皇朝經世文統編 · 卷九十六　格物部二　算學

振興算學論 此論系友人金匱華世芳先生所撰錄登於報以供眾覽其文曰數為六藝之一權於隸首而詳於周官保氏孔門七十子之徒咸通其理秦漢而降代不乏人如洛下張衡劉焯祖之輩各有著述號為專家唐時設明算科其書頒在學宮令博士弟子分年肄習沿及宋元其學大盛自明人崇尚八股始薄九章為小道或鄙夷而不屑或學之而不精唐顧諸人奮其私智纔學中墮我　國家右文稽古振興算學　　　聖祖仁皇帝聰明天亶幾務餘閒旁及象數　　御纂數理精蘊五十三卷立綱明體分條致用以點線面體為經以和較順逆為緯通中西之異同闡天人之微奧大哉　　聖人之製作固當超萬古而上一時承學之士若薛儀甫王曉庵梅征君類皆甄明八線洞曉六宗而梅氏著書至七十餘種闡明各法意境瑩然以故宗其學者益眾干嘉以來人才輩出自戴東原表章古籍而算經諸書傳自張古愚李尚之羅茗香諸君核算細草而天元四元之術明自明靜庵董方項梅侶戴諤士徐鈞卿諸家發揮杜術而屢乘屢除之法精自李壬叔讀徐李之業而幾何曲線重學代數微分積分之學備算學之至今日古義既明新法日出斯誠極古今未有之奇萃中外一家之盛矣然以中國之大人材之眾而海內精此學者不過十餘家而嘉道時院文達公編輯疇人傳為書祗四十六卷羅氏續之得六卷然猶借才於異代借才於異地以中原文獻之邦曾不若泰西諸國之盛者何也西國算學列於書院月有考試等其高下而進退之大書院肄業者多至數百人夫聚數百人之心思才力相與計論而研究之其用力少而成功速也明矣中國則不然律令有天文之禁　朝廷無考試之條而欽天監率任世職默守成法習其所當然而不知其所以然功名之士誰肯舍其當務之急而為此不急之務即有一二篤志嗜學之人而或窮鄉僻壤既少書籍之考證又無友朋之講習冥搜暗索勞精疲神焉有不廢然中輟者乎同治中大臣有上書請　詔開算學科者格於部議未見施行觀禮部原奏雲昔康熙年間楊光先與湯若望賭測日影於　午門九卿中無一知其法者由是以推今若開科將不獨應試者人數不敷即主試者亦恐驟難其選吁亦可慨矣幸年來當軸諸公有見於西人制器之精無不以算學為本而尤惜從事於此者之少也思有以振興之由是京師設同文館閩中滬上兩船廠亦開學堂招致生徒講明算法而學使歲科兩試始有錄取算學之例可謂求其本矣今兩廣張制軍講求實用為國儲才創建算學館廣致算師誘掖而獎進之語云城中好高髻四方高一尺吾知有志之士必爭為有用之學行見家有其書人自為學實事求是精益求精將上以察天星之高遠下以辨地域之廣輪以製造測量之學西人所矜為獨得者更不難發其扃而辟其奧誰得目為小道而忽之哉 推廣算學議 禮樂射御書數六藝之中算居其一正字通周髀算經二卷注云數學始包犧氏周公授於商高以九數勾股重差算日月周天行度遠近之數算經雲黃帝定三數為十算命隸首作數以率其羨要其會隸首因以著九章周禮雲保[氏](民)養國子以道乃教之六藝曰九數注數即九章算術也漢平征天下歷算小學所在為駕一封又張蒼善算故以列侯居相位綜理上計唐李淳風明步天曆算制渾天儀著法象書七篇又江本撰三位乘除法位算法二卷宋祖之有度景量竿法皆本勾股重差為乘除元博極書凡天文地理歷算靡不研究明洪武定科舉格中式後十日以騎射書歷五術試之鄭善夫言漢宋以來皆設算學與儒算同科謂之四門博士古人往籍歷歷可征算學之行已非一朝一夕即列入考試令典亦早有所由來中朝成憲遵循近時經古中亦許諸生報考然勾股開方弦和測量等術仍不外周髀所遺且命題者非盡精通曆算不過抄錄前人之說依樣葫蘆故各處所出算學題苟幕無熟習之人大都不脫範圍千篇一律別無翻新花樣意見獨奇者自利瑪竇入中國與徐光啟譯幾何本而後知算學一門厥用甚廣一天文也行星之度晝夜之運行風雨陰晴推遷不爽一地輿也經緯之分明道路之遠近山川江海高下深闊皆有一定之理一製造也配合勾連大小輕重馬力則有多有少運動則有速有遲一軍戰也鎗炮之準頭藥彈之增損緯度之平直地勢之低昂以上四途僅以舊法應之必至臨事茫然格不相入而西學中無不需算欲求事之有濟非精於此藝斷不為功中興以後國家風化維新力除積習知西人之學實為富強之原於是竭其才智聰明有心效法十年以前又准臣工之奏特開算學一科將算學生咨送總署覆勘作為算學生員俟鄉試之年按冊咨取錄送順天鄉試每二十名取中一名會試則與諸士子仍歸大號既中貢士即為洋務人員如此破格取才朝廷已為鄭重然算法包羅甚廣羅茗香先生平生習算至不得游息之閒嘗謂習算之人須精神充足由童時以至壯歲中無作輟方得旁通曲證參透精微若欲於文章八股餘閒兼習其藝以為此乃尋常小學不必甚專此大謬也夫人生記悟之功全在髫齡若使年華已富則心思渙散詎能深入顯出體會深微算學變化靡窮縱探討甚勤尚恐不能精到若偶然涉獵其能造極登乎今天子求才崇尚有用之學張香帥雄才大略又能為國盡心宜算措余資於各省設立公塾招集子弟專教西算西算既習考取之後將進取之生分隸各種學堂或習天文或習地理或習製造開礦各藝不必誦讀西文宜由　朝廷明定章程將已有西人各種算書欽定全集其不足者翻譯以補之務使簡括詳明一覽便能明曉最妙者各縣皆設時務西學書院其中另設算學一齋俾有志者肄業則人才易於培養而算學可推行矣或謂中國之大州縣之多若盡聘西師非惟經費太多抑亦有才難之嘆然子弟啟蒙之始不必良師茲思得簡易之法天主耶穌教堂遍於中國皆中國為之保護該教士皆性情肫摯好學多才且立志大公毫無私弊既蒙吾朝恩寵豈無報之心今議各學堂即請若輩以充教師代為化導每縣各立學堂各延教士俟子弟學問已進擇尤送入省會學堂再求深造此則節糜費而成實效廣造就而養真才將來潤色昇平棟樑大豈非國家之福自強之基哉 學算筆談序 華蘅芳 孟子言仁義禮智有四端吾謂算亦有端算之端何計較之心也兒童分果必爭其大農夫行路必趨快捷方式計較之顯然者無論矣他若衣服之工補短截長奇袤合度則有面積之意也烹飪之工味咸而和以水味淡而劑以鹽則有比例之意焉此皆能算之端具於生初者也是故有是端而不知擴充之則囿於一藝一能之末有是端而知所以擴充之則統乎萬事萬物之綱故凡天文之高遠地域之廣輪居家而布帛粟菽在官而兵河鹽漕以至儒者讀書考證經史商賈持籌權衡子母莫不待治於算此又算之切於日用斯須不可離者也夫以算之切於日用者既如此具於生初者又如彼宜乎夫人而知之夫人而能之矣而世之學者輒詫為絕業而苦其難明者何哉竊嘗論之上古之算本簡捷而易明也自後世事物日變人心智慮日出於是設題愈難布算愈繁而精其業者各以心得著書又好為隱互雜糅窮極微奧不屑以淺近示人甚或秘匿其根源以炫異變易其名目以托古此今古疇人之積習作者之恆情算學之境因是而益深而學算之人宜其望洋而興嘆也咸同以來風氣稍開四方向學者漸眾津逮初學之書亦漸出顧或力求簡易語焉不詳或稗販成書無足觀覽或硜硜然隨問演草因題立術亦云曲盡能事矣然無論說以疏達之貫澈之學者病其煩讀不終篇輒倦而思臥耳餘有鑒於此而重惜人人具有擴充之力而未得其用力之途也思有以誘掖而引進之因舉學算次第之大旨並胸中所欲言者一一達之筆而著於篇演為算式以習其數設為問答以窮其趣法由淺而入深語雖繁而易曉聊以擴充其能算之端云爾至於辭句之俚俗體例之參差見哂高明所不計也刻既成因書其緣起於簡端以質海內遊藝之君子 總論算法之理 華蘅芳 人之心中若果懵懵然茫無知覺則亦不必談及算學若其稍有知覺而能思維計較者即已有算學之理與有生以俱來試觀孩兒嬉戲見果必爭取其大者因其胸中已有一多寡之見存焉也由是知算學之理為人心所自有並非自外而入故取算書中不甚繁重之題以語不習算法之人彼亦能積思而得其所求之數惟遲速難易則與能算者大異焉此因算之未得其法則各數悉從心計而出故必甚難苟知算法則無論設數如何皆可以法馭之而心中可不必思索所以能事逸而功倍也夫一切算法其初皆從算理而出惟既得其法則其理即寓於法之中可以從法以得理亦可舍理以用法苟其法不誤則其理亦必不誤也 識數之法 物生而後有象象而後有滋滋而後有數則物之有數乃人之強立名目以記物之多寡者也故亦謂之數目 數目之名即一二三四五六七八九十是也然數可多至無窮若每數必立一名則不勝其繁且終不能盡紀其數故又立一簡便之法名其自一至九為單位之數滿十則為進一位之數仍以自一至九之各字記之而名之為當十之位滿百則又進一位亦仍以自一至九之各字記之名之為當百之位由此而百進為千千進為萬而十萬而百萬而千萬其位均以下一位之數滿十而進為一則任數之如何多皆可以此法記之 所以必以十進制者因人手有十指便於屈指計之也凡常用之數大抵以十進制者為多惟天文家度分秒之數則以六十進制 各位之數既俱可用自一至九之各數記之則其空位當以零字記之或作一圈以代零字亦可 凡學算法必先從識數起故識數為算學中第一步工夫不識數之人不可以學算也惟數目之字並無意義可尋其初必從強記而得所以人自孩提之時父母即教其識數聰明之人有數歲即能識數者愚蠢之人有數十歲仍不識數者識數之法先將自一至十之十個字讀至極熟能一氣貫注而不凌亂錯雜便能將十個物任取幾個數之知其為何數再從一十一讀至一百則能數一百個錢又知十百為千十千為萬等意則其人便可為識數之人 識數之工夫由於習練而成非但口中要熟亦須眼中看慣方能敏捷如將子五枚置於桌上則兒童不能隨口即言其數必用手一一數過而後知之此因眼光未習練之故也及已看慣則物之不滿十個者平常之人皆能一望而知之惟因眼中亦能識數故數物可不必一個一數而可任幾個數之然亦各有數法譬如數錢數則以五個一數而口中呼一五一十十五為最便譬如數雞卵則手中不能持五個雞卵祗能兩個一數而口中呼一雙兩雙至末則雲幾雙或幾雙多一個此固尋常習用之法而其中已暗以加法乘法為妙用焉維不經道破則人亦不覺耳 大扺物之能隨手運動者數之易其不能隨手運動者數之稍難因不能將已數過者另置一邊也譬如入山林而數叢樹往往數之數次不得分明因其已數過者與未數過者易致看錯非有遺漏則有重複故不能得其真實之數然此亦有法焉可將他物於每數過之樹次第作志則無志者為未數過之樹易於遍數而遍志之以得其的確之數其作志之意猶之另置一邊也 作志之法惟手所能及之物或手雖不能及而可用長竿及之者則可若其物非手與竿之所能及則此法不能用譬如欲數清天空之星則其事甚難因不能於星上作志也 人雖不能於星上作志然可於紙上作點以肖其星故可觀列宿之形而一一繪之於紙以成星圖則數圖上之星與數天上之星無以異也所以星亦有數此皆識數以後之巧思也算法亦為各種巧思故遇一難算之題則必有一法以解之及解去此難又有一難於此者在前必又有一法以解之如此由淺入深步步各有難處而步步各有巧法故無論題之如何深奧皆可於紙上寫之算之以與人共明之 論加減乘除開方之用 華蘅芳 算學中各種題若非用加減乘除開方等法以馭之則不能得其所求之數可見此五者實為算學中各種利器藉以攻堅入深者也有此五者則於尋常淺近之算學中已無不能推算之題 然學算之人每不以加減乘除開方為難而以用此五者為難因題中所言之各數但有其彼此相關之理而未明言其何數為實何數為法何數當加減何數當乘除開方也題之形狀萬變不窮知其一未必知其二通於此未必通於彼則加減乘除開方雖已習之極熟而不得其用之之道亦幾與不習者無異焉 然則如之何而後可惟有將從古迄今所有之各種算學題目由淺及深分門別類一一立術演草或加以圖說以明其何以當加減何以當乘除何以當開方則題意明而馭題之法亦明可不致遇題束手矣 吾且掩卷思之古今來所有之算學書流傳於世者奚止數百種吾所曾經寓目者亦有數十種此數十種書何種非將算學之題由淺入深分門別類按題立術演草附圖以明其加減乘除開方之故者與其抄撮前人之書以侈吾之卷帙曷若請學算之人自觀各種算書以明其加減乘除開方之用也哉 果如此說則筆談之作即可從此而止矣然而仍不能已者何也余於算學中寢饋者已數十年此中之甘苦知之最悉故欲將已歷過之境界已見到之地步為學者縷述之以助其觀書之功而省其枉費之力俾不致如余之盡從暗中摸索得來則吾願慰矣 吾於算學生平未嘗受業於人即與能算者相友善亦未嘗數數問難也惟樂觀各種算學之書自十五六歲時偶於故書中檢得坊本算法心竊喜之日夕展玩不數月而盡通其義吾父見其癖嗜此學必是性之所近也遂為之購求算學之書爰得周髀九章孫子五曹張邱建夏侯陽輯古海島益古演測圓海鏡俾縱觀之除益古海鏡二書以外其為常法所能通者以加減乘除開方之法馭之無不迎而解惟於天元之術則格格不相入者幾及一年始得渙然冰釋後又得秦氏數書九章梅氏歷算全書羅氏觀我生室季氏遺書董方立遺書衡齋算學焦理堂學算記駱春池遊藝錄始知算學有古今中西之異同而幾何原本當時尚未譯全其前六卷世無單行之本惟數理精蘊中有之及購得數理精蘊遂能通幾何之學而吾年亦已二十矣是時海內算學名家如項氏梅侶徐氏君青戴氏崿士李氏秋紉其所著各書尚未出因訪秋紉於墨海書館見其方與西士偉烈亞力對譯代數學及代微積拾級尚未告竣秋紉謂余曰此為算學中上乘功夫此書一出非特中法幾可盡廢即西法之古者亦無所用之矣余於是知天元之外更有代數微分積分之術爰從其譯稿中錄得數條視之迄不得其用意之處又閱數年其譯本先後刊竣惠我一編披閱數頁外已不知其所語云何也其格格不相入者猶之初讀海鏡時也詰諸李君則雲此中微妙非可以言語形容其法盡在書中吾無所隱也多觀之則自解耳是豈旦夕之工所能通曉者哉余信其言反覆展玩不輟乃得稍有頭緒譬如傍晚之星初見一點旋見數點又見數十點數百點以致燦然布滿天空是余之於代數其明也以漸非如天元之術不悟則已一晤則豁然開朗也然後知代數之術其層累曲折多於天元故其致用之處亦比天元更廣從此以後無時不究心於代數每覺李氏所譯之二種殊非易於入手之書故余又與西士傅蘭雅譯出代數術微積溯源三角數理代數難題解法流播於世於是今之言算者皆知西法之代數即是中法之四元而其淺深難易則不可同日而語矣 或有問者曰如子之說則必先羅致多書而後可以學算乎抑不必羅致多書而亦可學算乎 答之曰學算不必多書也惟擇其要者觀之而已其最易入手者為程氏算法統宗屈氏九數通考此二書於加減乘除開方之用言之極詳故於初學最相宜且從此又可學得開帶縱平方及正立方之法亦可稍知西法中各種名目九章算術為中法最古之書其文義與古書相往來亦學者不可不讀之書也能讀九章則一切古算書無不能讀矣是書鍾祥李雲門演有細草圖說極為詳細外間有刻本矣 幾何原本為西法中最古之書不言法而言理不言數而言象徹乎立法之源凡九章所不及者無不賅也不讀幾何則不能明點線面體之理而於加減乘除開方之用終不能瞭然於心目之間是書第十卷之理甚深非初學所能通曉但觀其前六卷可也 幾何之界說及各題字字齊力其釋題之語無一字不周到無一句無來歷學者讀慣此書其心思自能縝密則看各種算學之題如禹鼎燭奸可以無遁形矣 論看題之法 華蘅芳 初學之人於題中之各句句中之各字往往模糊看過不能字字盡見雖將其題看之多次算之數遍仍有一兩個最要緊之字未曾看清非真未見此數字也見之而不知其用意之所在則此數個最要緊之字依然漠不關心亦猶之乎不見而已 題中之字句有極其力者有不甚力者又有可有可無者惟其可有可無及不甚力之字往往皆顯露於面前一望即見而其極力之字則藏伏隱匿於各字之間而使人不易見是在乎看題之眼光能識別之其辭氣輕重之間最有關係故於虛字尤不可忽略看過也 凡看算學之題務將其每句每字俱看完全不可有一字遺漏亦不可有一字不從心上經過則可知題之所語云何其注意之處何在即能知其某句某字力不力於是題中所暗藏之意思可以盡顯而各數相關之故亦確鑿可指而不至有游移兩可之見夫而後題中之各數能為我所用而我之加減乘除開方等法亦肯為題中各數所用而不至於捍格不相入矣 算學中各種題譬如用線綰成各種花樣之結加減乘除開方等法猶之各種器具可用以解結者也惟欲用各器以解其結必先看清結之絲縷方能有下手之處看題之法亦如是而已 既能看清題中之絲縷則可將題中不要緊之閒字閒句逐漸刪汰之而變為另自一種說法惟其各數相關之理則不可與原題稍有背謬 假如有題雲某日買筆二枝用錢十四文某日買墨一錠用錢十文某日買紙十張用錢二十文問共享錢若干 題所問者為共享之錢而不計其用去之日故其筆墨紙三物雖非一日所買而其共用去之錢則與一日用去者無異也所以題中之三個某日二字俱與算法不相關可以刪去之又因題之所問者為共享之錢非問筆之每枝墨之每錠紙之每張其價若干也所以可改其題雲筆十四文墨十文紙二十文共錢若干 然其所買之物實與所用之錢亦無相關因買筆買墨買紙之錢可作買茶買酒買漿之錢算之其共享之錢無異也即作一次買物二次買物三次買物算之其共享之錢亦無異也所以又可改其題雲先用十四文後用十文又用二十文問其用錢若干則夫人而知當以此三數相加而得其共享之錢四十四文矣 惟有一種題其字句一氣呵成不能稍為刪節則只可看明題意而將題中各數別作一簡易之說法 假如九章之題雲五雀六燕集稱之衡雀俱重燕俱輕一雀一燕交而處衡適平並雀燕重一斤問雀燕一枚各重幾何 則此題之意言五雀重於六燕也其五雀六燕之共重為十六兩也又言一雀五燕與四雀五燕其重相等也惟因一雀五燕與四雀一燕相併即為五雀六燕所以可將十六兩分為兩個八兩一為一雀五燕之重一為四雀一燕之重則可改其題之說法雲一雀五燕共重八兩四雀一燕亦共重八兩問雀燕一枚各重幾何 凡看數題而覺此題與彼題相似者必將其兩題看至極其透徹究竟其中或有略異之處否題有面目雖異而算法則同者亦有面目相似而算法不同者 假如有兩題其一雲原有錢一千文已用去四百文今剩錢若干其二雲原有錢一千文今剩去四百文已用去若干 則此兩題之說法雖異而算法則同因用去之錢與今剩之數於原有之中減了今剩即是用去之數也 假如九章之題雲今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止問犬不止復行幾何步及之 又如代數術中之題雲有野兔為獵犬所追兔在犬前五十步犬每行三步兔能行四步而兔之三步等於犬之兩步問犬追若干步可得兔　觀此知中西皆有犬追兔之題其說法及算法略有不同而所求之數則俱為犬之步數也其第一題不及三十步而止之句其三十是兔之步數若認作犬之步數則誤矣 算學之題大抵有比例者居多惟其相比之理每暗藏於所言各事之事其相比之數又顛倒錯亂和較雜糅於各數之內觀者最易為其混淆 即以四率比例之題而論其一率二率三率有順列於各句之內者亦有不依次序者試列六題如左 其一題雲原有錢二十千文買得米十石今有錢五十千文問可買若干石 其二題雲先將米十石售得錢二十千文今又欲得錢五十千文問須售去米若干石 其三題雲今有錢五十千文欲以買米先用錢二十千文買得米十石問其錢可共買米若干石 其四題雲今有錢五十千文欲以買米已知每米十石其價為二十千文問可買米若干石 其五題雲甲有錢二十千文乙有錢五十千文均欲買米甲將其錢買得米十石問乙錢可買米若干石 其六題雲甲有米十石乙有錢五十千文甲以其米售得錢二十千文問乙錢可買米若干石 則以上六題其比例之率均為二十與十之比若五十與二十五之比 總言之算學中所有之各題其平正通達簡明直捷者固多而其暗藏機械有意難人者亦復不少看題之人如聽斷疑獄如搜捕伏匿雖具明察之才精細之心苟非老成諳練洞悉此中故智者不能盡知其情偽也 更有一種難題其設題之時已將題中要緊之義藏匿於人所不易留心之處而將題中不應有之算理顯豁呈露以使人易於誤認若不遲回審顧而後下手鮮有不受其愚弄者 假如有題雲今有布一匹共長二十尺每日剪取一尺用之問幾日剪畢 則驟觀此題必答曰二十日殊不知其數已誤矣因題之所問者是幾日剪畢非問幾日用畢也若問幾日用畢則每日用一尺其二十之布當為二十日用畢今問幾日剪畢則每日剪去一塊其長一尺至第十九日已剪去十九塊計共已剪去十九尺其所剩之一塊適得一尺可為第二十日之用而第二十日取此一塊布時不必再動剪刀則是十九日剪畢也 由此可見前題中末句之剪字乃是最力之字斷乎不可輕忽者也看題之時若讀至末句不能將此剪字看出而以為與幾日用畢幾日可畢幾日而畢幾日乃畢無異則安得不誤算耶 其所以易誤之故因題中所言之各數俱為整齊易算之數其二十尺為一尺之二十倍而一日剪一尺又明明有一比例之理置於面前則觀者不及轉念已不覺脫口而出曰二十日是駟不及舌矣 假如有題雲今有竿高十尺有蟲從平地起緣竿而行每日能上二尺而夜間必縮下一尺問此蟲幾日能到竿頂 見此題而不細思其故必以為每日上二尺而下一尺則是只上一尺也一日上一尺則十日必上十尺而到竿頂矣所以必答曰十日 殊不知行至第八日其蟲之足已至九尺之處及縮下而在高第八尺處過夜至第九日窮日之力再上行二尺已到竿頂矣題所問者是能到竿頂之日其已到而再縮下則不計矣 前題所以易誤之故由於始念之差但知其每日只上一尺而忘其第一日上行之數已到二尺之處若以第一日為能到二尺而每日能上一尺固是九日到頂也 大抵看題之法不過是心思細密又能習練眼光令人不能乘我之懈耳非必每題每術一一能強記之也 論馭題之法 華蘅芳 學者既能看明題理即能用加減乘除開方等法以馭其題惟題之形狀萬變不窮則馭題之法亦當隨機應變不能執一以論也 尋常之算學書其每題之下必有答數又必有專算此題之術或更有細草圖說附焉則依其術以演其數固是易易惟每題各有一術苦於不能記憶學算之人若非胸有成竹則一掩卷即不能算矣於是有將各術分明別類編成歌訣以便於記誦者殊不知所記者乃是呆法耳題目一變即無所用之矣 既明算理之人於書中所有之各題可不必觀其術曰如何自能立術以馭其題其所立之術或與本書之術合或出於本書之外而能殊途同歸惟但明幾何而未習天元之人其所立之術必枝枝節節而為之不能有一以貫之之理故其用心也苦而用力也勞 不論其題之如何變化而概用一法馭之者惟天元之術能之然天元仍籍幾何為用故雖有天元而幾何之理要不可以盡廢也 算學中有數種常用之法其理皆從幾何而出其法必由於學之而後能苟無其法則加減乘除開方無所施其技而天元亦不能用矣茲設數題以明其各法之用 一題　有大小兩數之和及大小兩數之較求其大小兩數 法以和較相加半之得大數以和較相減半之得小數 二題　有四率比例之一二三率求其第四率 法以二三兩率相乘一率除之得第四率 三題　有正方形或方形之縱橫兩邊求其方形之面積 法以縱橫兩邊相乘得方形面積 四題　有句股形求其面積 法以句與股相乘半之得句股形面積 五題　有平三角形求其面積 法以底邊與中垂線相乘半之得三角形面積 六題　有平圓之周徑求其面積 法以周徑相乘四除之得平圓面積 七題　句股弦面羃相等之理 凡句之平方與股之平方相併必等於弦之平方 八題　求正立方形及帶縱立方形之體積 法以長與相乘又以高乘之即得立方形體積 九題　求塹堵陽馬臑之積 塹堵之積居立方二分之一　陽馬之積居立分三分之一　臑之積居立方六分之一 十題　求高台之積 法以上長倍之加下長以上廣乘之又倍下長加上長以下廣乘之兩數相併又以高乘之以六除之得其台積 以上十題僅擇算書中最要者略舉數端耳讀者觸類旁通可也 論學算之法 華蘅芳 算學中門徑甚多歧途百出非備嘗此中之艱苦者不能洞悉其曲折所以學算亦不可無法也 學算之人其志向各有不同故其所學之事遂亦從此分焉綜而計之大約可分為兩類一為闡明數理以成著作一為推演各數施之實用 算學中可施之實用者皆無難為之事如推田畝之積步倉之積斛商功之積尺測量高深廣遠推步日月五星皆已有成法在前依其法而演之祗須知加減乘除及比例之法已綽乎有餘其須用開方者固不多見也 即進而論造表之法如八線與弧背互相求真數與對數互相求或從縱橫兩線求各曲線之長及其所函之面積皮積體積若既有其本題之級數式依其式而演之亦不過用加減乘除開方而已並無難為之事也 所以學算者之志向若只求見用於當世為衣食名利之計則祗須熟習整數分數小數之三種加減乘除開方再從各書中摘錄測量推步各種成法藏之篋中便已無所不能算矣天元代數之術皆可不必究心也 若非急於求用而務欲闡明數理則其所學之事非株守成法者所可比因數學中深奧之理無窮則其明理之法亦非一端所能盡故必兼綜各法乃於理無障之處也 一切算法皆從條之理而生故算學中淺近之理皆可以幾何之法明之惟篤信幾何之人每自恃其點線面體之學而不信天元且不肯再習天元此乃為幾何所囿而不得自脫者也 用幾何之法以明算理每題必作一圖每圖必系以說有圖無說有說無圖皆不足以發明題義然至立方以上其條之理已不能繪圖則幾何之術窮矣天元之術不必處處言條而一切條之理無不包括於其中此益古演之所由名也至如積相消而條之理終不肯紊亂所以無論若干乘方亦無論如何帶縱不必分別其形象而概以一例推之 惟演元之書其所設之各題大抵務為深奧而不適於用習天元者不能不習其題則從此又生魔障矣此非為天元所誤乃為天元書中之題所誤也 即如句股弦可以彼此相求又能以和較之互相求又能以和較之和較互相求亦可謂極其變化之妙矣猶不肯已則以同式之各句股又成和較而一一識別其彼此相關之理標名立目條分縷析以解之創之者自詡神奇傳之者共推絕學師以此授其弟官以此課其士萃古今能算之才使之困頓老死於句股之中而不自知悔悟者李欒城之力也 幾何之學從條以明題理故條明而題理亦明天元之學從題理以明條故題理明而條亦明惟幾何之條必藉夫圖天元之條則無藉乎圖也所以天元所明之理能比幾何更深 然天元但能將未知之數明其條而其已知之數則渾和於太極之中不能一望而知其條如何惟代數之術則無論已知之數未知之數其條之理莫不一二分明故代數所明之理又能廣於天元 學者既明代數之術則於數理之奧賾者固無不能明矣然猶有言之或甚繁求之或甚難而不得簡易之法以賅之者何哉因代數但能推一切常數而不能推其變數也惟微分積分之術則能推一切變數故有微分積分之術而代數之用愈廣矣 或有問者曰如子之說天元勝於幾何代數勝於天元微分積分又勝於代數則學者何不徑習微積而必從幾何元代以及微積耶 答之曰不習幾何則於如積之理不能盡明故不可徑習天元不習天元則於正負開方之理不能盡明雖從代數得其相等之式亦不易求其同數微分積分其算式仍籍代數為用不習代數烏能徑習微積所以幾何元代微積其學必循序而及不可躐等而進也 