了相當的程度。制定普遍的語法結構，及其推論程序，和真假之規定，是邏輯的任務。……談到這裡，我覺得耶魯大學費奇教授（Professor Fitch）說的話很中肯。他說：『二十世紀五十餘年來，邏輯特別發達，人類首次得到一種有力的工具。這種有力的工具足以幫助我們推論種種關係以及一切種類的性質。符號邏輯已經應用到生物學、神經生理學、工程、心理學和哲學中。將來有一天符號邏輯家能夠像物理學家之久已能夠研究「毫無顏色的」物理學觀念一樣，清楚而有效地思考社會、道德和美學概念。邏輯這一新科學之充分的功用尚未被大家所感覺到。這一部分是由於邏輯之理論的發展尚未完成，一部分是由於許多人有能力很便利地運用符號邏輯，但是他們還不知道有符號邏輯存在。當符號邏輯的功用被大家感覺到時，那麼一個比較豐富的、比較符合人類需要的和比較理智的哲學，可以漸漸建立起來。現在，如果我們對於數學沒有堅實的基礎，那麼我們便不能攻習物理學。同樣的，將來總有一天，我們如果沒有符號邏輯的徹底訓練，我們便不能研究倫理學與政治學……』對於思想有節律的人而言，這段話再真實不過了。固然，正如懷特海所指出的，我們不能全靠符號之助來思想，但是，我們必須先將思維運算規範於邏輯運算之中，然後再談其他。符號邏輯中的推論方式是人類積長期努力而得到的運算方式。這種方式，雖非完全夠用的方式，但為比較可靠的方式。如果我們舍此方式而不顧，思意如天馬行空，如楊花亂舞，固可得詩情畫意，但思想的校準又在何處安頓呢？」 「這樣，再擴大一點兒看，邏輯是人生必不可少的學問了。」周文璞說。 「……就我的經驗來說，確乎如此，並不是賣瓜的說瓜甜呀！哈哈！」老教授笑道，「不過，我們可別以為邏輯對於人生的關聯都是直接的。照我看，邏輯對於人生的關聯，間接的時候多，可是，我們不要因其關聯多為間接而輕忽它。在一長遠歷程中，愈是間接的東西，其作用愈大。……塔爾斯基教授把邏輯與人生的關聯，說得夠明白。」吳先生拿起塔爾斯基的書譯道，「顯然得很，邏輯的未來正如一切其他理論科學一樣，根本需要人類有一個正常的政治和社會關係，這些因素不是學者專家們所能控制的。我並不幻想邏輯思想的發展在使人與人之間的關係正常化的歷程中有什麼特殊重要的影響，但是我深信，將邏輯知識廣為傳播，可以幫著加速人與人間的關係之正常化。因為，在一方面，邏輯在其自己的領域裡把概念的意義弄精確和一律，並且強調概念的意義之精確和一律在任何其他領域中的重要作用。藉此，邏輯可以使願意這樣做的人之間獲得較佳的了解。在另一方面，邏輯可以使我們的思想工具日趨完備和鋒利。我們的思想工具日趨完備和鋒利，我們的批評能力就可加強。這樣一來，我們也許就不易被一切似是而非的推理所迷誤。在我們這個世界上，到處充滿著似是而非的推理，而且是時時不斷地發生。」「嗯！……」老教授譯完塔爾斯基的話，輕輕舒了一口氣，「二位覺得邏輯是人生必要的學問嗎？」 「的確是很必要的。」周文璞說。 「我們聽講了這麼多次，對於邏輯找到了一個門徑，並且得到不少的訓練。您真花了不少的時間和氣力。」王蘊理說。 「哦！那不要緊。希望二位把我所說的作為出發點，再向前深究。」 「一定的，謝謝。」周文璞說。 王蘊理起身道：「希望以後有機會多多賜教。」 「好的，不妨多多討論。」