或又問曰微積之必由代數而出固無疑矣若謂習代數者必先知天元習天元者必先明幾何此乃欺人之論也夫天元中法也幾何代數皆西法也中西各創其法曾未彼此相謀則創天元者固不知有幾何也創代數者亦不知有天元也不知者尚且能創而謂反不能學者天下有是理乎 答之曰余之所謂循序而及者言如此學之則易於入耳非謂舍此即不能學也創天元者固未見幾何之書而天元之理則無非幾何之理也創代數者雖未見天元之書而代數之理則猶之天元之理也然則幾何元代其明理之法雖異而其所明之理則同惟幾何為初學所最易明故必從幾何入手天元之書難於幾何而易於代數以其有數可核也代數之法繁於天元而其用則廣於天元故既明天元方可學代數 又有問者曰演數與明理既分為兩途則演數者固不必明理矣惟不知明理者亦能演數否且不知明理者所演之數有異於不明理者所演之數否 答之曰明理之人惟不喜演數耳非不能演數也使強明理之人為演數之事其演得之數亦無異於演數者所演之數也惟專門演數之人因已演之甚熟故速而且准為明理者所不能及耳 或又問曰算法之事所用者數也明其理而不善演其數則是能說而不能行矣又曷取乎明理為哉 答之曰演數者祗能用法而明理者則能創法凡演數者所用之法皆明理者之所創也算法古疏今密古拙今巧苟非明其理而精益求精安能至此乎明理之人譬如創業演數之人譬如守成其勞逸難易有不可同日而語者明理之人非但能創前所未有之法又能以因為創而將從前已有之法改之使更便於用故有至難之法一變而為至易者亦有至繁之法一變而為至簡者即如圓徑求周古時用割圓之法開方數十次僅能得數位密率今用屢乘屢除可任求若干位密率而不必開方又如求八線之法古時用六宗三要二簡法而不能任求某角之線今則弧背與八線能彼此相求又如真數求對數古時用中比例之法以代開數十百次之方今用級數可以任求而不必用中比例其簡易不知幾何倍矣 或又問曰明理始能創法是創法之人無有不明其理者也吾見近時算學之書每有但言其所立之各術而於立術之理則不贅一辭豈其理祗能自明而不能與人共明歟抑秘其立術之理而惟恐人之得明歟 答之曰子所言之書其創法之時用天元之術以演各尖堆之積枝枝節節而為之此中曲折之故祗為創法者所自明若欲與人共明其理則取徑紆布算繁重演之非易言之甚難不能如微分積分之直捷簡明也卷帙既多則刊校均非易事故先刊各術而其釋術之書將俟續出後因已見微積之術覺己法不足以傳示後世遂焚棄其稿未可知也或身遭兵燹就義成仁而遺稿飄零散失亦未可知也 或又問曰有數種算學之書其所立之術雖未嘗自匿其理而觀其釋術之語終不能明白曉暢其故何也 答之曰立術之理若非從大公至正之軌悟入每覺可以意會而不可以言傳故自明其理則易欲使他人共明其理則難其人雖有深致遠之心思而筆墨所達未能曲盡其妙則他人觀之仍不能明此亦由於觀是書者功夫尚淺未能領略其語耳 或又問曰今之算術密矣巧矣簡而易矣蔑以加矣吾恐從此以後即有鑽研數數之人亦未必能再創新術矣 答之曰他事皆有止境而算學無止境也古人創術之時何嘗不自以為巧密逮有功密於古術者則以古術為拙矣後之視今亦猶今之視昔安知此後更無再巧再密之術而視今之巧密者為拙耶 論比例之用 華蘅芳 中法之異乘同除即西法之四率比例也九章之中惟粟米一章真為四率比例之題方田差分商功均輸雖非全是比例而其中藏有比例之理故皆可以比例通之若少廣盈朒方程句股每章各有專術不必強以比例明之羅茗香作比例匯通將一切算法皆歸比例識者譏之 題中所藏之比例其理未必盡顯是在乎學者探索題意而得其相比之理則能將題中各數用加減乘除造成比例之率有祗用一次比例者亦有必用數次比例者所以比例之名甚多有正比例轉比例合率比例按分遞折比例遞加遞減比例超位加減比例和較比例等名名目愈多頭緒愈亂余以為比例只有一法乃二三兩率相乘以一率除之而得四率也其名目之多乃是造此諸率之法隨題異形稍有分別耳 新譯幾何原本序代曾文正公 張文虎 幾何原本前六卷明徐文定公受之西洋利瑪竇氏同時李涼庵匯入天學初函而圜容較義測量法義諸書其引幾何頗有出六卷外者學者因以不見全書為憾咸豐間海李壬叔始與西士偉烈亞力續譯其後九卷復為之訂其舛誤此書遂為完帙松江韓綠卿嘗刻之印行無幾而板毀於寇壬叔從余安慶軍中以是書子曰此算學家不可少之書今不刻行復絕矣會余移駐金陵因屬壬叔取後九卷重校付刊繼思無前六卷則初學無由得其蹊徑而亂後書籍盪泯天學初函世亦稀覯近時廣東海山仙館刻木紕繆實多不足貴重因並取六卷者屬校刊之我中國算書以九章分目皆因事立名各為一法學者泥其而求之往往畢生習算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而視為絕學者無他徒眩其法而不知求其理也傳曰物生而後有象象而後有滋滋而後有數然則數出於象觀其象而通其理然後立法以求其數則雖未前人已成之法而設之若合符契至於探賾索隱推廣古法之所未備則益遠而無窮也幾何原本不言法而言理括一切有形而概之曰點線面體點線面體者象也點相引而成線線相遇而成面面相迭而成體而線與線面與面體與體其形有相兼有相似其數有和有較有有等有無等有有比例有無比例洞悉乎點線面體而御之以加減乘除譬諸閉門造車出門而合轍也奚敝敝然逐物而求之哉然則九章可廢乎非也學者通乎聲音訓詁之端而後古書之奧衍者可讀也明乎點線面體之理而後數之繁難者可通也九章之法各適其用幾何原本則徹乎九章立法之源而凡九章所未及者無不賅也致其知於此而驗其用於彼其如肆力小學而收效於籍者歟 象數一原序一 項名達 方圜率古不相通也徑求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必資六宗三要二簡法非可徑求所以然者方有盡圜無窮勢難強合也自杜氏術出而方圜之率始通其術用連比例一率半徑二率通弦三率倍矢由是遞求諸率有徑即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其數亦最真顧是術也梅氏赤水遺珍載焉而未釋明靜庵先生捷法解釋焉而未抉其原當自為一書非正釋也自董氏術出而方圜率相通之理始顯術凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢審定乘除法以明率數倍分率圜所以通方也析分率分所以通圜也其釋倍分率以方錐堆而方錐堆實出於三角堆弦之二率即兩堆根相併數四率即兩立積相併數矢之三率即兩平積相併數五率即兩三乘積相併數四五率以下多乘積以還莫不如是故遞次乘除皆求堆積法也而即以之求弦矢弦之分有奇無偶矢之分奇偶俱全至析分率則三角堆無其數即假倍分之率較量而反釋之可為獨具隻眼矣所疑者堆積既與率數合何以有倍分無析分倍分中弦率又何以有奇分無偶分且弦矢聯於圜中於三角堆何與蓄是疑有年丁酉歸自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆數起於一遞加一得堆根遞加根得平積遞加平積得立積遞加數也弦矢率由圜中兩等邊三角挨次比例而生亦起於半徑之一半徑即一率遞加一率得二率遞加二率得三率遞加三率得四率亦遞加數也數有整必有零起整分者曰整數遞加祗一式即三角堆相連兩根積相併與倍分矢率倍分中奇分弦率等數起零分者曰零數遞加有無量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率實參列其間不惟若是倍分者一分弧之幾常以一為分母析分者幾分弧之一常以一為分子今得零分則分子母不必定一任設幾分弧之幾無不可求因立此弧求他弧兩術以補所未備又不惟若是分子母既可任設則六十度通弦倍矢與與半徑等諸率齊同取為分母任設某度為分子並諸率本數可省去不求但求遞加差數即得逐度分秒之正弦正矢因更立半徑求弦矢兩術以備制表之用似便於用弧約言之弦矢諸率其比例生於兩等邊三角其數本於遞加兩等邊三角尖象也遞加數尖數也通方圜必以尖故自來割圜術不離勾股而得其象未得其數取數不無繁重自有零整分遞加而後象與數會分於是定率亦於是通分即遞加數之根率即遞加數之積分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶應乎內方就圜也割圜術至此始無餘蘊爰乘數月暇著為圖說二卷友人王子琴逸嗜算術遍涉中西見是術愛之欲與杜董術合刊為一冊囑余序其大意余因詳術所由不嫌辭費者亦以此通貫方圜之率非董氏理無自彰非杜氏法無自立非句股割圜等法以為導亦無自察象稽數以底於至精然則古人創始之難其可忽哉 象數一原序二 項名達 向玩弦矢諸率會得遞加數復析圜得兩等邊三角其象適與數會因草成圖解一冊聊自達意而脫甚多丙午冬謝去紫陽講席筆墨就閒漸編定整分半分起度兩種弦矢率而梁楚香中丞復以紫陽大小課藝囑選辭不獲遂又見阻楊緗芸農都在京見舊刻割圜捷術序中言及圖解亟思一見丁未冬來杭見訪因示以所編緗芸謂書未半而君年垂邁是書斷不可不成且不可緩成剋期以一載臨別尚諄切致囑余感其意為之定書名曰象數一原卷一曰整分起度弦矢率論卷二曰半分起度弦矢率論卷三卷四曰零分起度弦矢率論卷五曰諸術通詮卷六曰諸術明變隨將卷三編定選課畢復阻於病今夏始將卷四著有六紙不料病軀重感濕熱兼肝乘脾幾不可救醫治兩月無起色乃又重感燥火致臟腑無不病者遍體血脈不行醫盡束手自知殘燈微焰斷難久延而是書從此擱筆矣缺而不完世間事大都如是何必戀戀所歉者負緗芸諄囑之心耳然書雖未完而零分各腰率零分遞加數卷三中已衍成其式惟義賾緒繁擬分條詳論於卷四業論至易率法之相當率寄分畢則論用率寄分論定率寄分皆宜分別奇偶論之而易率法畢次論衍遞加數法亦論寄分論子母論正負論奇行偶行積子母互異論直行並行積子母互異而遞加數畢次論遞加數即各形腰率而正負不同論心角形腰與腰較率正負相反論並積即弦矢率易正負有定法論矢率弦率子母全半之不同而弦矢率畢末乃依半分起度式分六術以明其算特彼論全半此論子母異同處略一分別可也至卷五卷六皆有舊稿且經編定只須照式錄之今將各卷總為一束設有本鄙意而續成者惟條論稍難六術則易於從事無續成者卷四作未完之書亦無不可 對數簡法跋 項名達 求對數舊法言之綦詳而數重緒多初學恆未易了鄂士先生揭其精要而變通之著為對數簡法首論開方自淺入深而約以七術繼復立累除法省數十次開方用表已備極能事尤妙者舍開而求假設數夫對數折半真數開方開至單一下空多位之零數於是真數對數遂得其會通此開方所由重也顧必累開不已始得會通何如徑就會通處假一數以通之迨展轉相通而七十二對數之等差已備具於假設諸數中一比例而定準之數出矣以是知數之為用帶零求整難設整御零易憑所知課所求順推而入難借所求通所知逆轉而出易苟悟此可以得用數之方豈惟是對數一門有裨後學耶 對數簡法識 戴煦 對數以加減代乘除用之甚便而求之甚難舊法求諸對數皆先求自一至九遞至單一下九空位零一至九之九十九數而求之之法大略有三先定十百千萬之對數而其間之零數則用中比例累求而得以首率末率兩真數相乘開方得中率之真數以首率末率兩假數相加折半得中率之假數漸求漸近以至適合如舊法求九之假數用中比例求至二十六次而得八位之對數此一法也凡假數之首位因真數之位數而遞加以真數遞次自乘至多位而其位數即假數首位以前之數然後以自乘第幾率除之即得真數第一率之假數如舊法求二之對數自乘至一千三百餘億率除自乘之位數四百十餘億位而得十二位之假數又一法也既定十之對數為一乃以真數十開方五十四次三十三位以假數折半五十四次為逐次假數列為開方表乃以第五十四次真假兩數比例得單一下十五空位零一之假數為率於是以應求對數之真數開方四五十次求得十五空位與為比例然後以開方第幾次之率數乘之而得二十二位之假數或真數開方二十餘次求得九空位與表內九空位開方數為比例亦以率數乘之而得十三四位之假數如舊法求二與六之對數又一法也顧此數法布算極繁甚至經旬累月而不能竟求一數故言算者鮮不望之而生畏夫立泣太繁則較算不易深慮寖久而失其真也因復詳加探索始悟求十一二位之對數開方表祗須二十一次一十四位已屬敷用而既有開方表則求諸對數可不必更開方較之舊法省算數倍且不特此也凡諸對數皆定於十之對數而實生於單一下五六空位零一之對數今欲以十之對數求單一下五六空位零一之對數勢不得不屢次開方若借一算為單一下五六空位零一之對數轉求十之借數即可得其比例之率知累除之法可代開方而用二十一次之開方表猶屬舍易求難然是術也立法殊簡用意非深西士若往訥白爾之徒既能立對數慮無有不知此者意者彼時歐邏巴人故匿其易而術其難以夸中土歟茲為揭出俾求對數者有取焉 續對數簡法 戴煦 前歲之秋予以對數簡法呈梅侶項先生翼日謂予曰遞求數可開平方亦可開諸乘方會得二術屬稿未定予歸而思之亦得二術以呈先生而先生亦以定稿見示其逐數皆正一術與予正負相間者不同其第一數正而以下皆負一術則若合符節焉於是開諸乘方遂有三術予思既有三術必更有一術因補衍之將呈先生而先生適以補衍一術見示又若合符節焉惟先生以乘數加一為廉率謂諸乘方第一廉與末一廉之數也而予以連比例率推之復一一合因以其法用代累乘求積亦無不可通乃知廉率本生於連比例率也夫對數開平方多次以開方舊法至十二乘已屬繁重斷難開至億兆乘故以平方代開耳今開諸乘方既通為一法可不必代開由是因繁得簡復推得開極多位九乘方之法而對數之簡法出矣前術用假設對數乃立天元一術即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法為母今須累除數百次則寄母極繁不可算不得不徑用除法則數百次之畸零累積其差甚大故難求至多位不如連比例遞求數之所差極微也至對數還原即代累乘求積之法而變通之因亦類焉 對數生於連比例率如設一數為本數第一率命為方根則其自乘之積為倍大第二率再自乘之積為倍大第三率三自乘之積為倍大第四率故以本數之對數二乘之即自乘積之對數三乘之即再乘積之對數四乘之即三乘積之對數若反言之則設一數為本數第一率命為方積而其開平方之根為折小第二率開立方之根為折小第三率三乘方之根為折小第四率故以本數之對數二除之即平方根之對數三除之即立方根之對數四除之即三乘方根之對數推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率與連比例率相應而折小各率不相應者謂二率平方積自乘一率方根除之得三率立方積二三率平方立方二積相乘一率方根除之得四率三乘方積推之各率皆然析小各率則不然倍大之率率數也故求對數用乘法折小之率率分也故求對數用除法倍大不僅率數亦有率分如以二率之二除一率之一得０五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得０三三三零即倍大第三率之率分折小不僅率分亦有率數如０五即折小第二率之率數０三三三零即折小第三率之率數其倍大折小同率之率分率數恆兩兩反對其每率之率分率數恆與第一率之一為三率連比例而必以一為中率故以率分除之或以率數乘之得數必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分為整數即率數為整數零率者如有一數較本數開平方根則不足較本數開立方根則有餘其率分必為二而下帶畸零小余或較本數自乘積則有餘較本數再乘積則不足其率數亦必為二而下帶畸零小余而以此種帶畸零之率分或率數為首率一為中率求其末率必仍帶畸零是此種倍大折小之率分率數皆帶畸零而成零率矣若今所用之對數正真數之率數也非率分而其本數為一率為一０故一０之對數為一即一率之一而一００為本數倍大第二率其對數亦為二一０００為本數倍大第三率其對數亦為三若一以上一０以下自二至九則不滿一率故對數首位為０而下帶畸零一０以上一００以下自十一至九十九則不滿二率故對數首位為一而下帶畸零此即所謂零率也知對數之為連比例率數而求對數之法可得而言矣 倍大率 率數一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００ 一率 方根 二率 平方積 三率 立方積 四率 三乘方積 五率 四乘方積 六率 五乘方積 七率 六乘方積 八率 七乘方積 九率 八乘方積 十率 九乘方積 率分一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００ 折小率 率數一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００ 一率 方積 二率 平方根 三率 立方根 四率 三乘方根 五率 四乘方根 六率 五乘方根 七率 六乘方根 八率 七乘方根 九率 八乘方根 十率 九乘方根 率分一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００ 以本數為積求折小各率 第一術 法檢本率乘數之開方初商表取其較小於本數者以其根為第一數正　次以本數為除法以初商實減本數其減餘數為乘法其所求第幾率名為率分乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第二數正　以乘法乘第二數除法除之又以率分加一乘之二因率分除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之二因率分加一乘之三因率分除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之三因率分加一乘之四因率分除之為第五數正　如是遞求至應求位數乃並諸正數得所求 按此術項氏所定 第二術 法檢本率乘數之開方初商表取其較小於本數者以其根為第一數正　次以初商實為除法以初商實減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第二數正　乘法乘第二數除法除之又以率分減一乘之二因率分除之為第三數負　乘法乘第三數除法除之二因率分減一乘之三因率分除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之三因率分減一乘之四因率分除之為第五數負　如是遞求至應求位數乃並諸正數並又諸負數減之得所求 按此術予所定 第三術 法檢本率乘數之開方初商表取其較大於本數者以其根為第一數正　次以初商實為除法初商實內減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第二數負　乘法乘第二數除法除之又以率分減一乘之二因率分除之為第三數負　乘法乘第三數除法除之二因率分減一乘之三因率分除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之三因率分減一乘之四因率分除之為第五數負　如是遞求至應求位數乃並諸負數減第一正數得所求 按前開平方七術即此法 第四術 法檢本率乘數之開方初商表取其較大於本數者以其根為第一數正　次以本數為除法初商實內減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第一數負　乘法乘第二數除法除之又以率分加一乘之二因率分除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之二因率分加一乘之三因率分除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之三因率分加一乘之四因率分除之為第五數正　如是遞求至應求位數乃並諸正數又並諸負數減之得所求 按前二術予所定與項氏所定暗合 以本數為根求倍大各率 第一術 法任截本數幾位依本率乘數累乘之為一數正　次以本數為除法本數內減截去數為乘法其所求第幾率名為率數乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數正　乘法乘第二數除法除之又以率數加一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數加二乘之三除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之率數加三乘之四除之為第五數正　如是遞求至單位下乃並諸正數得所求 第二術 法任截本數幾位依本率乘數累乘之為第一數正　次以截去數為除法本數內減截去數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數正　乘法乘第二數除法除之率數減一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數減二乘之三除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之率數減三乘之四除之為第五數正　如是遞求至率數減盡而止乃並諸正數得所求 第三術 法任截本數幾位於末位加一依本率乘數累乘之為第一數正　次以截去數加一為除法截去數加一內減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數負　乘法乘第二數除法除之率數減一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數減二乘之三除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之率數減三乘之四除之為第五數正　如是遞求至率數減盡而止乃並諸正數又並諸負數減之得所求 第四術 法任截本數幾位依前術加一依本率乘數累乘之為第一數正　次之本數為除法截去數加一內減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數負　乘法乘第二數除法除之率數加一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數加二乘之三除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之率數加三乘之四除之為第五數正　如是遞求至單位下乃並諸正數又並諸負數減之得所求 按有本數求倍大折小各率本通為一法非有二義其第二數倍大用率數乘者緣率分率數與單一為三率連比例率分為首率則單一為中率率數為末率故以率分除之之數即同於率數乘之之數而折小各率率分整而率數零故用率分為便倍大各率率數整而率分零故用率數為便也其第三數以率數加減一乘之二除之者緣連比例首率與中率之比同於中率與末率之比前四術首率內加減中率乘之倍首率除之後四術中率內加減末率乘之倍中率除之其得數必同也以下各數義仿此其第二三術與前第二三術正負各異者緣乘法雖雲率數內減一實一內減率數其減余為負算故乘為負乘既為負乘則乘後之正負必變故能變逐數皆負者為正負相閒變正負相間者為逐數皆正也其率數減盡而止者凡算例以適足為實任以正數負數乘除之必仍為適足或正負數為實以適足數乘除之亦為適足故率數減盡則以下無數也又按前四術可為開方捷法後四術所求止須以本數累乘即得而挨次遞求似乎較煩然開方與累乘但能求倍大折小各整率若前八術則凡第一數可知者雖零率亦可求用之對數為尤要也又按每數通用之乘法除法若先以除法除乘法用為遞次乘法則一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用為遞次除法則一次除可代一乘一除 論對數根 對數根者諸對數之所生即單一下無數空位零一之對數也舊法以一０為積開方五十四次以其方根單一下空位後所帶之零數為一率單一折半五十四次即一兆八千餘億除單一之數為二率單一下十五空位零一之一為三率求得四率為對數根夫以一０為積開方五十四次即以一０為本數第一率求折小第一兆八千零一十四萬三千九百八十五億零九百八十四萬一千九百八十四率也今有本數即可求折小各率則是第五十四次開方數可以徑求矣既可徑求則求第一兆八千餘億率不如求第一無量數率一無量數猶雲一千或一萬何也一兆八千餘億率為第五十四次開方數之率分其位數甚多用連比例求得率數亦有多位即第五十四次開方數之對數而布算甚繁一無量數數雖極大而仍為一不過一下有無數空位耳以為首率用連比例求末率必為單位下無數空位零一此即求對數根四率之二率數既為一可省多位乘法一次且一無量數較一兆有零為尤密也 今定一０之對數為單一求對數根 法先以一０開平方五次或開平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一０七四六０七八二三二一三一七四九七為對數根之用數用數見後第三十二率以前各率為用數則降位稍難若三十二率以後皆可為用數不必定用三十二率也置用數減去首位單一以除用數得一四四０三四一九二一八八六八六五三九為遞次除法用數為通田除法用數減首位為通用乘法此即前所云以乘法除除法　遞次除法則一次除可代一乘一除也乃以除法除單一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九０二四九六三二六六為第一數正　除法除第一數一乘之二除之得七七一二三八六四０一０六七八三０為第二數正　除法除第二數二乘之三除之得三五六九七０一六四九二五一二二為第三數正　除法除第三數三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八０五為第四數正　除法除第四數四乘之五除之得一０三二四０九四四二０八三為第五數正　如是遞求得五九七三一七三三七四一為第六數正０三五五四六一六三一三為第七數正　二一五九四一０四六為第八數正　一三三二六五三０為第九數正０八三二七一０為第十數正　五二五五七為第十一數正　三三四五為第十二數 正　二一四為第十三數正　一四為第十四數正　一為第十五數正　乃並諸正數得二三０二五八五０九二九九四０四五七七為首率單一為中率求得末率０四三四二九四四八一九０三二五一八一一即對數根也 用數　　一０七四六０七八二八三二一三一七四九七 除法　　一四四０三四一九二一八八六八六五三九 第一數　　二二二一六九四六九０二四九六三二六六　除法除之一乘二除得 二　　　　　七七一二三八六四０一０六七八三０　同　　　二　三 三　　　　　　三五六九七０一六四九二五一二二　同　　　三　四 四　　　　　　　一八五八七七八二四九九八０五　同　　　四　五 五　　　　　　　　一０三二四０九四四二０八三　同　　　五　六 六　　　　　　　　　　五九七三一七三三七四一　同　　　六　七 七　　　　　　　　　　　三五五四六一六三一三　同　　　七　八 八　　　　　　　　　　　　二一五九四一０四六　同　　　八　九 九　　　　　　　　　　　　　一三三二六五三０　同　　　九　十 十　　　　　　　　　　　　　　　八三二七一０　同　　　十　十一 十一　　　　　　　　　　　　　　　五二五五七　同　　　十一十二 十二　　　　　　　　　　　　　　　　三三四五　同　　　十二十三 十三　　　　　　　　　　　　　　　　　二一四　同　　　十三十四 十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一四　同　　　十四十五 十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一 得數　首率　二三０二五八五０九二九九四０四五七七 中率　一 末率　０四三四二九四四八一九０三二五一八一一 按此即以一０為本數第一率依第一術求折小第一無量數率也其第一數本為單一凡求極多率者初商恆為單一依對數例以單一下之零數為比例而截去首位故置第一數不用而竟以第二數為第一數也其以三十二乘之者緣用數系本數之折小第三十二率當於求得數後以三十二乘之為所求數而以三十二乘第一數其得數亦同也所異者求法既依第一術則第二數應以一無量數加一乘之二無量數除之而何以用一乘二除不知求極多率者無加一之差也今試以九乘方言之其率分為十其乘法十一與除法二十之比較一與二之比所差尚大若兩位九乘方謂九十九乘方其率分為百而一百零一與二百之比較一與二之比所差較微若三位九乘方謂九百九十九乘方其率分為千而一千零一與二千之比較一與二之比其差更微由是推之多位九乘方則其差必極微而可以不計矣苴非特不計已也譬之割圓有大弧弦求析分小弧弦每數乘法有分子之減差析之愈小減差愈微若求弧則有分母無分子並此減差而無之稍有減差則亦稍有觚稜而非真弧矣求對數根亦然必須開無窮無盡極多位九乘方並此加差而無之然後求至數百千位而無不合若稍有加差則必滯於第幾率而求至多位反不合矣即如開平方五十四次而所求之對數根不過十五六倍若欲增求一位必須再開[三四]次不能如前法之求幾位即得幾位者以其滯於一兆八千餘億率也然則一乘二除二乘三除正開無窮無盡極多位九乘方之法無以名之姑名其折小第一無量數率耳 論用數 前言有本數求折小第一無量數率可以徑求此立法也而法有所窮必須先求三十二率何也多率之開方初商表其數極繁惟初商單一則任折小至多率而初商實亦必仍為單一幸而求折小多率者其首位必為單一故用第一第二兩術其第一數必為單一而初商實猶可知若用第三四術則初商必為二而初商實即極繁而不可求矣然即用第一二術而其中又有窒今試以一０為本數依第一術求之則以一０為除法初商實一減一０得九為乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能遞求依第二術則一除九乘位不惟不降而反升尤不能遞求是窒也夫求折小多率者其本數必須單一下有空位空位後帶零數則減餘數小而可求今本數一０既非單一又無零數則必假一單一下有空位帶零數之數以求之此用數之所由來也而求用數約有四法以本數先求折小第幾率為用數其第一數以折小率若干乘之然後遞求此一法也以本數首位降為單位以自二至九自一一至一九諸數累除之為用數求得數後以除法對數加之視降幾位再首位加幾又一法也以本數先求倍大第幾率以首位降為單位為用數求得數後視降幾位則首位加幾然後以倍大率若干除之又一法也置本數以自二至九累乘之以首位降為單位為用數求得數後視降幾位首位加幾然後以乘法之對數減之又一法也然第一法取數不易而有畸零惟求對數根不得已而用之第二法亦有畸零第三法雖無畸零而不得必得諸數之倍大率不能輒得首位為一而下有空位也惟第四法既無畸零且可必得故求用數可以倍大率求者則用倍大率其不可用倍大率者則用借數累乘法為便也 假如以倍大率求二之用數 法以二自乘九次得一千零二十四為二之倍大第十率降三位得一０二四為二之用數 假如以累乘法求七之用數 法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一００八為七之用數 假如兼用倍大率及累乘法求三之用數 法以三自乘再乘得二十七為三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一０八為三之用數 論借數 借數者自二至九共八數借為累乘之數也凡諸數擇八數內之數乘之皆可得首位為一而下有空位故借數不必廣求即八數而已足但由用數求得之對數必以乘法之對數加之則必先求借數之對數而借數雖有八數實止三數何也二五四八本通為一數三六九亦通為一數惟七則自為一數故有三數之對數而八數之對數已備有八數之對數而諸數之用數亦無不備矣 假如有對數根求二與四與五與八之對數 法依前求得二之用數一０二四減去單一得００二四為遞次乘法乃以乘法乘對數根得００一０四二三０六七五六五六七八０四三凡乘法在單位下則乘得數小於原數為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一二五０七六八一０七八八一三七為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得二００一二二八九七二六一０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得三六０二二一二一五０七為第四數負　如是遞求得六九一六二四七三三為第五數正０一三八三二四九五為第六數負　二八四五五四為第七數正　五九七六為第八數負　一二七為第九數正　三為第十數負　乃並諸正數得００一０四二五０六九四八六五六００六七又並諸負數得００００一二五一一二八四六七四八一一八以負減正得００一０二九九九五六六三九八一一九四九為用數之對數以用數系降三位乃於首位加三得三０一０二九九九五六六三九八一一九四九為一千零二十四之對數以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得０三０一０二九九九五六六三九八一一九小餘四九為二之對數也 求四之對數者以四即二之倍大第二率乃以二之對數二乘之得０六０二０五九九九一三二七九六二三０００ 求五之對數者００００相乘即十乃以十之對數單一內減二之對數得０六九八九七０００四三三六０一八八０三一即五之對數 求八之對數者以八即二之倍大第三率乃以二之對數三乘之得０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七即八之對數 用數　　一０二四 乘法　　００二四 第一數　００一０四二三０六七五六五六七八０四三　乘法乘之一乘二除得 二　　　　　　一二五０七六八一０七八八一三七　同　　　二　三 三　　　　　　　　二００一二二八九七二六一０　同　　　三　四 四　　　　　　　　　　三六０二二一二一五０七　同　　　四　五 五　　　　　　　　　　　　六九一六二四七三三　同　　　五　六 六　　　　　　　　　　　　　一三八三二四九五　同　　　六　七 七　　　　　　　　　　　　　　　二八四五五四　同　　　七　八 八　　　　　　　　　　　　　　　　　五九七六　同　　　八　九 九　　　　　　　　　　　　　　　　　　一二七　同　　　九　十 十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三 正數　　　００一０四二五０六九四八六五六００六七 負數　　　００００一二五一一二八四六七四八一一八 減得　　　　００一０二九九九五六六三九八一一九四九 首位加三　　三０一０二九九九五六六三九八一一九四九 十除之　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　二之對數 二乘之　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八　四之對數 以減單一　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一　五之對數 三乘之　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七　八之對數 假如求三與六與九之對數 法依前求得三之用數一０八減去單一得００八為遞次乘法乃以乘法乘對數根得０三四七四三五五八五五二二六０一四四九為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四０五八為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三為四數負　如是遞求得二八四六一九二三一六六０一為第五數正０一八九七四六一五四四四０為第六數負０一三０一一一六四八七六為第七數正　九一０七八一五四一為第八數負　六四七六六六八七為第九數正　四六六三二０一為第十數負　三三九一四二為第十一數正　二四八七０為第十二數負　一八三七為第十三數正　一三六為第十四數負　一０為第十五數正　一為第十六數負乃　並諸正數得０三四八一七九六四０七０六九七二一五二又並諸負數得０００一三九四二０八五八三七四七五一四０以負減正得０三三四二三七五五四八六九四九七０一二為用數之對數以用數系降二位於乃首位加二得二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二為一百零八之對數以系借四乘再減四之對數得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四為二十七之對數以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之對數也 求六之對數者以二三相乘即六乃以二之對數加三之對數得０七七八一五一二五０三八三六四三六三二即六之對數 求九之對數者以九系三之倍大第二率乃以三之對數二乘之得０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二即九之對數 用數　　一０八 乘法　　００八 第一數　００三四七四三五九八五五二二六０一四四九　乘法乘之一乘二除得 二　　　　　一三八九七四二三四二０九０四０五八　同　　　二　三 三　　　　　　　七四一一九五九一五七八一五五０　同　　　三　四 四　　　　　　　　四四四七一七五四九四六八九三　同　　　四　五 五　　　　　　　　　二八四六一五二三一六六０一　同　　　五　六 六　　　　　　　　　　一八九七四六一五四四四０　同　　　六　七 七　　　　　　　　　　　一三０一一一六四八七六　同　　　七　八 八　　　　　　　　　　　　　九一０七八一五四一　同　　　八　九 九　　　　　　　　　　　　　　六四七六六六八七　同　　　九　十 十　　　　　　　　　　　　　　　四六六三二０一　同　　　十　十一 十一　　　　　　　　　　　　　　　三三九一四二　同　　　十一十二 十二　　　　　　　　　　　　　　　　二四八七０　同　　　十二十三 十三　　　　　　　　　　　　　　　　　一八三七　同　　　十三十四 十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三六　同　　　十四十五 十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一０　同　　　十五十六 十六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一 正數　　　　　　　００三四八一七九六四０七０六九七二一五二 負數　　　　　　　０００一三九四二０八五八三七四七五一四０ 減得　　　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０一二 首位加二　　　　　　二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二 內減四之對數　　　　一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四 三除之　　　　　　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一　三之對數 內加二之對數　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０　六之對數 二乘三之對數　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二　九之對數 假如求七之對數 法依前求得七之用數一００八減去單一得０００八為遞次乘法乃以乘法乘對數根得０００三四七四三五五八五五二二六０一四五為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四一為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得四四四七一七五四九五為第四數負　如是遞求得二八四六一九二三為第五數正　一八九七四六為第六數負　一三０一為第七數正　九為第八數負　乃並諸正數得０００三四七四四二九九七七六六三九一五一　又並諸負數得０００００一三八九七八六八一五七四二九一以負減正得０００三四六０五三二一０九五０六四八六　為用數之對數以用數系降三位乃於首位加三得三０三四六０五三二一０九五０六四八六０為一千零八之對數以系二與八與九迭乘所得乃並二八九之三對數得二一五八三六二四九一０九五二四九六五三八減之得０八四五０九八０四００一四二五六八三二二即七之對數也 用數　　一００八 乘法　　０００八 第一數　０００三四七四三五五八五五二二六０一四五　乘法乘之一乘二除得 二　　　　　　　一三八九七四二三四二０九０四一　同　　　二　三 三　　　　　　　　　　七四一一九五九一五七八二　同　　　三　四 四　　　　　　　　　　　　四四四七一七五四九五　同　　　四　五 五　　　　　　　　　　　　　　二八四六一九二三　同　　　五　六 六　　　　　　　　　　　　　　　　一八九七四六　同　　　六　七 七　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三０一　同　　　七　八 八　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　九 正數　　　０００三四七四四二五九七七六六三九一五一 負數　　　０００００一三八九七八六八一五七四二九一 減得　　　　０００三四六０五三二一０九五０六四八六０ 首位加三　　三００三四六０五三二一０九五０六四八六０ 三對數　　二一五八三六二四九二０九五二四九六五三八 減得　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二　七之對數 按此用第二術開極多位九乘方法也舊法求二之對數亦以一０二四為用數而以單一下十五空位零一之一為一率單一下十五空位零一之對數即今所用之對數根為二率用數開平方四十七次以其單一下之零數為三率求得四率然後以平方四十七次折小率一百四十餘萬億乘之得用數之對數夫一率之一本可省除今既開極多位九乘方其折小之率分為一無量數而一無量數之一亦可省乘開方既用零數則第一數亦可置不用而竟以第二數為第一數止須求得開方零數以對數根乘之即得用數之對數而遞求數之例干求得數後乘之與乘第一數得數必同故竟以乘法乘對數根為第一數也本應以對數根乘不用之第一數然後以乘法乘之而不用之第一數系單一故可省乘其求對數根用第一術而此用第二術者而此用第二術者對數根之用數系多位畸零凡多位畸零者除便於乘故以一次除代一乘一除既用除法則用第一術與第二術同一畸零除法不如第一術之降位稍易矣若今所求之用數均位少而無畸零不惟乘法止一二位抑且用第二術則除法即單一可以省除故雖降位稍難而終以第二術為便也 假如有借數求二十三之對數 法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一０三五為二十三之用數減去首位單一得００三五為遞次乘法乃以乘法乘對數根得００一五二００三０六八六六六一三八一三四為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得二六六０五三七０一六五七四一七第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得六二０六七九一九七０五三四０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五第四數負　如是遞求得四五六一九九二０九八三為第五數正　０一三三０五八一０二九為第六數負　三九九一七四三一為第七數正　一二二二四七一為第八數負　三八０三二為第九數正　一一九八為第十數負　三八為第十一數正　一為第十二數負　乃並諸正數得０一五二０六五一八二二四五七一九九五八又並諸負數得００００二六六一六八四三一六三五四三八一以負減正得０一四九四０三四九七九二九三六五五七七為用數之對數以系降三位乃於首位加三得三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七為一千零三十五之對數以系五與九迭乘所得乃以五與九兩對數相併得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三減之得一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四即二十三之對數也 用數　　一０三五 乘法　　００三五 第一數　００一五二００三０六八六六六一三八一三四　乘法乘之一乘二除得 二　　　　　　二六六００五三七０一六五七四一七　同　　　二　三 -17-2- 三　　　　　　　　六二０六七九一九七０五三四０　同　　　三　四 四　　　　　　　　　一六二九二八二八九二二六五　同　　　四　五 五　　　　　　　　　　　四五六一九九二０九八三　同　　　五　六 六　　　　　　　　　　　　一三三０五八一０二九　同　　　六　七 七　　　　　　　　　　　　　　三九九一七四三一　同　　　七　八 八　　　　　　　　　　　　　　　一二二二四七一　同　　　八　九 九　　　　　　　　　　　　　　　　　三八０三二　同　　　九　十 十　　　　　　　　　　　　　　　　　　一一九八　同　　　十　十一 十一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二八　同　　　十一十二 十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一 正數　　　　　００一五二０六五一八二二四五七一九九五八 負數　　　　　００００二六六一六八四三一六三五四三八一 減得　　　　　　００一四九四０三四九七九二九三六五五七七 首位加三　　　　三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七 二與九對數共　　一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三 減得　　　　　　一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　二十三之對數 按求十萬對數前法為便以真數無畸零也若求八對數則真數本屬畸零當依求對數根之法為便矣大要求對數之法難於起始以後偏求各數審擇用之可耳又今所求之對數系十八位小除二位故須遞求多數若求十一二位更不必遞求多數也 附對數還原 論借用本數 對數為真數之率數而恆以一０為本數第一率既有本數第一率又有率數則依以本數為根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一０不可用為本數何也整率之第一數可截本數依本率乘數累乘而得若零率之第一數則累乘中無其數對數之為率數皆零率也故其第一數不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位單一者則任倍大若干率而累乘所得之第一數必仍為單一而不變整率遇單一而不變則零率遇單一其第一數必仍為單一而不變無疑矣故凡零率而第一數可用單一者則可知而亦可遞求也第一數既必須用單一則以一０為第一率內減單一其減餘數大而不能遞求矣此借用本數之所由來也而借用之本數莫善於一０００００一何以言之用第二術則其首位之單一為通用除法既可省除而減去單一得０００００一為通用乘法只須降六位亦可省乘而降位又易故以一０００００一為便也惟諸對數系以一０為第一率之率數今用一０００００一為第一率則率數不合矣法先求得一０００００一之對數用為除法凡諸對數以除法除之其所得數即以一００００００一為本數第一率之率數也 假如以一０００００一為借用本數求其對數為除法 法以對數根降六位得００００００四三四二九四四八一九０三三為第一數正　以第一數降六位一乘之二除之得一二七一四七二為第二數負　以第二數降六位二乘之三除之得一為第三數正　乃以第一第三兩數相併內減第二數得０００００００四三四二九四二六四七五六二為借用本數之對數即求率數之除法也 本數　　一０００００一 乘法　　００００００一 第一數　０００００００四三四二九四四八一九０三三　乘法乘之一乘二除 二　　　　　　　　　　　　　　　二一七一四七二　同　　　二　三 三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一 得數　０００００００四三四二九四四八一九０三四 減得　　０００００００四三四二九四二六四七五六二　一０００００一之對數 論借用率數 前言以一０００００一之對數除所設對數為率數而一０００００一之對數單位下有七空位諸對數至小者止一空位今以借用本數之對數除之其率數必甚大率數既大則每次通用乘法雖降六位而每次用率數之乘法且不止升六位則位仍不降而不可求矣故須參用舊法先求得自二至九自一一至一九自一０一至一０九自一００一至一０００００九各對數列為表視所設對數有首位者先去首位其餘足減何數之對數遞次減之減至有六七空位然後以借用本數之對數除之為借用率數則率數小而可求矣求得數後再以遞減對數之真數累乘之復視首位所減何數依數升若干位即得所求之真數也 求備減表 自二至九各對數依前所求列之自一一至一九各對數內其一二與一四與一五與一六與一八均可加減而得惟一一與一三與一七與一九須仍前求得用數然後遞求若００一至一０九則原數即可遞求不必再用數至一００一至一００九則遞求各數與一０一至一０九相同止須逐數遞降一位並減之即得若一０００一至一０００九則再降一位並減之以後各數並同此法 真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小余 二　　　　　　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九 三　　　　　　　　０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一 四　　　　　　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八 五　　　　　　　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一 六　　　　　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０ 七　　　　　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二 八　　　　　　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七 九　　　　　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二 一一　　　　　　　００四一三九二六八五一五八二二五０四一七 一二　　　　　　　００七九一八一二四六０四七六二四八二六九 一三　　　　　　　０一一三九四三三五二三０六八三六七六九六 一四　　　　　　　０一四六一二八０三五六七八二四八０二七一 一五　　　　　　　０一七六０九一二五九０五五六八一二四二二 一六　　　　　　　０二０四一一九九八二六五五九二四七七九六 一七　　　　　　　０二三０四四八九二一三七八二七三九二七八 一八　　　　　　　０二五五二七二五０五一０三三０六０六九一 一九　　　　　　　０二七八七五三六００九五二八二八九六一九 真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小余 一０一　　　　　　０００四三二一三七三七八二六四二五六六五 一０二　　　　　　０００八六００一七一七六一九一七五五九八 一０三　　　　　　００一二八三七二二四七０五一七二二０四六 一０四　　　　　　００一七０三三三三九二九八七八０三五四三 一０五　　　　　　００二一一八九二九九０六九九三八０七四四 一０六　　　　　　００二五三０五八六五二六六六八四一二六四 一０七　　　　　　００二九三八三七七七六八五一０九六四０二 一０八　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０一二 一０九　　　　　　００三七四二六四九七九四０六二三六三三八 一００一　　　　　００００四三四０七七四七九三一八六四０七 一００二　　　　　００００八六七七二一五三一二二六九一二五 一００三　　　　　０００一三００九三三０一０四一八一一四六 一００四　　　　　０００一七三三七一二八０九０００五二九七 一００五　　　　　０００二一六六０六一七五六五０七六七六二 一００六　　　　　０００二五九七九八０七一九九０八六一二二 一００七　　　　　０００三０二九四七０五五三六一八００七０ 一００八　　　　　０００三四六０五三二一０九五０六四八六０ 一００九　　　　　０００三八九一一六六二三六九一０五二一六 真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小余 一０００一　　　　０００００四三四二七二七六八六二六六九六 一０００二　　　　０００００八六八五０二一一六四八九五七二 一０００三　　　　００００一三０二六八八０五二二七０六０九 一０００四　　　　００００一七三六八三０五八四六四九一八七 一０００五　　　　００００二一七０九二九七二二三０二０八二 一０００六　　　　００００二六０四九八五四七三九０三四六九 一０００七　　　　００００三０三八九九七八四八一二四九一九 一０００八　　　　００００三四七二九六六八五三六三五四０八 一０００九　　　　００００三九０八六九二四九九一０一三一０ 一００００一　　　００００００四三四二九二三一０四三０八四 一００００二　　　００００００八六八五八０二七八０六二六三 一００００三　　　０００００一三０二八六三九０二八四八九三 一００００四　　　０００００一七三七一四三一八四九八０九二 一００００五　　　０００００二一七一四一八一二四五一五五一 一００００六　　　０００００二六０五六八八七二一五三九六九 一００００七　　　０００００三０三九九五四九七六一三九八六 一００００八　　　０００００三四七四二一六八八八四０三三三 一００００九　　　０００００三九０八四七四四五八四一六七五 真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小余 一０００００一　　０００００００四三四二九四二六四七五六二 一０００００二　　０００００００八六八五八八０九五二一八七 一０００００三　　００００００一三０二八八一四九一三八八五 一０００００四　　００００００一七三七一七四四五三二六六四 一０００００五　　００００００二一七一四六六九八０八五三三 一０００００六　　００００００二六０五七五九０七四一五０一 一０００００七　　００００００三０四００五０七三三一五七七 一０００００八　　００００００三四七四三四一九五六八七六七 一０００００九　　００００００三九０八六三二七四八三０八三 假如有００００００００七八三六０一七五九二八七八四求借用率數 法置所設對數去首位一得０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四檢備減表足減二之對數乃以二之對數減之得００六０六九七八四０三五三六一一六八三五又檢表足減一一之對數減得００二九三五一五五一九五三八六六四一八又足減一０四之對數減得０００二二七一八一五八九六六０六二八七五又足減一００五之對數減得００００一０五七五四一四０　九八六一一三又足減一０００二之對數減得０００００一八九０三九二八四四九六五四一又足減一００００四之對數減得０００００一五三二四九六五九九八四四九又足減一０００００三之對數減得０００００００二二九六一五一０八四五六四前已得七空位乃以借用本數之對數四三四二九四二六四七五六二除之得０五二八七０八五九０二一二０為借用率數也 一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　首位減一得 ０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　內減二之對數 ０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　減得 ００六０六九七八四０三五三六一一六八三五　內減一一之對數 ００四一二九二六八五一五八二二五０四一七　減得 ００一九三０五一五五一九五三八六六四一八　內減一０四之對數 ００一七０三三三三九二九八七八０三五四三　減得 ０００二二七一八一五八九六六０六二八七五　內減一００五之對數 ０００二一六八０六一七五六五０七六七六二　減得 ００００一０五七五四一四００九八六一一三　內減一０００二之對數 ０００００八六八五０二一一六四八九五七二　減得 ０００００一八九０三九二八四四九六五四一　內減一００００四之對數 ０００００一七三七一四三一八四九八０九二　減得 ００００００一五三二四九六五九九八四四九　內減一０００００三之對數 ００００００一三０二八八一四九一三八八五　減得 ０００００００二二九六一五一０八四五六四　以借用本數之對數 ０００００００四三四二九四二六四七五六二　除之得 ０五二八七０八五九０二一二０　　　　　　　借用率數 假如有對數一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求其真數 法依前求得借用率數０五二八七０八五九０二一二０乃以借用本數首位單一下加十九空位得一０００００００００００００００００００為第一數正　次以借用本數減去單一得００００００一為乘法以乘法乘第一數又以率數乘之得五二八七０八五九０二一二０為第二數正　乘法乘第二數又以率數反減一得０四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九為第三數負　乘法乘第三數又以率數反減二得一四七截用三位乘之三除之得一為第四數正　乃並諸正數得一０００００五二八七０八五九０二一二一內減第三負數得一００００００五二八七０八四六五六一九二乃以前求借用率數時遞減各對數之真數一０００００三與一００００四與一０００二與一０五與一０四與一一與二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八棄零進一得二三又以前求率數時曾減首位之一應升一位得二十三即所求之真數也 本數　　一０００００一 乘數　　一０００００一 第一數　一０００００００００００００００００００　降六位率數乘之得 二　　　　　　　　　五二八七０八五九０二一二０　降六位率數減一乘之二除之得 三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率數減二乘之三除之得 四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一 本數　一００００００五二八七０八五九０二一二一 減得　　一００００００五二八七０八四六五六一九二　以一０００００三乘之得 一０００００三五二八七一００五一七四四六　以一００００四乘之得 一００００四三五二八八五一二００一四六七　以一０００二乘之得 一０００二四三五三七五五六九七０三八六七　以一００五乘之得 一００五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一０四乘之得 一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得 一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得 二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　棄零進一升一位 二三 按此即用求倍大各率第二術也其第三數變為負者凡整率必大幹單一其減一減二皆為正減至率數減盡而止而無所為反減故逐數皆正今所用之率數小於單一其減一減二皆為反減反減則為負以為乘法故能變逐數皆正者為正負相間也又凡對數遞減得三空位已可遞求惟逐數用率數之乘法多位畸零不免繁重故須減至七空位然亦為求十八位對數之真數而設耳若求十一二位則一００一即可借為本數而對數遞減至四空位即可求借用率數矣 割圜連比例術圖解序 董佑誠 元郭守敬授時草用天元術求弧矢徑一圍三猶仍舊率西人以六宗三要二簡術求八綿理密數繁凡遇布算皆資於表梅文穆公赤水遺珍載西士杜德美圜徑求周諸術語焉不詳罕通其故嘗欲更創通法使弦矢與弧可以徑求覃精累年迄無所得己卯春秀水朱先生鴻以杜氏九術全本相示海張先生豸冠所寫者九術以外別無圖說聞陳氏際新嘗為之注為某氏所秘書已不傳乃反覆尋繹究其立法之原即圜容十八觚之術引伸類長求其絫積實兼差分之列衰商功之堆垛而會通以盡句股之變周髀經曰圜出於方方出於矩矩出於九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一遞加遞減遞乘遞除之差也方圓者天地之大體奇耦相生出於自然今得此術而方圜之率通矣爰分圖著解冠以九術原文並立弦矢互求四術都為三卷辭取易明有傷蕪冗其所未寤俟有道正焉 割圜連比例後序 董佑誠 割圜解既成之二年朱先生復得割圜密率捷法四卷於鍾祥李氏乾隆初欽天監監正明圖所解而門人陳際新所續成者其書釋連比例諸率分弦矢為二術皆先設百分千分萬分諸弧如本法乘除之棄其畸零以求合於矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八諸數遂為遞加一數以為除法者特取其易知而便於記憶則其於立法之原似未盡也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通隱探賾雜而不越師弟相承積三十餘年之久推其用心可謂勤且深矣陳氏序言圜徑求周及弧求弦矢三術為杜德美氏所作餘六術則明圖氏補之與張先生所傳互異又借弧借弦二術並見陳氏書中范氏所作其闇合歟余以垛積釋比例而三角及方錐堆三乘以下舊無其術近讀元朱世傑四元鑒菱草形果垛迭藏諸問乃知遞乘遞除之術近古所有而遠西之士尚能守其遺法有足珍者爰並記之 少廣縋鑿 夏鸞翔 開平方捷術一 小初商為一借根　以一借根除本積得二借根　並一二借根半之為三借根　以三借根除本積得四借根　並三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與方根密合而止 此術一四七十等借根恆微小於方根二三五六八九等借根恆微大於方根 算例 假如平積一百二十一求方根 小初商□０為一借根　一借根除本積得一□二一為二借根　並一二借根半之得一□一０五為三借根　三借根除本積得一□０九五零多則棄之以便算凡借根借積皆然為四借根　並三四借根半之得一□一為五借根因前借根棄零故五借根適合方根即方根 開平方捷術二 大初商為一借根　以一借根除本積得二借根　並一二借根半之得三借根　以三借根除本積得四借根　並三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止 此術奇借根恆微大於本根隅借根恆微小於本根 算例 假如平積九十九求方根 大初商一　為一借根　一借根除本積得□九九為二借根　並一二借根半之得□九五為三借根　三借根除本積得□九九四九七四借根　並三四借根半之得□九九四九八七此已消盡六位故六位下棄之也為五借根即方根 開諸乘方捷術一 小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與方根密合而止或置外根降一乘積本乘乘數加一乘之為遞次除法更捷 算例 假如平積五十求方根 以□七一之平積五０四一為外積□七一為外根求得一□四二為遞次除法　小初商□七為一借根　一借積四□九減本積余以除法除之得００七０四以加一借根得□七０七０四為二借根　二借積四□九九０五五六減本積余以除法除之得００００六六五以加二借根得□七０七一０六五為三借根截去末二位得□七０七一０即方根 開諸乘方捷術二 大初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內減本積余以除法除之得數減一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與方根密合而止 算例 假如平積八八求方根 以□三之平積□九為外積□三為外根求得□六為遞次除法　大初商□三為一借根　一借積□九內減本積余以除法除之得００三三三三三以減一借根余□二九六六四八一為三借根截去末二位得□二九六六四即方根 開諸乘方捷術三 小初商為一借根　以略小於本積之積為內積其根為內根以內積與內根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數加一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數減二借根以下逐數皆一加一減相間為三借根　下皆如是求至借根小者漸小與方根密合而止 算例 假如平積五十求方根 以□七之平積四□九為內積□七為內根求得一□四為遞次除法　小初商□七為一借根　一借積四□九減本積余以除法除之得□０００六六五以加二借根得□七０七一０六為三借根截去末一位得□七０七一０即方根 開諸乘方捷術四 大初商為一借根　以略小於本積之積為內積其根為內根以內積與內根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內減本積余以除法除之得數減一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數減一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數加二借根以下逐數皆一減一加相間下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止 算例 假如平積八八求方根 以□二九之平積□八四一為內積□二九為內根求得□五八為除法　大初商□三為一借根　一借積□九內減本積余以除法除之得　□三四四八二七以減根余□九六五五為二借根　二借積□八七九四一九　減本積余以除法除之得０００一００一七二以加二借根得□二九六六五為三借根　三借積□八八００一二二二內減本積余以除法除之得　００００二一以減三借根得□二九六六四七為四借根截去末一位得□二九六六四即方根 天元開諸乘方捷術一較數余積用此術 小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法借積凡天元借根求借積法以借根乘隅加減長廉以借根乘之加減平廉又以借根乘之加減立廉又以借根乘之至加減方後又以借根乘之即借積也外根之於外積亦然減本積余以除法除之得數加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與元數密合而止 算例 假如平方負積十六正方二正隅一求元數 以□三二之積一□六六四為外積□三二為外根求得□八四為遞次除法　小初商□三為一借根　一借積一□五減本積余以除法除之得□０一一九０以加一借根得□三一一九　為二借根　二借積一□五九六六一六一減本積余以除法除之得０００四０二八以加二借根得□三一二三　為三借根　三借積一□五九九九一二九減本積余以除法除之得００００一０三以加三借根得□三一二三一０三為四借根截去末三位得□三一二三即元數 天元開諸乘方捷術二和數余積用此術 小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積於外根加一之積相減又加一為遞次除法　一借積減本積除以除法除之得數加一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數減二借根為三借根以後逐數皆一加一減相間　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數密合而止 算例 假如平方負積二九正方四負隅一求小元數 以□一之積□三為外積□一為外根求得□二為遞次除法　小初商　九為一借根　一借積□二七九減本積余以除法除之得００五五以加一借根得　九五五為二借根　二借積０九０七九七五內減本積余以除法除之得□０００三九八七以減二借根余０九五一０一為三借根　三借積□二八九九六一九九減本積余以除法除之得□００００一九０五以加三借根得０九五一二０為四借根　四借積□二九０００一八五六內減本積余以除法除之得０００００九二八以減四借根得　九五一一九　為五借根截去末一位得０九五一一九即小元數 天元開諸乘方捷術三益積用此術 大初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一昔積內減本積余以除法除之得數減一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與元數密合而止 算例 假如平方負積一百六十八負方二十二正隅一求元數 以三０之積二四０為外積三０為外根求得三□八為遞次除法　大初商三０為一借根　一借積二四　內減本積余以除法除之得□一八九四七三以減一借根餘二□八一０五為二借根　二借積一七□一五八一內減本積余以除法除之得００九四二三以減二借根餘二□八０一０為三借根　三借積一六□八三四內減本積余以除法除之得０００八九四以減二借根餘二□八００一為四借根　四借積一六□八０三內減本積余以除法除之得００００七八九以減四借根餘二□八０００一為五借根棄零得二□八即元數 天元開諸乘方捷術四翻積用此術 小初商為一借根　以略大於本積之積為外積其根為外根以外積與外根減一　積相減又加一為遞次除法　一借積內減本積余以除法除之得數加一借根為二借根　二借根積減本積余以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數密合而止 算例 假如平方負積二九正方四負隅一求大元數 以□三之積□三為外積□三為外根求得□二為遞次除法　小初商□三為一借根　一借積□三內減本積余以除法除之得００五以加一借根得□三０五為二借根　二借積□二八九七五減本積余以除法除之得０００一二五以減二借根得□三０四八七五為三借根　三借積□二九００一二三四三內減本積余以除法除之得００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一為四借根截去末三位得□三０四八八一為大元數 天元開諸乘方捷術五 如前四術求得元數數位後再欲增求其位則即以求得數位為外根又求得除法　乃以前得數位演為借積與本積相減余以今得除法除之又與前得數位相加減為元數可降數位如欲再求多位則又另求除法依此累求至數十位亦非難事 算例 假如平方負積十六正方二正隅一已求得元數三一二三欲增求之 先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍為借根演得借積一□五九九九九五三六一減本積得余積□００００四六三九０乃用前得元數□三一二三　又為外根如前求得除法□八一四六二於末位加一數因前得元數微歉於元數尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三為除法　除法除余積得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元數得□三一二三一０五六二五為元數　如再欲增求則以現得十位數又為外根又求其除法以除余積此余積是現得十位數之積減本積之餘也得數又可消得九位矣 按正諸乘方方可用右術 天元開諸乘方捷術六 方廉隅相併減以除本積得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加減長廉又以借根乘之加減平廉又以借根乘之至加減方止以除積得二借根　二借根步至方法以除積得三借根下皆如是求至借根與元數密合而止 算例 假如平方負積十八正方二十□０九負隅一求小元數方隅相減得一□九九以除本積得□０九０四五二為一借根　一借根步至方法得一□九九九五四八以除本積得□0九００二　為二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本積得□０九００００九棄零得□０九即小元數 凡天元開方其方太大猝不能得初商者必元數甚小於奇數有懸絕之勢也以右術求之降位頗易且無所用其初商若方不甚大者不可用此術用之則難於降位矣 若元數與隅數同者一除而盡無畸零例如後 又算例 假如立負方積一億正方一億００十萬０一千負廉十萬０一千０一正隅一求元數 方廉隅正負並減得一億以除本積得□一即元數也 右題見汪氏衡齋算學謂一與十萬相去遠矣茫無進退之限初商何以下算而知其翻為同名與否據此則於本法亦未瞭然也今以此術求之其易如此 天元開諸乘方捷術七 以方為遞次除法　除法除本積得一借根　一借根諸數加減本積以借根平積乘第三層以借根立積乘第四層以借根三乘積乘第五層如是乘至隅而止逐數皆與本積同相加異名相減　以除法除之得二借根　二借根諸數加減本積以除法除之得三借根　下皆如是求至借根與元數密合而止 右術亦方大者用之為便 算例 假如平方負積一百六十正方八十二負隅一求小元數 以方除本積得□一九五一二為一借根　一借根乘隅得□三八０七一八加本積以方除之得□一九九七六為二借根乘隅得□三九九０四０加本積以方除之得□一九九九八八為三借根收零進一得□二為小元數 又算例 假如立方負積一千兆正方三百億廉空負隅一求元數 以方除本積得三三三三□三為一借根　一借根立積乘隅得三十兆七０三五九二五九加本積以方除之得三四五六□七為二借根　二借根立積乘隅得四十兆一三０三三三０一加本積以方除之得三四七一０為三借根　三借根立積乘隅得四十兆一八一八０五六一加本積以方除之得三四七二□七為四借根　四借根立積乘隅得四十兆一八七九五三０一加本積以方除之得三四七二□九為五借根即元數 又算例 假如立方負積一千兆正方二百億正廉十萬負隅一求元數 以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆二五以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆二五以加本積減餘數以方除之得四三七五　為二借根　二借根平積乘廉得一百兆九一四０六二五以減本積一　借根立積乘隅得八十兆三七四０二三以加本積減餘數以方除之得四四六一□六為三借根　三借根平積乘廉得一百兆０九０五八七四以減本積三借根立積乘隅得八十兆八八一二０四以加本積減餘數以方除之得四四四八□七為四借根　四借根平積乘廉得一百兆九七九０九三一以減本積四借根立積乘隅得八十兆八０四三九一以加本積減餘數以方除之得四四五０□六為五借根　五借根平積乘廉得一百兆九八０七八四　以減本積五借根立積乘隅得八十兆八一五六七七以加本積減餘數以方除之得四四五０□三為六借根　六借根平積乘廉得一百兆九八０五一七０以減本積六借根立積乘隅得八十兆八一三八九四以加本積減餘數以方除之得四四五０□四為七借根即元數 右二題舊用益實減實歸除得數甚難此術似較易也 天元開諸乘方捷術八 如前諸術先求得元數數位為一借根　前得元數數位又為外根又求得遞次除法　一借積減本積余再為積變方廉隅一次以除法除之得次小根以加減一借根為二借根　次小根之積減變積余再為積又變方廉隅一次以除法除之得三小根以加減二借根為三借根　三小根之積減次變積余再為積又變方廉隅一次以除法除之得四小根以加減三借根為四借根　下皆如是求至借根與元數密合而止 按正諸乘方亦可用右術 天元開方至第五術捷矣然依次累求位數愈多乘法亦愈繁求至十餘位得借積已難再求不更難乎今用此術截求之每次得四五位即易一式乘法不致過繁降位亦復甚易也 算例 假如平方負積一百億正方十萬正隅一已求得元數六一八０□三欲增求之 以六一八０□三為外根如前又求得二二三六０因為遞次除法　六一八０□三為一借根　一借積九九九九九一０八０□九減本積餘八九一九□一此術不可割零為初變積負倍前得五位加前方得二二三六０□六為初變方正一為正隅　置初變積以除法除之得　三九八八七有奇截用四位得□０三九八八為次小根以加前得五位得六一八０□三三九八八為二借根　次小根借積八九一七□四二三一八四一四四減初變積餘一□六七六八一五八五六為次變積負倍前得九位加原方得二二三六０□六七九七六為次變方正一為正隅置次變積以除法除之得　七四九八九有奇截用四位得０００００七四九八為三小根以加前得九位得六一八０□三三九八八七四九八為三借根　三小根借積一□六七六六０三七六八九六七００００四減次變積余０００二一二０八七０三二九九九九六為三變積負倍前得十三位加原方得二二三六０□六七九七七四九九六為三變方正一為正隅　置三變積以除法除之得００００００００九四八四八有奇截用四位得００００００００九四八四為四小根以加前得十三位得六一八０□三三九八八七五０七四八四為四借根即元數 按右例所得十六位數即理分中末之大分數也 截球解義 徐有壬 幾何原本謂球與同徑同高之圓囷其外麵皮積等截球與截圓囷同高則其外麵皮積亦等而不直抉其所以然檢梅氏諸書亦未能明釋之也蓄疑於心久矣近讀李風九章注乃得其解因釋之以告同志雖然以戴東原之善讀古書而猶謂風此注當有脫誤甚矣索解人之難也今釋幾何原本而風之注因是以明風用方今用圓其理則無二也述截球解義 設如徑與高等之圓囷內容同徑之圓球此球必居圓囷三之二何以明之試將圓囷橫切為二則為扁圓囷內容半圓球又將扁圓囷十字直切為四則為圓囷八分之一內亦容圓球八分之一此圓囷上下兩平面俱為圓之一象限其外之圓立面為囷外麵皮八分之一其湊心兩直立面本屬囷之半徑乘半高即球之半徑自乘羃因球在囷內球殼因直切處切成一象限是為球半徑羃內容一象限為此體之湊心立面各一 圖略於此立面任意橫截則皆有正弦有餘弦有矢有半徑 圖略於此體橫切之去其上截則高為餘弦 圖略下半截上面截成兩象限一大一小 圖略 此下半截上下兩平行面仍為圓之一象限而上面一象限因有球殼在內界成一小象限其半徑即所截之正弦正弦者句也餘弦者股也半徑者弦也以句為半徑作一象限以股為半徑作一象限兩象限相併作一大象限必以弦為半徑　句方股方並為弦方句圓股圓亦並為弦圓句象限股象限亦並為弦象限以方圓比例推　其理易見 然則截體上面之大象限球半徑弦為半徑內減球殼所界之小象限正弦句為半徑所余環積必與餘弦股所作小象限餘弦股為半徑等矣立面一象限自高而下所截餘弦至不齊也上面大象限減小象限之環積亦至不齊也而餘弦為半徑作象限必與此環積等此環積總為弦上象限句上象限之較此無高無下無小無大無適不然者也 又試依圓囷之底為底即球中腰大圓面以囷之半高為高即球之半徑作一圓錐體而十字切之為象限錐積以象限為底此錐之底兩旁之邊即圓囷半徑亦即球半徑也 底邊之半徑為句錐高之半徑為股是為句股相等 於此錐體任意橫截為各小錐莫不為底邊與高相等之錐苟以小錐高為半徑作象限面莫不與小錐底相等此亦無高無下無小無大無適不然者也 小錐之高猶餘弦也小錐之底猶大象限減小象限之環積也小錐之高為半徑作象限必與小錐底等猶餘弦為半徑之象限必與環積等也 餘弦之自大而遞小也截高則餘弦大截下則餘弦小極高則幾與半徑等極下則幾於無餘弦其長短有序不亂今各以為半徑作各象限層累迭積必成一象限錐與上錐等而餘弦各象限即球內各象限減圓囷各象限之餘也圓囷　薄切之皆相等之象限面圓球橫　切之各成正弦為半徑之象限面用此知球與圓囷相較必少一錐體矣 是故一錐一球相併必與圓囷等而錐居囷三分之一球必居囷三分之二矣 是故三倍圓球兩倍圓囷其積必等 夫囷之求積以囷之外麵皮積為底以半徑為高作立方為囷之兩倍球之求積以球之外麵皮積為底以半徑為高作立方為球之三倍今既知球之三倍囷之兩倍為相等則兩方等矣又知兩立方之高同以半徑為高則其底亦必等矣是故球之外麵皮積與囷之皮積必等是故球之中腰大圈乘圓徑即球之外麵皮積 再就前截體觀之以球心為心依球殼所截上面小象限弧為界以半徑周遭割之剜出一象限錐此錐以小象限為底此象限以正弦為半徑以餘弦為高是為內錐 再依前法將截球殼外圓囷所藏之積割出准前論知此亦為一象限錐此錐以大象限球半徑為半小象限截球止弦為半徑之面積較為底即餘弦為半徑所作之象限亦以餘弦為高是為外錐內錐外錐相併為一大錐亦以餘弦為高即原截體之高而以大象限半徑即球半徑為底即原截體之底此錐必為原截體三分之一上下兩面平行體與錐體同底同高則錐必居三分之一而所余者必為三分之二矣 圓囷既剜去內錐則所余為圓球截積空中如外面則上小下大必居圓囷三分之二 求圓囷截積者囷外麵皮截積為底半徑為高作立方為截囷之倍積求圓球截積者球外麵皮截積為底半徑為高作立方為截球之三倍積今既知截囷與截球若三與二則截囷兩倍之立方與截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高為相等之半徑則其底亦不得不等矣 是故截球之外麵皮積與截囷之外麵皮積必等 是故截球餘弦高乘球之中周大圓即截球之外麵皮截積 全球之外麵皮積即圓徑乘周也半球之外麵皮積即餘弦乘周也上截球之外麵皮積即矢乘周也 球徑求積術 徑自乘再乘半之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　四分第三數之一又六分去一七分去二為第四數　四分第四數之一又八分去一九分去二為第五數　諸數相併即球積 球徑求球殼積術 徑自乘三之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相併即球外麵皮積 截球餘弦求截球積術 識別得餘弦乘周又乘半徑為截球積之三倍　半徑自乘內減餘弦自乘余為正弦自乘求其圓面又乘餘弦為截求內錐之三倍　兩積相併為截球積 半徑自乘三之內減餘弦自乘又以餘弦乘之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相併為截球積 截球矢求截球上積 識別得矢乘周又乘半徑為錐積之三倍　矢乘矢徑差為正弦羃求其圓面乘餘弦為內錐之三倍兩錐相減 余為積 矢減半徑又加全徑以矢自乘乘之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相併為截球上積 附錄橢圜求周術 橢圜求周無法可馭借乎圜周求之則有三術以為徑求大圜周及周較相減此項梅侶氏之術也以廣為徑求小圜周及周較相加此戴鄂士氏之術也余亦悟得一術以橢周為圜周求其徑以求周即為橢圜之周術更直捷兼可貫三術為一術如後方 堆垛術曰一為第一數　一乘三乘第一數四除之為第二數　三乘五乘第二數九除之為第三數　五乘七乘第三數十六除之為第四數　七乘九乘第四數二十五除之為第五數　九乘十一乘第五數三十六除之為第六數　依次列之為初表 招差術曰廣各自乘相減四而一為乘法一次乘初表第一數二次乘第二數三次乘第三數四次乘第四數五次乘第五數六次乘第六數仍依次列之為表根 招差又術曰以為除法一次除表根第一數三次除第二數五次除第三數七次除第四數九次除第五數十一次除第六數相併為袤徑較以減袤為借圜徑 堆垛又術曰三因借圜徑為第一數　四分第一數之一二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一四分去一五分去二為第三數　四分第三數之一六分去一七分去二為第四數　四分第四數之一八分去一九分去二為第五數　四分第五數之一十分去一十一分去二為第六數　遞求至若干位相併為橢圜周 右術分四層即用項氏術變通得之其圖說之詳已見項氏書中茲不復贅若用戴氏術通之前後三層均如舊惟第三層不同如下 招差又術曰以廣為除法一次除表根第一數正三次除第二數負五次除第三數正七次除第四數負九次除第五數正十一次除第六數負遞求至若干位正數相併內減負數余為廣徑較以加廣亦為借圜徑 此即戴氏術變通得之餘三層皆同前 若移第四層為第一層先以求大圜周或以廣求小圜周后依初表表根及招差又術各得周較加減所得並同即項戴二君術也 四元解序 顧觀光 四元之術至明而失其傳近得徐鈞卿羅茗香諸公相繼闡發始有蹊徑可尋然按法求之恆苦其難而不適於用約其大端有三焉天物相乘與地人相乘並用寄位則羃與羃乘推而上之幾有無方位置之處一也剔消之法以一式截分為二左右斜正初無一定之規非熟於法者安能無誤二也次式副式通式及上中下諸式之名任意作記易滋學者之疑三也翻閱之暇每欲改易算式而其道無由乙巳冬海李君秋紉以所著四元解示余余受而讀之見其以面體之自乘再乘定算式而相消所得直命為初消次消三消則向所難之三事均已無之作而嘆曰心之神明固若是之日出而不窮乎非四元無以盡天元之變非天元無以盡少廣之變而非少廣之面體則亦無以定四元之位而直發明其所以然竊為一言以蔽之曰析堆垛成廣隅而已古法置太極於中心而環之以八又環之以十六其遞增也皆以八堆垛之式也新法置太極於一隅而附之以三又附之以五其遞增也皆以二廉隅之象也置太極於中心則上下左右動有牽制置太極於一隅則升降進退無往不宜由是四元相乘皆有位無寄位也四元為法皆可除無剔消也且其定位之圖既化諸乘方為平方相乘相消之圖又化諸乘方為立方反覆辨論均能假象以達難顯之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢啟秘對數探原諸書皆本天元之術而引而伸之實發前人所未發余冀其悉合而傳之以為言算者一大快也 對數探原序 顧觀光 對數探原者海李君秋紉所著也西人對數之表以加減代乘除用之甚易而造之甚難李君巧借諸乘尖堆以定其數又化諸乘尖堆為同高同底之平尖堆以圖其形由是遞加遞除而諸對數指顧可得精思所到生面獨開矣究其立法之原不越乎天元以虛求實之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正數也平分其高為若干分依分各作橫以截其積而對數之法由之以生何也對數之首位自一至九止矣一之對數為０而百億之對數亦為０故尖堆下之積不可求而總積亦不可求非無積也正以其大之極而一至九之數不足以名故反命為０此盈虛消息如環無端之妙也二至十之共積為一十一至一百之共積為一一百一至一千之共積亦為一推之至於萬億無不如是此尖堆漸上漸狹漸下漸闊之理也以加倍代自乘則二之積不得不同於三四兩之積以三因代再乘則二之積不得不又同於五六七八四之積此尖堆二以上積數相等之理也尖堆之底無盡積亦與為無盡而求兩對數較則所得皆為最上一之積故二十尖堆已足當億萬尖堆之用西人不達乎此乃用正數屢次開方對數屢次折半以求之亦識流而昧其原矣易不云乎易則易知簡則易從李君渺慮凝思無幽不啟實有以通易簡之原而體神明之撰者西人見之應亦自悔其徒勞也 數學跋 顧觀光 江氏數學繼梅氏曆書而作者也其於七政運行之故歲實消長之原曲暢旁通實足補梅氏之未備自錢竹汀謂宣城能用西學江氏則為西人所用且極詆其冬至權度如公孫龍之言臧三耳甚難而實非無識者往往惑之平心而論江氏之囿於西法固矣錢氏之說則又囿於中法而非實事求是之學也七政盈縮遲疾之原或曰小輪或曰不同心天世無陵雲御風之人誰為正之然使小輪所用止在盈縮遲疾之間則謂其巧算而非真象無不可也無如日月在小輪之上半周則距地遠而視之亦小在小輪之下半周則距地近而視之亦大視徑有大小即地半徑差有損益而影徑分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈縮遲疾而後信也有高卑則舍小輪與不同心天固更無他法矣兩心差之有大小西人早已言之日曆指再意罷閣於漢景帝時測兩心差為十萬分之四千一百五十一九執歷推定日法分一象限為六計其積差凡二度十四分以正切求兩心差得十萬分之三千九百江氏推劉宋大明時兩心差四０三五與意罷閣所測正相近唐開元時冬至減時大於今四刻有奇則較九執歷為稍贏耳錢氏謂兩心差古大今小仍是楊郭百年消長之法不知消長以定冬至為根而兩心差之加減則以平冬至為根根既不同算何由合元明以來歲實由消而漸長議者紛紛江氏妙解算理因授時曆議所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖違而知其刻下小余有三十分斷為長極而消之大界證佐甚明恐善辨者亦難為郭氏解也西法行之已久不能無差江氏之書誠有主持太過之弊然元嘉十三年甲戌冬至諸歷皆得癸酉大明五年乙酉冬至諸歷皆得甲申而江氏所推獨與古人吻合元嘉十八年己亥冬至則據隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至則據太建四年丁卯冬至而疑其測之非真此皆由古籍中參稽而得非徒立異同錢氏考之不審乃以為辭窮而遁是算術不足信而史文必無一字之舛也有是理乎兩心差古大今小江氏未有定率而改最卑每歲東行為一分三秒則精思所到遂與噶西尼之新法不約而同可見考諸古而無疑者質諸今而自合若合於古而不合於今則其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道貞觀者也天有常行不以古今而異謂西人之術必不可以考古是古之天行異於今也謂古之天行異於今是古與今當各有一天也而豈其然哉江氏書世無善本七政小輪諸紛如亂絲恐其久而失傳無以為治歷者先路之導今特詳為校正書中精確不磨之處讀者當自知之惟無以是古非今之見先橫於中此則余所旦暮遇之也夫 歲實消長其故有二一由兩心差有大小一由黃赤距有遠近吳江王氏青州薛氏並嘗言之今薛氏天學會通未見足本曉庵新法又脫去補遺不知其說云何江氏之說得其一而失其一考之未審矣夫黃極環赤極二萬五千八百六十八年而一周即歲差也黃道既退行於赤道則歲實必漸消惟是西人舊說皆以歲差為恆星東行遂與最高行兩數混淆無從分析中法知歲差為歲不及天矣而又不知最高之有行分宜乎歲實消長曆千餘年而未有定論也近日西人新測春秋分點每歲西行五十一秒最高每歲東行十一秒八兩心差古大今小約百年差二萬五千分之一黃赤道古遠今近約百年差四十八秒咸豐庚申最卑過冬至十度二十八分五十三秒三０黃赤大距二十三度二十七分二十七秒三八 五星歲輪與伏見輪之不同 顧觀光 西法步五星土木火用歲輪金水用伏見輪梅勿庵謂五星皆有歲輪而伏見輪即歲輪上星行繞日之圓象婺源江氏從之著金水二星發微繪圖立算縷析條分而征之等邊等角之兩三角形以著其理二家之說可謂詳且明矣余嘗細譯曆書而知歲輪與伏見輪之算其不可強同者有四試詳言之土木火次引以初實行減太陽實行得之是次引大小一由於太陽之盈縮一由於本天之高卑而金水二星但以初均加減伏見平行不用太陽盈縮差其不同一也土木火以初實行減太陽實行則初均數為加者距日度反差而少初均數為減者距日度反差而多此緣上三星之行遲於太陽故如此立法若金水二星之行速於太陽初均數加則距日度亦加初均數減則距日度亦減而乃反用初均以加減伏見平行與上三星算同而理正相反其不同二也用歲輪則心在本道有升度差用伏見輪則心在黃道無升度差其不同三也土木火以正交行減初實行是用次輪心距正交度金水以正交行減初實行又加伏見實行而初實行而初實行與伏見實行相併之度即平行與伏見平行相併之度是從伏見輪言之為星距正交度從本天言之即本輪心距正交度矣其不同四也因此四事而知歲輪與伏見輪之用離之則雙美合之則兩傷矣然則梅氏江氏之說非乎曰未可非也所不同之四事曆書均已言之曰伏見輪雖以太陽為心實以太陽本輪心為心也曰伏見輪最遠點無定分其距平遠點之度必與初均等也曰伏見輪最遠點距伏見輪正交之度必與伏見輪心距本道正交之度等也之三者非征之實測未易決其是非惟謂伏見輪在黃道無升度差則即以伏見輪之理考之而知其必不可通何也伏見輪之心雖行於黃道而其面與黃道斜交半在南半在北惟正交中交二點與黃道合聯此二點過心成一直此必與黃道平行而其距伏見輪遠近之度時時不等設正交距最遠九十度則伏見輪之上下一南一北成偃臥之勢謂其無升度差理固然矣若正交與最遠合則伏見輪之左右一南一北成側立之勢與土木火本道之斜交於黃道者其象正同又安得無升度差乎斯時黃道如句視緯如股伏見輪面如弦自黃極出抵黃道及星在伏見輪之右者其度必差而東在伏見輪之左者其度必差而西曆書概置不論但以本道即黃道一語了之不思經度與緯度相待而成無升度差安得復有視緯此可以理決之不俟實測而後信也要之伏見輪之法本於歲輪自承用者逐影忘形遂至牴牾不合回曆五星並用太陽平行並無升度差歲輪與伏見輪通為一法西人於土木火三星屢改益精而金水二仍同回曆由泥於伏見輪在黃道之說而不復深思改法者已不知伏見輪為歲輪上星行繞日之圓象矣梅氏江氏之說悟絕倫表而出之以告天下後世之讀古人書而死於句下者 幾何原本六和六較解 顧觀光 大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　兩正方較積四其邊二與大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三闊一 大小兩分相併得七四六四奇為第一合名第二第三同 相減餘五三五奇為第一斷第二第三同 設有比例八與大分有等　以乘矩形之長得二十四其邊四八九八奇以乘矩形之闊得八其邊二八二八奇兩數相併得七七六奇為合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形兩數相減得二０七奇為斷自之得四二八五奇即第一斷乘比例之矩形 設有比例六九二八奇與小分有等以乘矩形之長得二十０七八奇其邊四五五八奇以乘矩形之闊得六九二八奇其邊二六三二奇　兩數相併得七一九奇為第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形兩數相減得一九二六奇為第一中斷自之得三七０九奇即第二斷乘比例之矩形 設有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一其邊四五八二奇以乘矩形之闊得七其邊二六四五奇　兩數相併得七二二七奇為第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形　兩數相減得一九三七奇為第二中斷自之得三七五二奇即第三斷乘比例之矩形 大分四一二三奇正方十七０小分三六０五奇正方十三　兩正方較積四其邊二與大分無等　半小分一八０二奇正方三二五　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三０六一奇闊一０六一奇　大小兩分相併得七七二八奇為第四合名第五第六同 相減餘五一八奇為第四斷第五第六同 設有比例八二四六奇與大分有等　以乘矩形之長得二十五二四奇其邊五０二三奇以乘矩形之闊得八七四九奇其邊二九五七奇　兩數相併得七九八奇為太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形　兩數相減得二０六六為少自之得四二六八奇即第四斷乘比例之矩形 設有比例七二一奇與小分有等　以乘矩形之長得二十二０七其邊四六九七奇以乘矩形之闊得七六五其邊二七六五奇兩數相併得七四六二奇為比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形　兩數相減得一九三二奇為合比中方自之得三七三二奇即第五斷乘比例之矩形 設有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一四二七其邊二七二三奇　兩數相併得七三五一奇為兩中面之自之得五四０九奇即第六合名乘比例之矩形　兩數相減得一九０五奇為合中中方自之得三六二九奇即第六斷乘比例之矩形大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五兩正方較積一百其邊十與大分有等　大小兩分相減餘三八二奇為第一斷　即以較積方邊為比例圓半徑以乘第一斷得三十八二奇開得斷六一八奇即圓內容十邊形之一邊 大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五兩正方較積一百二十五其邊十一一八與大分無等　大小兩分相減餘六九一奇為第四斷　有比例二十圓徑與大分有等以乘第四斷得一百三十八奇開得少十一七五奇即圓內容五邊形之一邊 大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六兩正方較積一百三十三三三其邊十一五四奇與大分有等　大小兩分相減餘四四一奇為第一斷　即以較積方邊為比例球內容六面體之一邊以乘第一斷得五十０八九奇開得斷七一三奇即球內容十二面體之一邊 大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五兩正方較積一百其邊十與大分無等　大小兩分相減餘六一八奇為第四斷　有比例十七八八奇容二十面體上五邊形之圓徑與大分有等以乘第四斷得一百十０四九奇開得少十０五一奇即球內容二十面體之一邊 圓錐三曲記 顧觀光 凡圓錐體橫剖之成平圓斜剖之成橢圓平圓祗有一心其周之距心恆等橢圓則有二心自二心出抵圓周二之和必與長徑等也命橢圓之長徑為橫軸短徑為縱軸則任於圓周作縱為股所截長半徑之橫為句股羃乘長半徑羃與句羃乘短半徑羃之和恆與兩半徑羃相乘之數等其過心之倍股即長軸之通徑以長徑為連比例之首率短徑為中率則通徑為末率也股羃與所分長徑二分相乘之羃若短徑羃與長徑羃於長徑上作平圓則同句之平圓股若長徑與短徑矣任於圓周出二斜抵橫軸之兩端為正餘二通弦則二通弦對角正切相乘之羃即長徑羃約短徑羃之數自圓周作二斜與二通弦平行則橢圓切也引橫軸與切相交成句股形切為弦縱為股則其句為次切法以橫羃與長半徑羃相減為實橫為法實如法而一即次切也自切點作抵橫軸與切成直角是名法法為弦縱為股則其句為次法法以短半徑羃乘橫為實長半徑羃為法實如法而一即次法也橢圓法平分切點距二心之交角故切與距二心之交角亦相等矣二切既與二通弦平行則自二屬點過中點之斜徑亦與二通弦平行命之曰相切徑任於圓周作縱與一半徑平行截其又一半徑為橫與橫軸上之句股比例並同故相屬徑之二羃和與長短徑之二羃和恆相等也徑端距二心相乘之羃與半徑羃等相屬徑四端之四切成平行四邊形亦與長短二徑相乘之羃等若以二徑之平圓面積為首末率而求其中率即橢圓面積也 凡圓錐體依一邊之勢自對邊斜剖之至底成單曲形以此形橫置之作過心橫軸引長至頂點外如頂點距心度乃作垂與軸成直角即准也任於曲上作橫直交於准必與距心等任於曲上作縱為股截軸之橫為句以句為連比例之首率股為中率則通徑為末率通徑者過心之倍股也折取其半即心距准之度矣自縱上端作斜為曲之切引橫軸與之相交亦與次切成句股形又作法直交於切亦與次法成句股形單曲之次切倍於橫而次法恆為通徑之半以縱約次法或以次切約縱皆切與軸交角之正切也切點距心交法之角恆等於法交軸之角故法之兩端其距心亦相等切點距心交切之角恆等於切交軸之角故切之兩端其距心亦相等自心作斜直交於切即切點頂點兩距心之中率矣任作通弦與切平行又自切點作橫徑與軸平行必分通弦為兩平分半通弦為縱截橫徑為橫與橫軸上之句股比例並同若句股相乘取三之二即所截單曲之面積也 凡圓錐體依立垂之勢自一邊直剖之至底成雙曲形以此相等之二形橫置之其二頂點之相距即為橫徑任於曲上出抵二心二之較必與橫徑等也自橫徑之中作直交於橫徑即為縱徑中點距心為弦其距頂為句求得股為半縱徑自橫徑之上下截之復作相等之二曲形為相屬雙曲引縱橫二徑為二軸皆過曲之二心以橫徑為連比例之首率縱徑為中率則通徑為末率即橫軸上過心之倍股也任於曲上作縱為股截橫徑之引長為句股羃乘半橫徑羃與句羃乘半縱徑羃之較恆與兩半徑羃相乘之數等股羃與句加橫徑乘句之羃若縱徑羃與橫徑羃矣自縱上端作切法二亦與次法二成句股形其求切交軸之角與單曲之切平分切點距二心之交角故其法亦平分切點距二心之外角任於曲上出二斜抵橫徑之兩端為正餘二通弦二通弦對角正切相乘之羃即橫徑羃約縱徑羃之數自橫徑之中又作二斜與二通弦平行四端皆抵曲命之曰相屬徑以此二徑引而長之任於曲上作縱與一半徑平行截其又一半徑之引長為橫與橫軸上之句股比例並同故相屬徑之二羃較與縱橫徑之二羃較恆相等也相屬徑四端之四切成平行四邊形與縱橫二徑相乘之羃等縱橫徑四端之四切成長方形作對角二斜引而長之與四曲漸近而永不相合命之曰漸近以橫徑約縱徑即漸近與橫徑交角之正切矣任與曲上作縱與一漸近平行截其又一漸近為橫縱橫二相乘之羃恆為中點距心羃四之一引長縱以四曲為界補成平行四邊形恆為縱橫二徑相乘羃二之一任於曲上作切以二漸近為界必平分於切點上之相屬徑亦與切相等若以股乘半橫徑與句乘半縱徑二羃之和乘訥氏對數二七一八二八二以減句股相乘之羃即所截雙曲之面積也 此三曲皆圓錐之分形其離切之率當以合吻圓度之任於曲上作諸圓形與曲同切於一點則圓周之離切半徑小者較速半徑大者較遲而諸圓形中必有一圓周與曲吻合無間即合吻圓也命圓半徑為曲率半徑則各點曲率半徑之比同於法立方之比法立方為實半通徑之平方為法實如法而一即曲率半徑也橢圓二心相距之半之為兩心差以長半徑約之則為橢率置圓周率三一四一五九二六五以長徑乘之為實橢率自之為屢乘數遞取其四之一十六之三三十六之十五以減實即橢圓體之曲面積也法乘縱而以通徑約之於上法加縱而半之以乘訥氏對數加入上位即單曲之長也以通徑約圓周率四因三除以乘法次法兩立方之較即單曲體之曲面積也橢圓體積等於外切圓柱三之二單曲體積等於外切圓柱二之一單曲面所容最大長方其橫徑恆為軸三之二圓錐所容最大單曲面其軸恆為斜距四之三引而伸之觸類而長之曲之能事畢矣 靜重學記 顧觀光 重學之本始於權衡權與物均而衡平則左距與右距等若不均而衡平則左距乘左重與右距乘右重等比例之法由此起矣杆之異于衡者不惟其平而惟其定直杆或平或斜並與衡同曲杆則視力與杆之交角其角正得九十度比例同於直杆不正得九十度則左距乘左重與右角正弦若右距乘右重與左角正弦或有曲杆之折角而求左右兩角則左距乘左重為實右距乘右重為法實如法而一內減折角餘弦折角正弦除之即左角餘切也求右角者仿此 二力之引重而行也二相合則用其和二相對則用其較若不相合而未至於相對者以二力補成平行四邊形作對角為二力之合率三力以上其理一也 引重之器有七其助力各不同杆之助力為右距與左距之比輪軸之助力為軸徑與輪徑之比齒輪之助力為小輪齒數與大輪齒數之比單滑車之助力為一與二之比連滑車之助力為一與二依滑車數少一乘方積之比或為一與索數之比或為一與二依動滑車數乘方積少一之比斜面之助力為股與弦之比劈之助力為劈背與劈邊之比螺旋之助力為兩螺距與柄長為半徑所成圓周之比七者或分或復或單皆能以小力運大重其力與重皆若重動速與力動速也 獨體合體均有重心自重心作垂必與地平成直角凡三邊形各於半邊作對角三相交之點為重心其距角與距邊若二與一也兩兩相等四邊形於相等邊之半作聯兩相交之點為重心其距兩邊恆相等四不等邊以對角分為兩三邊形各以法求其重心兩重心聯為一則大形垂與小形垂若小形之重心距與大形之重心距也凡尖錐體先求底之重心自底心至尖作聯其四之一為底心距重心若去其尖則以上下兩重心作聯全體之重心必在此上矣設諸面體之角各為質點而以聯之又或斷而不連或動而不定亦必有此重心引重之器以力與重聯為一力降則重升而聯上必有定點即重心也既有重心可明定理體之定於一點者自懸點作垂必過重心體之定於一面者自重心作垂必與定點相合體之定於一點及一面者自重心作垂為一邊自面之定點作直交於面為又一邊面之定點距重心為底則兩定點相距為三角形之大分邊體之定於兩點者以此兩點引而長之必交於重心所作之垂也體之定於兩面者兩定點之抵力各與其面成直角引而長之亦必交於重心之垂也凡體已定而微動之或復原處或離其原處則固定與非固定之別也設小半球切於大半球之凸面其重心恆為球半徑八之五自切點作與地平成直角重心在此內者為固定在此外者為非固定法以兩半徑相乘為實兩半徑相併為法實如法而一為固定率若切於大半球之凹面則兩半徑相乘為實兩半徑相減為法實如法而一為固定率屋樑相定之理三梁相合成兩等邊三角形加重於頂自頂點作垂分為兩句股形則句為梁平力之率倍股為梁垂力與加重之率三梁相屬以次遞降自下樑重心作直引中梁與之相遇復自相遇點至下樑下端作斜則與地平成句股形句為下樑平力之率弦為下樑垂力之率四梁相屬長短輕重如一合地平成五不等邊形自頂點作垂則與垂成小句股小股對角之正切與大股對角之正切若一與三也 橋環相定之理先令諸劈之大小形狀左右俱等自橋頂作垂以諸劈之左右切面引而長之必與垂遇於一點此點即環心也各切面與垂之交角其切較為各劈重率割為各劈抵力率不合此率而又無面阻力橋必圮矣由劈之重心作垂自切面之中作直交於切面為抵力引而長之與左右兩垂相遇必在劈行之中若出劈外而又無膠固力橋必圮矣橋之下面為圓者自圓心作地平又以圓半徑為股橋頂至圓心之垂為弦取其句於垂上自圓心截之復作一地平此自中至邊漸與橋之上曲相近而永不相合任於此上作一垂交於下地平又自圓心作一斜乃取交點距橋頂之度於斜上自圓心截之即上曲所到也橋之上下面俱為地平者中間必為垂面各切面與垂之交角其切較為各劈重率即為各劈面積率抵力不出劈外與橋環同 凡糙面有二阻力一在平面一在斜面光面則祗有平面之阻力也任何面體行於平面其重即為抵力兩面俱木而紋平行者取抵力二之一兩面俱木而紋橫直相交或兩面俱金者取抵力四之一兩面一木一金者取抵力五之一各以乘抵力為面阻力斜面之阻力則置物於平面而以一邊徐徐舉起於物慾下未下之時測斜面與地平之交角其全數與角正切若抵力與面阻力也橋環諸劈之重不合於切較則抵力與切面斜交試於抵力之端作直交於抵力又於直交之中依斜面阻力角度左右各作一角即為斜交之大限切面在此二限之中環亦定矣 有小圓柱旋轉於大圓柱中其相切處亦生面阻力兩面俱木者取抵力十二之一兩面一銅一鐵者取抵力七之一各以乘抵力為面阻力輪軸滑車率皆準此 動重學記 顧觀光 凡動無他力加之則方向必直遲速必平若加以他力而方向異於本動者以二方向補成平行四邊形作對角為二速之合率力之加於物而生動也不論正加旁加其動力恆等於抵力故左重與右重若右速與左速二物相引則速之大者必減小者必增各以其重乘所增減之速其數亦相等也 凡球行於平面是平力二球相擊其體平而復凸是生凸力球之無凸力者或鉛或瓦擊時二速消盡二球必止而不行矣凸力有等於平力者謂之全凸力有小於平力者謂之朒凸力呢紗等球凸力為平力九之五象牙球為九之八玻璃球為十六之十五正相擊後二球分行於二對面各生新速其擊前速與擊後速若平力與凸力也設二球皆全凸力正相擊後小球之速必減而大球之速必增二重和與二重較為倍大重與減速之率又為倍小重與增速之率各以其重乘速而並之擊前與擊後亦等二球之凸力等而正相擊後小球止而不行其大球與小球必若平力與凸力也若以動球擊靜球而二體相等又皆為全凸力者其動靜必互相易動球小於靜球則小者返行而大者前行必小於小者之前速動球大於靜球則小者之速必大於大者之前速而大者隨行其速小於前速三球在一上以次遞小而大中二球之較大於中小二球之較者大球由中球傳速於小球必大於直傳速於小球若中球為大小球之中率則傳速最大矣自擊點過二球心作交其合於球行之方向者為正相擊不合者為斜相擊二球方向一直一橫則擊後橫者斜行以擊前二方向引而長之補成平行四邊形作對角即斜行之也二求俱斜則擊後二方向與擊前二方向互為平行自方向之端作直交於交前後各成兩句股形其兩句必自相等又以擊前二方向引之相交則交角之對邊即擊時之兩半徑和也 二球相距必有重心至相擊時重心即為擊點二球相對而行則重心恆不動故左重與右重若右距與左距相隨而行而後速大於前速則重心隨而前行法以兩重各乘速而並之為實並兩重為法實如法而一即重心行也設二球平行於二斜重心必平行於一直以二斜引之相交取二速之度自交點截之為兩腰作聯為三角形之底則左速與右速若右分邊與左分邊乃自分邊處至交點作直即重心行也 凡有凸力之球斜擊於不動之面則擊後必斜行自擊點過球心作交又自方向之端作直交於交成前後兩句股形凸力全者兩句股形相等而方向與交之交角前後亦必相等凸力不全則后角與前角之正切為平力凸力之率后角與前角之正弦為前速後速之率無凸力者擊後行於面邊其前速與後速若全數與角正弦也 凡動有二一為平速一為漸加速動成長方形速為闊時為長則路為長方積加速動成塹堵形力為高時為長與闊則速為長方積路為塹堵形積物在空中為地力所引而下墜愈下愈速即漸加速也地形橢圓長徑過赤道短徑過兩極徑羃與地力為轉比例故兩極下地力與赤道下地力若百四十五與百四十四兩極赤道之間地力適中於一秒中測物之下墜凡十六尺又萬分尺之六百九十七倍之為一秒之地力依塹堵形求之速與路俱可得矣聲之行為平速一秒中凡千十七尺設投石井中歷幾秒聞水聲則以地力除二開平方為石過井率以聲速除一為聲過井率並之以比所歷之時即井口距水之深也大小二重懸於定滑車者大重必隨地力而下二重和與二重較若地力與長加力物自斜面下行兩面皆為光面必相切而行非旋轉而下斜面之弦為重率股為力率力乘地力即斜面之長加力以塹堵形之比例通之地力乘股以除二弦羃實時羃也二地力以乘股即速羃也故不論弦之長短但股等則速亦等以重引重令行於斜面垂面之重大則重上行垂面之重小則重下行以垂重乘弦與斜重乘股之較乘地力為實並二重以乘弦為法實如法而一即長加力也設有圓面直交地平自頂點至圓界作諸通弦則物任行於何通弦自頂點至末點時刻俱等大小兩圓面之頂合為一點直交地平自頂點至大圓界作諸大通弦中有諸小通弦則物行於兩通弦之較自小圓界至大圓界時刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也 拋物空中上行極則彎環而下其兩端恆相等是名拋拋與地平之交角適足四十五度者拋界最大其左右皆漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣若拋物於斜面則視斜面與九十度之交角拋中分此角者拋界最大其左右亦漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣以拋之切為弦則垂為股地平為句切生於平速之拋力故時速相乘而得弦垂生於漸加速之地力故半地力乘時羃而得股以平三角之比例通之拋交地平之倍角正弦乘速羃為實地力為法實如法而一即平面拋界也拋交地平角與拋交斜面角相併為和相減為較和角較角兩正弦之較乘速羃為實較角餘弦羃乘地力為法實如法而一即斜面拋界也九十度之拋即為拋高倍之為平面之最大拋界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大拋界故平面之拋界視斜面為大矣自拋高上端作橫為規規距拋頂之度與拋頂距心之度等自心作橫直交於心距規兩端皆抵拋此必倍於心距規即末率也心距規以二拋高為最大故末率以四拋高為最大拋與平之交角自地平上以漸而小至拋頂則與平合而為一無交角矣垂所截之地平為實拋交地平角之餘弦羃乘二拋高為法實如法而一以減拋交地平角之正切即交角正切也若以同速拋各物而同在一平面者歷若干秒各物所到之點聯之成平圓形若不在一平面成立圓形其拋點距圓心之度即若干秒中地力下行所過之路矣 懸物空中左右限以曲令物一往一來則與曲乍合乍離而其行又成曲是名擺倍圓徑為擺長又倍之為擺周則圓周為擺之界即橫徑也於橫徑之中作垂必抵擺之底點以此垂為圓徑作平圓形則任於垂上作橫其所截平圓之弧必等於平圓外之橫而所截之擺周必倍於平圓內之通弦物自擺下行為地所引其速與垂等以測各處地力之大小至易見也一秒之地力為實圓周率三一四一五九二六五三自之為法實如法而一為秒擺長秒擺者一秒擺動一次也設地力為定數則擺長之平方根與時刻成正比例擺長為定數則地力之平方根與時刻成轉比例故以秒擺長除擺長或以地力除原地力平方開之皆為擺動一次之時刻也若以較數求之則擺長者動遲擺短者動速以擺長與秒擺長之較乘一晝夜八萬六千四百秒為實倍秒擺長為法實如法而一即一晝夜擺動加減次數地形高下處處不同高則擺動遲下則擺動速一晝夜加減次數為兩處高下差之率倍之為兩處地力差之率擺之用盡於此矣 有諸質點各以堅聯於平面力加一點則諸點隨之而動此與獨動不同因諸質點各有抵力環軸時必互相感召或生動或阻動也距軸愈遠用力愈少力距相乘積等則速亦等自軸心作地平為句自諸點各作垂為股諸點之距軸為弦各以質重乘弦羃而並之即諸點之質阻率力乘距羃為實質阻率為法實如法而一即實生力也諸質點為地力所引亦各有長加力自軸心作直則分諸點為左右兩邊各以質重乘句視諸點在直之一邊者相加在兩邊者相減用乘地力又以所求點之距軸乘之為實質率為阻法實如法而一即所求點之長加力也諸質相距必有重心其距軸為弦垂為股所截之地平為句合各質重以乘重心之句與質重各乘距軸之句以相併者其數正等引重心距軸而長之即為擺心重心擺心兩距軸相乘即環軸半徑羃也自重心作直與距軸成直角亦分諸質點為左右兩邊而諸點之距重心為弦直為股所截之距軸為句各以質重乘句其在重心之兩邊亦相等也合各質重以乘重心距軸羃又以質重各乘弦羃而並之亦與質阻率等重心距軸與距擺心相乘即環重心之半徑羃合各質重乘之與質重各乘弦羃以相併者其數亦等重心為心軸心為界作平圓形任於圓上取一點為懸點擺次並同若以擺心為界其理亦同故懸點與擺心點可互易也 二重一加於輪一加於軸而在輪周者下行在軸周者上行輪軸之長加力各如其半徑之比三輪相屬或聯以索或銜以齒而二重一加於第一輪一加於第三軸輪軸之長加力如三輪半徑連乘之比不等二重加於杆之兩端者二重之長加力各如距重心之反比矣凡圓體有轉動有過面動此二動常相因也以索之一端於圓體一端過定滑車而以重懸之設等質之實圓柱則柱重乘地力以加懸重為實三因懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力懸重乘柱徑又乘地力為實三因懸重加柱重以乘柱徑羃八之一為法除之即轉動之長加力若圓柱空而極薄則柱重乘地力為實倍懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力倍懸重以乘地力為實倍懸重加柱重以乘柱半徑為法除之即轉動之長加力設索之一端於圓體一端著於定點則過面動之長加力實圓柱為地力三之二空圓柱為二之一球為七之五也圓體由斜面而下兩面皆為糙面令圓體不為直動而為轉動則不用地力而用直動之長加力其比例並與此不等二重加於靜滑車者令大重下行之長加力即令小重上行之長加力若加於二滑車而一靜一動者動滑車之長加力為靜滑車二之一因速減半故也若加於連滑車而一靜數動者第一動滑車之長加力為靜滑車二之一第二動滑車為四之一第三動滑車為八之一既得諸器之長加力用和分法推之即可知諸器之動矣 凡二體相切相磨皆能生面阻力而動速漸減使牽力與面阻力等則物之行恆為平速矣車行於石路之牽力小者為物重千分之十六大者為二千分之三十九路極不平處至千分之二十四火石路為千分之六十四鐵軌路牽力或為物重二百四十分之一或為三百分之一平石路為七十分之一石子路為十五分之一若車行於斜而其所加之牽力等於股為實弦為法設斜面二丈最高一尺則比平面牽力加物重二十分之一也陸路不論速之大小阻力恆同水路則速羃漸大阻力亦漸大故車或五小時行十里或一小時行十里牽力並同而舟則一小時行十里較五小時行十里者牽力當加二十五倍也惟一小時十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生動之力有六曰定質重曰流質重曰定質凸力曰流質動力曰流質漲力曰人畜能力皆以力乘路為當程功定質重之動力斜面與垂面不同設自行車路高一百尺長四千尺輕車一千斤以重車四千斤下行之力引之上行面阻力為二百分重之一法以重較三千斤乘高一百尺得三十萬為當程功以二百除一千得五斤為上行阻力以二百除三千得十五斤為下行阻力並之以乘長四千尺得八萬為實程功是當程之功比實程為四倍弱也用於垂面則以重乘路當程之功即為實程之功矣流質重之動力以水言之其當程功與定質同而水中又有橫流之水互相推盪不能用以程功故水激上半輪當程功與實程功若五與四水激下半輪當程功與實程功若十與三也捕鳥鼠之巧機能生暫動巧偶鐘錶之發條能生長動皆凸力也發條動時抵力恆有改變故以繞軸漸卸時所過微路乘各秒中所加抵力之路為所程功風氣之力有二風槍用漲力風帆用動力水氣亦有漲力與動力其動力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以靜體為最大人力二十八斤又五分斤之四馬力一百四十四斤行則力必減小行至極速則力不能程功而一小時中極速之限人行六里馬行十二里故求人所程功者以一小時裡數與六里相減餘數自之四因五除為人力求馬所程功者以一小時裡數與十二里相減餘數自之為馬力各以里數乘之為所程功也 車以平速行於平路其力必等於面阻力若有阻物如小石類而車體甚堅阻物與輪周僅遇於一點過此點時車必減速加力則速不減矣車過阻物上行時所加之力為重阻力車行忽改方向震動時所加之力為震阻力法以輪半徑除阻物高為第一數輪半徑羃倍之以除阻物高羃為第二數以此兩數之較乘平速羃為震阻力率地力乘阻物高為重阻力率並兩率以乘車重即車過阻物之加力也若阻物高小於輪半徑則平速羃為震阻力率輪半徑乘地力為重阻力率或以薄鐵片附於軸下取其凸力令輪心漸離直而不震動阻力可減大半也 以物擊物其受擊物之抵力由兩物相遇而生故鐵錘之力大於紗球鐵墩所抵之能大於軟枕而錘之能力消於墩之抵力其所歷之時刻又有不同時刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者時刻亦愈小也鋼鐵凸力率九百萬尺如以鐵錘擊鐵墩則錘高加墩高以乘錘高又以錘下行數乘而倍之為實凸力率為法實如法而一平方開之即錘墩共凸之路錘高乘凸力率又以錘下行數乘而倍之為實錘高加墩高為法實如法而一平方開之即鐵墩之抵力也若以錘擊釘入木則力為平力而釘能動抵力必小釘長加錘高以乘木徑倍凸力率除之即釘入木之路錘高乘平行數木徑除之內減釘入木路即錘釘井凹之路也 流質重學記 顧觀光 物各有質木石之類為定質風水之類為流質而流質又有輕重之分輕如風氣重如水液其體皆得熱而大得寒而小而水之質獨異當寒暑表之四十度為極小之限更寒則反增大至三十二度而成冰矣成冰之時其體增大最速故瓶盆貯水每因冰而迸裂也流質在器為地力所引必皆平於地平地球旋轉生離心力地心下引生向心力二者又有併力而水面必直交於併力故海面當赤道則曲於球形當二極則平於球形月過處有引力又合地力而生併力必令水面改變即潮汐之理也水之小者同於平面故測兩地高卑以水為準若二處流質相通必升至於平面以法激之能令水自下而上能令水載大重而上升或不用水而用風氣理亦同也定質抵力惟在引力所加之方向流質抵力處處皆同設水在器中於其四周開相等之四xiao穴以短柱塞之令可進退一柱漸進則余柱必漸退其抵力之比同於穴大小之比去其一柱器必向對邊而傾以一邊無抵力也流質愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘體積即水抵力之重矣流質抵力必有重心設上下不等正方體水滿其中重心必近於大方令大方在下則重心低而抵力大大方在上則重心高而抵力小若有兩器同底同高不論方斜尖直其底之抵力並同旁面抵力必在重心之下設為平行四邊形則抵力心之高為三分高之一設為兩等邊三角形角尖在上則為四分中垂之一角尖在下則為二分中垂之一凡水閘當抵力心處必多加能力以阻水也 定質為流質所載重者必變而輕故竹木入水必升鐵入水銀亦升因等體積之流質重於定質故也定質重為向下之力流質重為向上之力二力同在一垂相等則物必定由此可得體積相等輕重不等之率如金重三十五分入水中則重三十一分所少四分即等於金體之水重是知水與金之重率為一與八七五矣若不合相定之理則物在水中或升或降令物升降之力即等體積之水重與物重之較也人入水中身重小於等體積之水重又胸中空處能大能小首昂則胸大而兩重較更大且以兩手入水必不沉也若手出水則身重大於等體積之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之體積愈小而不能復升矣人於桅端下墜入水必深以身重大於等體積之水重也歿則體漲大而復升以身重小於等體積之水重也氣球上升亦同此理其上升之力即球重於等體風氣重之較矣風氣又有冷熱之分而熱輕於冷又熱則體必加大而等體之冷風氣愈重二重之較即令熱風氣上升之力聚火處開煙囟令煙速出於上即此理也煙囟高則熱風氣向上直升恆高於頂數尺外風不能敵之低則熱風氣亦低或不能敵外風而回入室中矣 凡空處皆有風氣風氣漲力四面散行直至遇物攔阻而止設冷熱等則漲力大小與空體大小有轉比例如有長空圓柱兩端一通一塞以通之一端入水則柱中空體為水所逼漸下漸小而令柱下行之力必漸加大此即風氣之漲力以漲力與抵力恆相等也水熱至寒暑表之二百十二度其漲力與風氣等每方一尺抵力二千一百二十斤更熱則漲力極大雖至堅之物不能當之矣 地球外之風氣層層包裹近地最厚漸高漸薄至一百五十里則無風氣矣用玻璃管長三十二寸內徑極小不過八分寸之一兩端一通一塞滿貯水銀倒植水銀器中則管中水銀必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者為風氣之所抵而風氣厚薄時時不等故升降亦時時不等也海面水銀高二十九寸九分二厘二毫在高山則必降風氣薄而輕也在深壑則必升風氣厚而重也大率高九百尺水銀降下一寸是又為測高之簡法矣水在器中或倒懸而水不出以口有風氣抵力也虹吸內兩邊倒懸之水俱欲下行在頂點有兩分之意而頂點無空勢不能分兩邊一短一長必令短者逆流而上所以無空者風氣抵之也若頂點高過三十二尺即有空矣極大虹吸高不得過三十二尺 風氣冷熱處處不同赤道之下日光正射而熱人必多斜射則熱少愈斜則愈少故一年熱氣中率赤道之下寒暑表八十四度兩極之下僅得四度然則赤道下之風氣較他處熱而輕故必上升而其下南北之冷風氣入之復受熱氣上升而其下之冷風氣又入之如水之流終古不斷遂生上下二潮上自赤道流向兩極下自兩極流向赤道而名之曰風風氣恆隨地球而行地球右轉之勢近赤道者較速近兩極者較遲故上潮速恆而下潮遲及其降至地面遲則與地轉相逆而北半球為東北風南半球為東南風速則與地轉相順而北半球為西南風南半球為西北風其勢正相反也赤道下有颶風亦由於此上下方向相對遂成迴旋之風矣擺用流質與定質同其動之比同於長平方根之比水自器中出口其速之比同於口離水面平方根之比設於器旁開二口一離水面一尺一離水面一百尺則一百尺之速必十倍於一尺之速如有少於此者面阻力為之也口在器底則水向下直行口在器旁則水依拋物行設為徑寸平圓之口則近口處徑一寸漸遠漸小小至八寸之五謂之截面此面距口有一定之度過此則形不變故測流質出口多少不用口面積而用截面積也 舟行水中阻力之比同於速羃之比而阻力又有大小之不同全在水中則大半在水中則小行於闊處則大行於狹處則小若於狹處一小時行十餘里舟行愈速出水愈高其阻力必大減矣水行川中上面速於下面中流速於兩邊因底與兩岸有面阻力且多曲處故也曲處凹邊之流速於凸邊因各點有離心力能令水積於凹邊也上下行速不同方向或異甚至有對面者如海口潮來鹹水從下入淡水從上出以重者下而輕者上也浪乃略高之水行於水面與水行方向不同如桅上旗因風而生綺浪亦與旗行方向不同故水浮水面浪雖擁擊而水不行也浪每因風而生水闊二三百尺深三四尺浪高不過三寸深二三十尺浪高約尺半故可以浪之高低測水之深淺矣潮汐高卑由於日月攝力朔望時用其和兩弦時用其較而二攝力之大小時時不等因日月距地時時不等而攝力與距地之立方有轉比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高與最卑若兩大數和與兩小數較即若十與三之比也各地早晚不同當考者有五事一為月過中差潮漲在月過中後若干時刻日日不同大率當以朔望為準二為半月差月過中又因距日而生差當於日月赤道緯度及地心差為中數時測之此差半月而復故名半月差三為潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望後之三潮上潮距月過中之平數即潮距朔望也四為日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高當於各地測之五則日月地心差不同赤道緯度不同潮之高卑時刻亦因之而變測之既久乃知變者皆其常也有諸海港合而復分水道屢變有時成環繞之行水道變則遲速亦變是又當兼測水道矣 天重學記 顧觀光 日居中而不動地球環之其旋轉於本心而一日一周者晝夜之故也其循行於本道而一歲一周者寒暑之故也旋轉之勢依赤道循行之勢依黃道二道交角今為二十三度二十八分交點每歲西行五十秒一故地行黃道一周三百六十五日五小時四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而後復於恆星即歲差也黃道橢圓而日不正當橢圓之中兩心差００一六七八三六最高每歲東行十一秒八故地繞太陽一周三百六十五日六小時九分九秒六再加四分三十九秒七而後復於最高半周角度小於積度則實行差而遲最卑半周角度大於積度則實行差而疾故日距地之平方與速率有反比例日距地之面積與時分有正比例也中距日視徑三十二分三秒三高則變小卑則變大大小之比同於日距地之反比矣黃道橢圓而地形亦為橢圓長徑過赤道短徑過兩極二徑之比若二百九十九與二百九十八地之旋轉近赤道則漸疾而下引之力減近兩極則漸遲而下引之力增故物在兩極較赤道重一百九十四之一各度加重之比同於緯度正弦羃之比也地徑與日徑比若一與一百十一五地徑與黃道徑比若一與二萬三千九百八十四故日之地平視差為八秒六各度視差之比同於視距天頂正弦之比也赤極環繞黃極二萬五千八百六十八年一周為諸星所攝動而黃赤大距古大今小約百年差四十八秒其最大差為一度二十一分赤極又為月所攝動而成小橢圓之行長徑十八秒五短徑十三秒七四凡十九年一周長徑恆向黃極故大距又有微差矣地以二十四小時旋轉一周而考之鐘表亦有微差一為橢圓遲疾差近最高則行遲而自轉有減分近最卑則行疾而自轉有加分一為黃赤升度差近二分則黃道一度當赤道不足一度故自轉有加分近二至則黃道一度當赤道一度有餘故自轉有減分合二差以加減平時即真時也光行之速一秒凡五十五萬五千里而地行黃道一秒僅五十五里故光速率與地速率若半徑與二十秒五之正切是為光行差近地恆有蒙氣能令七政升卑為高地平視差三十三分地平以上漸小而其差又隨時隨地不同此必征諸實測非算術所能御矣 月繞地而又繞日其旋轉於本心與環繞乎地球皆二十七日七小時四十三分十一秒五而一周故月向地之面終古不易也月行白道與黃道斜交其角五度八分四十八秒交點退行於黃道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交終也白道橢圓而地不正當橢圓之中兩心差最大最小之比若三與二其中數為００五四八四四二最高每日順行六分四十一秒八故月行遲疾二十七日五五四五而一周即轉終也月行於橢圓周每日十三度一七六四亦以面積為平行角度為實行與太陽同中距月視徑三十一分七秒大小之比亦為月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九０七五積二十九日十二小時四十四分二秒八七而複合是為一月地徑與月徑比若一與０二七二九地徑與白道徑比若一與五十九九六四三五故月之地平視差其中數為五十七分六秒也日月二半徑和加月地平視差其最大者一度三十四分二十七秒日月兩心距小於此數則地面必有見食之處故日食限之距交為十六度五十八分法自日體之兩邊各作與月體相切引長之成尖圓其尖或過地或不及地若以兩交互切月引長至地界內即生淡影人在淡影中則見食在尖圓中則見食既也月與內虛二心距等於月外虛二半徑和即月入外虛之時等於月內虛二半徑和即月入內虛之時故月食限之距交為十一度二十一分法自日體之兩邊各作與地球相切引長之成尖圓即內虛也若以兩交互切地引長之過月體即外虛也日光透過蒙氣則折而下其交外虛之角即倍地平蒙氣差其交內虛之角即倍蒙氣差與日視徑之較月八外虛為昏黃色入內虛則淺者為藍綠色深者為紅紫色也凡攝力之大小與相距之平方有反比例月距地心約地半徑之六十倍故地攝月力為地面攝力三千六百之一日之攝力甚大於地而日地距大於月地距約四百倍故日攝月力僅得地攝月力一百七十九之一也白道長徑與地之行每日差五十二分二十七秒二五積二百五日八九四而複合此一合中兩心差有增減長徑亦有進退而增減進退之差在最高者較大在最卑者較小大小之比若二十八與二十五矣朔望前二象限切力恆令速率增增則長徑變長朔望後二象限切力令恆速率減減則長徑變短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小兩弦前後各三十五度十六分法力向內令曲率略大其最大差為一度四分一月而復名二均差也月受日之攝力朔時距日近而略大望時距日遠而略小故日心斜交地月之令月增減於橢圓行其最大差為二分名月角差也地行於橢圓周最高后距日漸近則日攝月力漸大最卑後距日漸遠則日攝月力漸小其最大差為十一分一歲而復名年差也二千年間地道兩心差恆變而小約百年差二萬五千分之一則年差亦微有不同而月之平速恆變而大約百年差十一秒九其一終之時甚久未能征諸實測也二體相距必有重心其距二體心遠近之比若二體輕重之比聯日地為一直其公重心在日體中聯月地為一直其公重心在地球中故月地之公重心繞日地之公重心而自人視之一若月繞地而地又繞日焉然因此而日之經度亦有微差一月而復因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平視差也白極環繞黃極十八年六而一周而赤道既退行於黃道又退行於白道則赤極所行方向恆正交赤白二極距故不成正圓而為次擺其速率亦時大時小二道所生二差之比若二與五矣 五星繞日而行軌道並為橢圓與地球同其兩心差各以長半徑准之水星０二０五五一四九金星０００六八六０七火星００九三三０七０木星０四八一六二一土星０五六一五０五距日中數以地道半徑准之水星０三八七０九八一金星０七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二０二七七六０土星九五三八七八六一地與五星周時平方之比各同於距日立方之比推得五星之恆星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七００七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一萬七百五十九日二一九八一七其交黃道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交點與最高點行皆甚遲故聯兩交點為一恆平分黃道焉外星之攝動內星也於內道上取距外星等於日距外星之兩點內星自等距點至交點者交點退而後自交點至等距點進而前內星之攝動外星也二道相距小於內道距日者於內道上取距日與外星相等之兩點其交點之進退與外星攝內星同二道相距大於內道距日者二星在交之兩邊交點退而後在交之一邊交點進而前若二星中有一星正當交點則交點不動矣二道漸相近而攝力又引之近二道漸相遠而攝力又推之遠則交角變大二道漸相近而攝力反推之遠二道漸相遠而攝力反引之近則交角變小引之近者交點退推之遠者交點進故交角之大小與交點之進退不相應也法力能變曲率向內則曲率增向外則曲率減切力能變速率順則速率增逆則速率減故法力向內而星近高點則長徑退近卑點則長徑進自高至卑則兩心差增自卑至高則兩心差減法力向外者反是切力順而星近高點則兩心差減近卑點則兩心差增自高至卑則長徑退自卑至高則長徑進切力逆者反是是兩心差與最高行互為消長而切法二力亦互為消長故五星之橢圓周古今不甚相遠也人視五星見其忽順忽逆忽留若無法者因地不在星道之心而又繞日環行故也若自太陽視之則有遲疾而無留退故求地心經緯度當以日心經緯度為根先用弧三角形直角為一角星道交黃道角為一角最卑交點二經度較為兩角所夾之弧求得對直角之弧以加減星距最卑度即星距交度仍以直角為一角星道交黃道角為一角星距交度為兩角所夾之弧求得對交角之弧即日心緯度又求對直角之弧以加減交點距春分度即日心經度也次用平三角形直角為一角日心緯度為一角星距日為對直角之邊求得緯度角角之對邊為星距黃道又求得兩角所夾之邊為星對邊又以星對邊為一邊地距日為一邊星地二日心經度較為兩邊所夾之角求得對角之邊為日對邊又求地距日之對角以加二日心經度較再加地之日心經度即星之地心經度又以日對邊與星距黃道為夾直角之兩邊而求星距黃道之對角即地心緯度也土木二星之互相攝動也二星一合為七千二百五十三日四積至三合則土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日數乘之得三十二萬二千三百七十三日約八百八十三年然其差因積久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周時變短則一星速率減而周時變長其最大差土星四十九分木星二十一分二星經度之比若二星體積各乘長徑平方根之反比也金星之攝動地球也一合為五百八十三日九二積至五合則地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日數乘之得八萬七千五百八十八日約二百四十年而一周此一周中地速率減則日地中距變大地速率增則日地中距變小其差甚微然因此而月之速率亦有增減其最大差為二十三秒金星攝力又有直加於月者地轉三終則金轉五終而多二十七日十三小時七分三十五秒六較月轉終少十分五十六秒七約為三千六百二十五分月轉終之一凡二百七十三年而一周其最大差為二十七秒四是又在日地二攝力之外矣五星地半徑差並小於月測之甚難而聯日星與地為三角形則星距日與地距日若星距日度正弦與地道半徑差之正弦此差一年而周與光行差相似若以光行星與地道差為夾直角之兩邊而求地道差之對角即星所在之度也 彗星行法與五緯同而橢圓之長徑甚長兩心差甚大故或數十年而一見其差甚多不能盡知其根數也因格彗半長徑二二一六四兩心差０八四七四三六交黃道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半長徑三九九四六兩心差０六一七二五六交黃道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陸孫彗半長徑三一五０二一兩心差０七九三六二九交黃道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半長徑三五０一八二兩心差０七五五四七一交黃道角十二度三十四分十四秒凡六年二０二而一周飛彗半長徑三八一一七九兩心差０五五五九六二交黃道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周達唳彗半長徑六三二０六六兩心差０七五六七二交黃道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好里彗半長徑一七九八七九六兩心差０九六七三九一交黃道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一０六而一周又有乾隆三十五年之彗兩心差０七八五八交黃道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日０００五五八交黃道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有順治十八年之彗約一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗約二百九十二年而一周康熙十九年之彗約五百七十五年而一周上考往古有當見而不見者必近日而晝見有雖見而先後一二年則為他星所攝動也乾隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周減百分日之十一洪武十一年至道光十五年好里彗已六周每周增千分年之四百四十五增減之故未得而詳彗之頭如星氣漸近中心漸厚尾恆背日太虛中之薄氣故借日光而明有時隔彗能見恆星知其薄氣而非實體矣 代微積拾級序 李善蘭 幾何之學自歐幾里得至今專門名家代不乏人粵在古昔希臘最究心此學爾時以圜錐諸曲之理為最精深亞奇默德而後其學日進至法蘭西代加德立縱橫二軸推曲內諸點距軸遠近自有此法而凡曲無不可推故曲之數多至無窮而以直為限一例用曲之法馭之既得諸曲依代數理推之可得諸平面諸曲面諸體其已推定之曲略舉其目曰平圜橢圜雙物半立方拋物薜荔葉蚌擺余擺和音次擺弦切諸指數對數亞奇默德螺對數螺等角螺交互螺兩端懸葛西尼諸橢圜平行動而圜錐諸曲與他曲統歸一例無或少異此代數幾何學也自有代數幾何而微分學之用益大微分學非一時一國一人所作其源流遠矣數學有數求數代數無數求數然所推皆常數微分能推一切變數創法者不一家理同而術異求本之者日耳曼人也立界說曰以小至無窮之點積至無窮多推其幾何名為推無窮小點法難者曰無窮小之點雖積之至無窮不能成幾何解之曰但易無窮小為任何小即有積可推矣故其說雖若難解而其理未始不合也而英國奈端造首末比例法不用無窮小之長數乃用有窮最小長數之比例而推其漸損之限其幾何變大則為末限變小則為首限此法便於幾何而不便於代數後造流數術棄不用而謂萬物皆自變其變皆有速率凡幾何俱可用直顯之故速率之增損可用直之界顯之此說學者皆宗之嘉慶末法蘭西特浪勃造限法自雲不過用奈端首末比例耳而蘭頓別創新法凡微分一憑代數不雲任近限而雲已得限名曰剩理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略與蘭頓同總論之微分不過求變幾何最小變率之較耳家數雖多理實一焉奈端來本之同時各精思造法未嘗相謀相師也奈端於元上加點以顯流數如申為甲之流數是也用以推算覺不便故用來氏之彳號以顯之積分者合無數微分之積也亦用來氏之禾號以顯之微分積分為中土算書所未有然觀當代天算家如董方立氏項梅侶氏徐君青氏戴鄂士氏顧尚之氏暨李君秋紉所著各書其理有甚近微分者因不用代數式故或言之甚繁推之甚難今特偕李君譯此書為微分積分入門之助異時中國算學日上未必非此書實基之也 代微積拾級序 偉烈亞力 中法之四元即西法之代數也諸元諸乘方諸互乘積四元別以位次代數別以記號法雖殊理無異也我　朝康熙時西國來本之奈端二家又創立微分積分二術其法亦借徑於代數其理實發千古未有之奇秘代數以甲乙丙丁諸元代已知數以天地人物諸元代未知數微分積分以甲乙丙丁諸元代常數以天地人物諸元代變數其理之大要凡線面體皆設為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也故積分逐層分之為無數微分合無數微分仍為積分其法之大要恆設縱橫二以天代橫以地代縱以彳天代橫之微分以彳地代縱之微分凡代數式皆以法求其微係數繫於彳天或彳地之左為一切面體之微分故一切面體之微分與縱橫之微分皆有比例而迭求微係數可得面體之級數曲之諸異點是謂微分術既有面體之微分可反求其積分而最神妙者凡同類諸題皆有一公式而每題又各有一本式公式中恆兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天與彳天之同數或地與彳地之同數以代之乃求其積分即得本題之全積是謂積分術由是一切曲曲所函面曲面曲面所函體昔之所謂無法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真數求對數對數求真數昔之視為至難者今皆至易嗚呼算術至此觀止矣蔑以加矣羅君密士合眾之天算名家也取代數微分積分三術合為一書分款設題較若列眉嘉惠後學之功甚大偉烈君亞力聞而善之亟購求其書請余共事譯行中國偉烈君之功豈在羅君下哉是書先代數次微分次積分由易而難若階級之漸升譯既竣即名之曰代微積拾級時幾何原本刊行之後一年也 談天序 李善蘭 西士言天者曰恆星與日不動地與五星俱繞日而行故一歲者地球繞日一周也一晝夜者地球自轉一周也議者曰以天為靜以地為動動靜倒置違經畔道不可信也西士又曰地與五星及月之道俱系橢圓而歷時等則所過面積亦等議者曰此假象也以本輪均輪推之而合則設其象為大輪均輪以橢圓面積推之而合則設其象為橢圓面積其實不過假以推步非真有此象也竊謂議者未嘗精心考察而拘牽經義妄生議論甚無謂也古今談天者莫善於子輿氏苟求其故之一語西士善求其故者也舊法火木土皆有歲輪而金水二星則有伏見輪同為行星何以行法不同歌白尼求其故則知地球與五星皆繞日火木土之歲輪因地繞日而生金水之伏見輪則其本道也由是五星之行皆歸一例然其繞日非平行古人加一本輪推之其推月且加至三輪四輪然猶不能盡合刻白爾求其故則知五星與月之道皆為橢圜其行法面積與時恆有比例也然俱僅知其當然而未知其所以然奈端求其故則以為皆重學之理也凡二球環行空中則必共繞其重心而日之質積甚大五星與地俱甚微其重心與日心甚近故繞重心即繞日也凡物直行空中有他力旁加之則物即繞力之心而行而物直行之遲速與旁力之大小適合平圜率則繞行之道為平圜稍不合則恆為橢圜惟歷時等所過面積亦等與平圜同也今地與五星本直行空中日之攝力加之其行與力不能適合平圜故皆行橢圜也由是定論如山不可移矣又證以距日立方與周時平方之比例及恆星之光行差地道半徑視差而地之繞日益信證以煤坑之墜石而地之自轉益信證以彗星之軌道雙星之相繞多合橢圜而地與五星及日之行橢圜益信余與偉烈君所譯談天一書皆主地動及橢圜立說此二者之故不明則此書不能讀故先詳論之 談天序 偉烈亞力 天文之學其源遠矣太古之世既知稼穡每觀天星以定農時而近赤道諸牧國地炎熱多夜放羊因以觀天間嘗上考諸文字之國肇有書契即記及天文如舊約中屢言天星希臘古史亦然而中國堯典亦言中星曆家據以定歲差焉其後積測累推至漢太初三統而立七政統母諸數從此代精一代至郭太史授時術法已美備惟測器未精得數不密此其缺陷也中國言天者三家曰渾天曰天曰宣夜然其推歷但言數不言象而西國則自古及今恆依象立法昔多祿某謂地居中心外包諸天層層硬殼傳其學者又創立本輪均輪諸象法綦繁矣後代測天之器益精得數益密往往與多氏說不合歌白尼乃更創新法謂太陽居中心地與諸行星繞之第谷雖譏其非然恆得確證人多信之至刻白爾推得三例而歌氏之說始為定論然刻氏僅言其當然至奈端更推求其所以然而其說益不可搖矣夫地球大矣統四大洲計之能盡歷其面者無幾人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者計繞太陽有小行星五十餘大行星八其最大者體中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也設以五百地球平列土星之光環能覆之而諸行星又或有月繞之總計諸月共二十餘設盡並諸行星及諸月之積不及太陽積五百分之一太陽體中能容太陰六千萬倍可謂大之至矣而恆星天視之亦只一點耳設人能飛行空中如最速子亦須四百萬年方能至最近之恆星故目能見之恆星最小者可比太陽其大者或且過太陽數十萬倍也夫恆星多至不可數計秋冬清朗之夕昂首九霄目能見者約三千設一恆星為一日各有行星繞之其行星當不下十五萬恆星又有雙星及三合四合諸星則行星之數當更不止於此矣然此僅論目所能見之恆星耳古人論天河皆雲是氣近代遠鏡出知為無數遠鏡界內所已測見之星較普天空目所能見者多二萬倍天河一帶設皆如遠鏡所測之一界其數當有二千零十九萬一千設一星為一日各有五十行星繞之則行星之數當有十億零九百五十五萬意必俱有動植諸物如我地球偉哉造物其力之神能之巨真不可思議矣而測以更精之遠鏡知天河亦有盡界非布滿虛空也而其界外別有無數星氣意天河亦為一星氣無數星氣實即無數天河我所居之地球在本天河中近故覺其大在別星氣外遠故覺其小耳星氣已測得者三千餘意其中必且有大於我天河者初人疑星氣為未成星之質至羅斯伯之大遠鏡成始知亦為無數小星聚而成而更別見無數星氣則亦但覺如氣不能辨為星之聚設異日遠鏡更精今所見者俱能辨恐更見無數遠星氣仍不能辨也如是累推不可思議動法亦然月繞行星行星繞太陽近代或言太陽率諸行星更繞他恆星與雙星同然則安知諸雙星不又同繞一星而所繞之星不又繞別星耶如是累推亦不可思議偉哉造物神妙至此蕩蕩乎民無能名矣 割圜八綴術序 左潛 自泰西杜德美立割圜九術以屢乘屢除通方圜之率我　朝明氏董氏各立一家言以為之說而杜氏之義推闡靡遺顧八互求尚無通術未足以盡一圜之變夫非明董之智力不能因法立法以盡其變也其能窮杜氏之義也資於借根方其不能廣杜氏之法也亦限於借根方借根方即天元一之變術而借根方之不能立式究不如天元一之巧變莫測也是書祖杜氏而宗明氏又旁參以董氏之法八相求各立一式因式立法不煩審顧之勞因法入算不費尋求之苦向之不可立算者今皆能馭之以法即有不能立法布算者而其式終存則式能濟法之窮而度圜諸一以貫之無遺法矣推其立式之由所謂比例術即明氏定半徑為一率所有為二率或三率之法也所謂還原術即明氏弧背求正矢又以正矢求弧背之法也所謂借徑術即明氏借十分全弧通弦率數求百分全弧通弦率數借百分全弧通弦率數求千分全弧通弦率數諸法也所謂商除法又即還原術之變法也是故綴術之生因於明氏而又足以盡明氏之變明氏之未能立式也借根方法取兩等數其分母分子雜糅繁重而不可通也其多號少號輾轉互變而不可約也試取明氏書馭之以綴術其遞降各率頃刻可求則是書也其真能因法立法而更能樹幟於明董之後者與書為徐君青先生所作吳君子登述而成之顧詳於式而略於草惟弦求矢矢求弦弦求切切求弦弧求割小切求大切小切求大弦小割求大矢八式有草余皆有式無草欲考其立式之原不可遽得學者難焉因於暇日一一盡為補草合為四卷書既成丁果臣先生以嘗習算於徐先生將以此書付諸梓因綴數語於簡端雲 綴術釋戴序 左潛 余既補訂徐莊愍公割[圜](團)綴術丁果臣先生復以戴氏鄂士求表捷術見示圖解詳晰立法巧變於天地間自然之形數曲盡精微其中各式有足補徐氏之未備者如餘弦求各式有式同於徐術而立法不同者徐術先求差根此術先求乘法更為直捷法異而理不異也要皆祖杜宗明使割圜之理一以貫之雖各有創術而因法立法互相發明益足見明氏書之為通術而其理固無所不賅也原書算式繁重通分化分諸法學者驟難通曉余因思綴術乃天元一之變法用以立式巧變莫測遂依法改演各草不一日而諸式立就且與書中細審諸草一一密合爰並取全書刪繁就簡手錄成帙至求式各法已詳綴術草中茲不再述 綴術釋明序 曾紀鴻 易系曰極其數遂定天下之象則綜天下難定之象以觀於有定莫數若矣在昔聖神制器尚象利物前民其於數理必有究極精微範圍後世者代久年湮其數學漸至失傳近三百年泰西猶能推闡古法翻陳出新而中國之才人智士或反蹈其成轍而率由之孔子曰天子失官學在四夷正今日數學之謂也中國舊有弧矢算術而未標角度八之名未立八鈐表則雖有用其理以入算者而無表可藉則每求一數必百倍其功而始得且得而仍非密率明代譯出泰西八表及八對數表核其立法之源得數之初甚屬繁難而成表之後一勞永逸大至於無外細至於無微莫不可以此表測之則其用之廣大可想然得表之後雖無事於再求而任舉一數何能較其訛誤若仍用舊術則非匝月經旬不得一數此明靜庵董方立推演杜德美弧矢捷術之可貴也向來求八者例用六宗三要二簡各法若任言一弧度必不能考其弦矢諸數至杜氏創立屢乘屢除之法則但有弧徑而八均可求董方立解杜術先取直之極微者令與弧合而後用連比例以推至極大又考諸率數與尖錐理相合故用尖錐以釋弧矢而弧矢之理以顯而數亦顯明靜庵解杜術先取四分弧通十分弧通弦直之極大者用連比例以推至千分萬分弧通弦之極微者考其乘除之率數與杜氏原術乘除之理相合故用綴術以釋弧矢而弧矢之數以出而理亦出董明二君均為弧矢不祧之宗無庸軒輊其間邇百年中繼起者如戴鄂士煦徐君青有壬季壬叔善蘭所著各書雖自出新裁要皆奉董明為師資也吾友左君壬叟湘陰相國之侄也英年積學於詩文賦字無不深純每應試必冠其曹而於數學一道尤孜孜不倦遇有疑難之題必窮力追索務洞澈其奧窔而後止嘗謂方員之理乃天地自然之數吾之宗中宗西不必分其畛域直以為自得新法也可曾釋徐君青氏綴術又釋戴鄂士求表捷術茲又釋明靜庵弧矢捷術而一貫以天元寄分之式於圓率一道三致意焉可謂勇矣余癸酉從丁果臣先生游始識壬叟繼與共述粟布演草圓率考真二書相得甚歡不啻古所謂同方合志者孰意天厄良才壬叟竟於甲戌秋不永年而逝凡在同學諸人無不嘆息不置余與壬叟兩世神交能無愴切耶果臣先生為湖南數學之領袖所刊二十一種算書嘉惠士林良非淺尟茲文集壬叟遺書而彙刊之倩新化黃君玉屏宗憲任校之役訂正精審毫髮無憾壬叟得此不朽矣若夫詩古文詞古人之門徑已搜括殆盡即附為壬叟之緒餘剞劂尚需諸異日也 圜率考真圖解跋 曾紀鴻 曩讀古今人數學書莫不言割圜之難數理精蘊中所載圜率與西人固靈所求三十六位之數相同皆用內容外切屢次開方之法欲求此三十六位之率不下數十年工夫亦綦難矣後有泰西杜德美特立屢乘屢除之法省去開方較舊法為稍捷然秀水朱君小梁用其術以求四十位圜率止有二十五位不誤其後十五位概行誤足見紛賾繁難易於淆亂果臣先生屬紀鴻等凝心構思幸得創茲巧法斂級甚速按等推求了如指掌邇日深於算者窮理之功多演數之功少反覺不切於日用今左君壬叟黃君玉屏竟用此術推得各弧背真數至百位之多庶幾息諸家之聚訟而為古之困於圜率者置一左券也 對數序 劉彝程 人莫不知對數之用世亦不乏求對數之書奚俟後有論譔顧是書之不容已於作也其要有二一則自來求對數者求一對數祗可得一對數今思得一法求一對數俱可得兩對數以前冊開方第二術求大於本數之對數較易正負相間之諸數為皆正即為小於本數之對數較以前冊開方第三術求小於本數之對數較易諸數皆正者為正負相間即為大於本數之對數較以此求諸對數以備立表視前人諸法不尤捷乎此首卷之所以要也一則近來西書求對數半較其法頗捷而立法之原不詳間以開方之理推之乃知亦系開方之法但此開方與前冊開方諸法不同以中方根求大小兩方根半較法也爰自平方至無量數九乘方各以率數闡之莫不顯然一貫而開方之說可以據為定論無疑此次卷之所以要也至是書中逐事逐節闡微抉隱於對數之理均覺似非小補然以視最要之端則猶為餘事矣 論對數根 劉彝程 第一問 問何謂對數根曰命單一下帶無數空位零一之數為方根求其無量數九乘方之積為真數次置方根零數即零一之一以一無量數乘之得單一為真數之自然對數由自然對數求得定準對數即對數根也法以十之自然對數為首率十之定準對數單一為中率求得末率為對數根十之自然對數與十之定準對數單一之比若以單一為自然對數與其定準對數之比而此所得定準對數用之乘一切方根零數可得一切數之定準對數以其為諸對數之所自出故曰對數根也 第二問 問以對數根乘一切數之方根零數而得一切數之定準對數其理若何且求一切定準對數舍對數根尚別有法乎曰一切數之方根零數既為一切數之自然對數則置本數之方根零數任以若干數之定準對數乘之以若干數之自然對數除之必得本數之定準對數顧此法須一乘一除不若有乘無除或有除無乘之便有乘無除者以對數根為乘法是也有除無乘者以十之自然對數為除法是也自然對數單一與定準對數對數根之比同於一切自然對數與一切定準對數之比而所宜置之一率系單一可以省除宜以單一為一率對數根為二率一切自然對數為三率求得四率為一切定準對數故以對數根乘一切方根零數即得一切定準對數又十之自然對數與十之定準對數之比同於一切數之自然對數與一切定準對數之比而十之定準對數系單一可以省乘故以十之自然對數除一切方根零數即得一切定準對數夫位少之數乘便於除位多之數除便於乘似以十之自然對數為除法較以對數根為乘法為便十之自然對數與對數根皆位多之數顧乘除方根零數乃乘除於得數之後得數即得方根也乘除所借之根單一為乘根於第一數之先第一數即連比例之第一數乘除於後與乘除於先原無少異則與其以十之自然對數除方根零數孰若以對數根乘借根單一之為便乎此求對數者所以恆置對數根為第一數之實也置對數根為第一數之實即如以對數根乘單一也 第三問 問求對數根共有幾法曰舊法以十為本積開五十四次平方然後以方根為真數以方根之零數為自然對數以單一折半五十四次為定準對數置單一以定準對數乘之自然對數除之得對數根此一法也戴氏以十為本積先開三十一乘方為用數然後以用數開無量數九乘方求得方根零數以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然對數以十之自然對數除定準對數單一得對數根此又一法也李紉叔氏以二為本數求得自然對數三因之得八之自然對數又求得四與五之自然對數較命為八與十之自然對數較四五與八十比例同故對數較亦同以加八之自然對數為十之自然對數然後以十之自然對數除單一得對數根此又一法也夫舊法極繁不可為訓戴李二術因十之自然對數不可徑求故一則借用數以求之一則分二次以求之皆法之極善者也 第四問 又問求對數根別有法乎曰無論以若干數之自然對數除本數之定準對數皆得對數根以對數根乘諸自然對數既得諸定準對數則以諸自然對數除諸定準對數必得對數根但諸數之自然對數與定準對數恆難兼而有之如二可得自然對數不能得定準對數十之平方根可得定準對數不能得自然對數試思何數可兼得自然與定準兩對數則得對數根矣間嘗於戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法與戴法相似後一法與李法相似此法任取略大於單一之數皆可為求對數根之借端明乎此然後覺求之術途徑甚寬非一格所能限矣法如左 一任取略大於單一之數為借根屢自再乘至比十略大或略小而止為借積以十為本積視借根屢自再乘為若干次即以十開若干乘方得數為十之若干乘方根次以此方根為本數以若干乘方之廉率除十之定準對數單一為本數之定準對數復由本數求得自然對數然後以自然對數除定準對數得對數根 假如任取一一為借根自乘得一二一為平方以平方自乘得一四六四一為三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一為七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三為十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五為二十三乘方此法較以一一累乘二十三次略捷視二十三乘方之數與十相近而略小乃以此數為借積十為本積求之二十三乘方根法以借積減本積得０一五０二六七三二五為屢次乘法十為屢次除法置借根一一為第一數乘法乘第一數除法除之得０一六五二九四０五八以廉率二十四除之得００００六八八七二五三為第二數除法除之得０００００一０三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得００００００五三九０四為第三數乘法乘第三數除法除之得０００００００八一以四十九乘之七十二除之得００００００００五五一為第四數乘法乘第四數除法除之得０００００００００八以七十三乘之九十六除之得００００００００００六為第五數諸數相併得一一００六九四一七一四為十之二十三乘方根以上用開方第一術 次以十之二十三乘方根為本數以廉率二十四餘十之定準對數得００四一六六六六六六七為本數之定準對數仍以開方術求本數之自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得０一００六九四一七一四為較積即為屢次乘法置借根單一借積一借根必仍為一以乘法乘之除法除之得０一００六九四一七一四合以一無量數除之今不除寄為母即為第一數正本系第二數因但求方根零數故徑以第二數為第一數乘法乘第一數除法為單一除與不除無異故可省去得００一０一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除與一無量數乘二無量數除等得０００五０六九六五八一為第二數負乘法乘第二數得００００五一０四八五又二乘之三除之得００００三四０三二三三為第三數正乘法乘第三數得０００００三四二六八五又三乘之四除之得０００００二五七０一四為第四數負如是求得００００００二０七０００四為第五數正０００００００一七三八為第六數負００００００００一五為第七數正００００００００一三為第八數負００００００００００一為第九數正諸正數相併並諸負數以減之得００九五九四一０四五六合以一無量數乘之因第一數已寄一無量數為母是此數已為一無量數與方根零數相乘之數故即為借積與本數之對數較又此對數較合加借積之對數為本數之對數而借積系單一無對數可加諸數之中惟單一無對數故此對數較即為本數之自然對數置本數之定準對數００四一六六六六六六七以自然對數００九五九四一０四五六除之得０四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第二術 一任取略大於單一之數為本數求得自然對數次以本數屢自再乘至比十略小或略大而止復求得此數與十之自然對數較次置先所求自然對數以屢自再乘之次數加一乘之以後所求自然對數較加之得十之自然對數然後以十之自然對數除十之定準對數單一得對數根 假如任取一一為本數求其自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得０一為較積即為屢次乘法置借根單一降一位屢乘法除法皆為一乘除所得之數但降一位而數不變故以降一位代乘除一次也得０一為第一數正此處寄母及得數後不復以無量數乘之之說俱已見前置第一數降一位一乘之二除之得０００五為第二數負置第二數降一位二乘之三乘之得００００三三三三三三為第三數正置第三數降一位三乘之四除之得０００００二五為第四數負如是求得００００００二為第五數正０００００００一六七為第六數負００００００００一四為第七數正０００００００００一為第八數負諸正數相併並諸負數以減之得００九五三一０一八為一一之自然對數以上用開方第一術 次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五為一一之二十三乘方視此數與十相近而略小乃以此數為小積十為大積復開無量數九乘方求大小兩積之對數較法置大積自除得一為大借積以大積除小積得九八四九七三二六七五為小借積以減大借積得００一五０二六七三二五為較積乃以較積除小借積得六□五五四八０六七第二位為單數故志以□為屢次除法合以較積為乘法小借積為除法今以乘法除除法為除法則屢次乘法可以省去置大借積之根單一以除法除之得００一五二五五九八為第一數正除法除第一數一乘之二除之得００００一一六三七五為第二數負除法除第０二數二乘之三除之得００００００一一八四為第三數正除法除第三數三乘之四除之得０００００００以００一四為第四數負第一第三數相併以第二第四數相併減之得００一五一四０七八為大借積與小借積之自然對數較亦即為大積與小積之自然對數較大小兩借積皆寄大積除法為母同一寄母則與原大積小積比例仍同比例同故對數較亦同次置一一之自然對數以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次數加一乘之也得二二八七四四四三二為小積之自然對數以大小兩積之自然對數較加之得二三０二五八五二為十之自然對數置定準對數單一以十之自然對數除之得０四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第四術 代數術序 華衡芳 代數術二十五卷余與西士傅蘭雅所譯也傅君本精於此學余亦粗明算法故傅君口述之餘筆記之一日數千言不厭其艱苦凡兩月而脫稿繕寫付梓經年告成爰展閱一過而序之曰數之名始於一而終於九故至十則進其位而仍以自一至九之數名之至百則又進其位而仍以自一至九之數名之如是以至千萬億兆其例一也夫古人造數之時所以必以十紀之者誠以數之多可至無窮若每數各與一名則吾之名必有窮時且紛而無序將不可記憶不如極之於九而以十進其位則舉手而示屈指而記雖愚魯者皆能之故可便於民生日用傳之數千百年至今不變也觀夫市廛貿易之區百貨羅列精粗美惡貴賤之不同則其數殊焉多寡長短大小之不同則其數又殊焉凡欲以其所有易其所無者必握算而計之其所斤斤計較者莫非數也設有人言吾可用他法以代其數天誰能信之良以其乘除加減不過舉手之勞頃刻而得無有奧邃難明之理在其間本無藉乎代也惟是數理幽深最耐探索疇人演算務闡精微於是乎設題愈難布算愈繁甚至經旬累月不能畢一數且其所求之數往往雜糅隱匿於各數之內而其理亦紆遠而不易明若每事必設一題每題必立一術枝枝節節而為之術之多將不可勝紀而仍不足以窮數理之變則不如任數理之萬變而我立一通法以馭之此中法之天元西法之代數所由作也代數之術其已知未知之數皆代之以字而乘除加減各有記號以為區別可如題之曲折以相赴迨夫層累已明階級已見乃以所代之數入之而所求之數出焉故可以省算學之工而心亦較逸以其可不藉思索而得也雖然代數之術誠簡矣誠便矣試問工此術者遂能不病其繁乎則又不能也夫人之用心日進而不已苟不至昏眊迷亂必不肯中輟故始則因繁而求簡及其既簡也必更進焉而復遇其繁雖疊代數十次其能免哉由是知代數之意乃為數學中鉤深索隱之用非為淺近之算法而設也若米鹽零雜之事而概欲以代數施之未有不為市儈所笑者也至於代數天元之異同優劣讀此書者自能知之無待余言也 論四元相消之理 湯金鑄 四元之書今所存者以元朱漢卿四元玉鑒為最古然四元實由天元所推廣而天元則宋秦道古數學九章元李鏡齋測圓海鏡益古演郭邢台授時曆艹皆著其法今並存唐王又孝通輯古算經所立諸術多與天元四元所衍得者同疑亦據此而作也考九章算術少廣章曰借一算為法步之似即立天元一所自始顧天元因借一而立然所借止於一用猶未廣故推衍為四元而四元法則悉本方程以為用也天元地元即方程[之]一色二色而今式雲式即方程之一行二行故方程多一色須多一行猶元術多一元即多一式四元之相消無異方程之互乘對減方程對減一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然則對減者方程之轉樞而相消者實四元之關鍵矣夫相消原與常法相減無異而理則有殊減則數有大小即有減余之數而相消必兩數參差相等消後數有對者汰之無對者列為正負存之故所得必正負相當而等於無數天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者須得相等兩如積相消遇寄左數須開平方始與又數等者即又數等於左數之平方根也故以又數自乘即與寄左數相等因自乘必無奇零開方數常不盡故以此通之也或遇左數當以某數除之始與又數等者即又數小於左數若干倍也則以其數乘又數令大若干倍即與左數相等因如積常不受除故以此通之也兩數既等即可消為一行得開方式若立二元者既有兩如積相消而得一式矣然式中又有兩元之和數或較數則兩元仍不可知故必更求兩如積相消而得又一式乃以此二式相消得開方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行偏乘右式則二式之最左一行必相同而相消必盡猶方程之互乘對減必減去最上一層也知其必盡故不必乘亦不必減所以省算也如是屢乘屢消以消至一行止為開方式若遇兩式中左行之數彼大於此若干倍者可以約率求之不必互乘互乘所以齊同今此既小於彼若干倍則依若干倍之即與彼齊同矣遇兩式之行數不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇層數高下不同者亦然如右式有數在太上一層左式太下一層始有數可令右式降而從之或以左式升而從之其能任意升降者如以天元一除之或一乘之也若立三元則可任意升降而不可任意左右地人兩元互相牽制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元則牽制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行數層數不齊者必用剔消法馭之剔消之理因各式之數既正負相當則任以一數乘之或除之其相當固不變即其數任分為二各自乘相減所得仍相當不變也故三元法遇各式行數多少不齊即將少行之式直剔為二各自乘而相消則數本為元者可增而為面體及多乘方可與多行之式相消矣四元法遇各式行數層數均不齊者則直剔一式使少行增為多行又橫剔一式使少層增為多層亦可與多行多層者相消矣至舊法天物相乘地人相乘得數皆紀於夾縫中式中有此則視其由何數相乘而得者即以其數除而去之若不受除則乘他式以齊之凡此皆不外通分齊同之義而能盡相消之用者也 正負相當等於無數則任以數乘之除之或自乘開方或剔乘相消必仍相當而等於無數作者以此釋相消之理良由於四元代數貫徹純熟故能語必破的 九減法及任用他數減試說 沈善蒸 驗乘除之誤舊傳九減之外其三四六七八皆可作減試之法惟一二五不可用因乘除之誤恆差一二五等數故也梅氏算書祗有九減七減兩法因用他數減試之法均同七減故用他數之減法可不俱載焉按九減法無論驗加減乘除之誤先以法數各位相併滿九者以九減之減至不滿九而止又實數得數並減亦如之並減過之數法仍為實如驗乘法者仍相乘驗除法者仍除之驗加減者仍加減之所得之數滿九者又九減之必與減過之原得數相同是為無誤若不同必有誤矣七減法則稍異不能各位相併須從首位次第以七減之減至尾位不滿七而止減畢後乘除加減試驗之法皆與九減同試言其理夫數起於一極於九以一加九而成十以十加九十而成百所以一與十百千萬之較數為九九十九九百九十九九千九百九十九按此諸較數俱為九之倍數以九減之俱能郄盡無餘又如三與三十之較數二十七七與七十之較數六十三亦為九之倍數故無論何數退下一位或幾位即與九減幾次無異譬如八十退下一位變為八即如八十以九減八次亦為八所以九減之法十百千萬均可併入單位而他減則不能並也又准此理九減之法可以改為以並代減更為簡捷假如八百六十五萬五千七百八十四今欲以並代減將各位相併得四十三又相併得七則與九減減得之數同若論用他數減試視九減孰為難易則他減難而九減易因九減可並故也然九減法有利亦必有弊凡乘除之誤往往因加錯位次與減錯位次者居多乃九減不能驗出此等之誤因九減亦不計位次之故是以九減雖稱捷法誠不如七減之盡善也 論海洋深淺之理 沈善蒸 依重心之理而論大西洋必深於太平洋赤道以北之洋必深於赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全體各質點皆有吸力各點互吸其力必聚於公重心猶之一重物各質點皆有重率而重心必歸於一點也凡萬物之存重力皆因地球吸力所致而重力與吸力原非二物故吸力之心即重心無疑所以地面上有物墜下必向地球之公重心而海面恆與重心至地面徑線成正交故重心即球心也又因地球以二極為軸每日東轉一周而生離心力焉故北半球之垂線俱向重心而稍偏南垂線者即懸線也南半球之垂線俱向重心而稍偏北維赤道與二極地方之垂線直向重心是以地球為微匾形矣今閱地圖北半球陸地多於南半球若使海洋深淺略同則北半球地質多於南半球重而南半球輕其公重心必偏在北半球海水亦隨之而北乃北半球之低地沒為海南半球之淺海變為陸何能成現在之形狀以鄙意度之北半球之海洋應倍深於南半球之海洋故北半球洋面雖少以深補之仍不為少南半球洋面雖多以淺消之仍不為多乃兩半球之地質輕重相等而重心亦無偏北之勢庶能成現在之形狀又大西洋應深於太平洋之理亦然不知此論然否須質諸泰西測海家驗以實測方可自信如其不然必因地質有松密北半球地質多而松南半球地質少而密亦能輕重相等可使重心不偏也 質點 韓應升 歐羅巴人旋光性論雲物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以為人之不能分非物之不可分以幾何之理言之物雖大合之可至無窮雖微分之可至無窮尺椎之說也而以為物有不可分之地者何也定質質點大小質點小水質點大氣質點小氣中各類應又分何類質點大何類質點小丸與黍大小懸殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴則丸相聚下至盡囷而正盂底穴則黍相聚下至盡盂而止其下之形與水之下之形無以異也顧囷之穴必大於丸盂之穴必大於黍囷之穴不大於丸則丸不得下也盂之穴不大於黍則黍不得下也故丸也黍也以網盛則下以布帛盛則不下布帛以盛水則下陶為密矣以盛水久而水沁於外陶孔大水粒小也比陶為尤密矣質較疏者以盛水水無沁於外以盛油久而油沁於外孔大油粒小也水粒之大大於孔油粒之大不大於孔也據此而知凡物質之有點點之有原度不獨定質重流質亦有之則亦可推此而知不獨重流質輕流質亦有之輕流質之有質點雖無據豈遂不能更有他器可以測而知之者乎而今則未有其器可以測而知之者也 極說 韓應升 凡可論之物有有極者有無極者有兩端皆有極者有一端有極一端無極者一端有極一端無極者數也度也數始於一一數之至小也不可更減也故即以是為小極由是而遞加加之而至無窮也此小有極大無極者也度終於三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是為大極由是而遞減減之而至無窮也此大有極小無極者也兩端皆有極者南北極是也幾何之理是也幾何之理始於點終於體點不可減故為小極體不可加故為大極點不但不可減亦不可加使點可加加而為線是點雖不本大而固可使大維其不可加使大故終於點終於小也故為小極也體不但不可加亦不可減使體可減減而為面是體雖不本小而固可使小惟其不可減使小故終於體終於大也故為大極也是兩端皆有極者也而幾何中線加減不離線遞減不及點遞加不及面面加減不離面遞減不及線遞加不及體體加減不離體遞減不及面遞加減不及他形也是線也面也體也小亦無極也大亦無極也是兩端皆無極者也而線以兩點為界即以兩點為極而兩端可引之至無窮是兩端皆無極者也面以心一點為心線為界體以重心一點為心面為界心為小極線為大極重心為小極面為大極也而面之心一而已其界之線遞加而無窮也遞減而無窮也體之重心一而已其界之面遞加而無窮也遞減而無窮也是又小有極大無極者也一端有極一端無極者也投物水中水之浪層層相生以至無窮投物處極也其層層相生而無窮者無極也聲亦然出聲處為極聲漸遠而漸微者無極也光亦然出光處為極光漸遠而漸暗者無極也地球之理亦如是也地球以地心為極而水附於土以共為一球氣又附於水土以共為一大球地心吸力極大以漸而減地心吸力地質點滯力用足相反也力足相敵也力相敵故相定幾何度球面距地心一里吸力幾何則等幾何度球面距地心加一倍為距二里其吸力必減四倍何也距地心二里球面必四倍大於距地心一里球面也則距地心二里球面也則距地心二里球面質點滯力必四倍大於距地心一里球面質點滯力也夫地心吸力加於地質遞加遞進以至地面亦加於水遞及水面地水之上地心吸力又加風氣使地心吸力不加風氣則風氣之性既自生漲力能推諸點四面散行漸遠地心地水向心風氣離心方向相反地上氣下應生空隙今乃不然足證非是地心吸力加於地質漸減以至地面地面之上又加風氣漸遠漸減以至無窮何也地面風氣漲力有幾何重可測而知如以玻璃方器抽出風氣外面風氣擠逼立碎試問此器不用風氣用幾何力方能擠碎設雲一十六兩則風氣擠力極小當不能減於一十六兩擠力漲力名異實同非有二義地心至地面萬五千里據上所云其距倍是為三萬裡面大四倍力減四倍吸力漲力為成四兩使更倍是為六萬裡面大四倍力減四倍吸力漲力為成一兩其距遞加其力遞減遞加之數可至無窮遞減之數去多存少去三存一終存四一亦自無窮譬如尺椎日取其半萬世不竭使不取半日取四三萬世之後終存四一是故地心吸力最大漸遠漸減以至地面又加風氣漸遠漸減以至無窮永無盡界地心極也其漸遠漸減而無窮者無極也故風氣盡界說稱風氣愈高愈薄漲力愈小漲力能推諸點四面散行漸遠地心其方向與地心力對面此言是也至稱漲力漸小至與地心力相等風氣諸點不復推開而有盡界者其義非是也 翻譯航海通書原本 金楷理 是書所列日月行星每日躔度悉照英國都城外之觀象台地名固林為志經所定其地在赤道北緯五十一度二十八分三十八秒凡日月星從午迤西旋轉復至午為一日所歷之太陽平時日月星多寡不同在日則曰太陽日二十四時在月則曰太陰日約二十五時弱即今日過午至明日過午為一日在行星則各有行星日在恆星則有恆星日二十三時五十六分三秒半弱其命時也悉以太陽平時為宗　設太陽為不動則地軸旋轉及繞日其方向終古不變月星繞日從地心見其遲速不一成各星日也 測算有平時真時之別按鐘錶時走平分即太陽之平時日晷測時不平分即太陽真時其理解見譯之航海通書 凡鐘錶宜照平時開准真時由測星而得平時以意平分之謂為平時者別於真時也 平時真時之較曰時差每日午正以所差之數列如表 設於一千八百七十年正月初一日在該處測日心正交午所得之午正即為該處真時查其時差為三分五十一杪四零依號加於真時則知日交午之平時為午正三分五十一秒四零也 凡推算必先準定一處為起算之端如此表依英國為準移用他處俱照相距該處之遠近為加減相距十五度即差一點鐘設同此一時在該處為午正者其西十五度之處尚為午初同時太陽不能分居兩處之午也 行船表即度時表在彼處開准者任至某處欲知該處之時檢表即得諸實測尚須推算其時差以加減之凡算家所定之表宜各照其測處之午為準 常用以夜半子正起至明日子正為一日而中分於午為午前十二點午後十二點此書則以正午起至明日正午止歷二十四點為一日如常用在正月初二日午前七點鐘四十九分此書則為在正月初一日十九點四十九分也余仿此 每月月終必多列一日即下月初一之數中比例之用也 每月第一頁所列諸數系日心正交該處午時之數其赤道經度自春分點記起日距赤道南北若干度謂之緯度若干別時求日之赤道經緯度及時差之法當以次行所記之一點較數上求之表所列之數為午正前後一點中日所移之數若算別時之較取距午正折中之處而比其較中之較視下日較數之大小以別加減乃加減於本日較數內即為所求時每點應移之數而與所求時相乘即得其午正後所移之准數以加本日午正如日之赤緯度及時差在退行時則減於本日午正即得所求之數也考其所列之每點較數乃並上下兩日之行分乃以兩日共四十八點歸之即得下日之一點較 設是年正月十六日在該處四點鐘時求日之赤道緯度則檢表內十六日午正之一點較為二十八秒七六十七日午正之一點較為二十九秒七五兩較相減得較中之較為零秒九九以二十四點歸之得每點差百分秒之四有奇乃以求午正後四點折半為二點即其中處與百分秒之四有奇相乘約得百分秒之八乃視其下日之較為漸大故加於十六日一點較數上共為二十八秒八四即所求四點時每點應移之赤道緯度乃以四點因之得一分五十五秒四查十六日正交午時在赤道南二十度五十五分０五秒視十七日緯度小於十六日則知漸減以減十六日之緯度余為南二十度五十三分十秒即所求四點時之赤道緯度也求經度及時差之法皆仿此 日半徑每日過午所歷之恆星時因日距赤緯之南北而改變及半徑有大小別所歷之時因之不等考其測日之過午必測日之外環相切於午加此半徑所歷之時而得日中心過午之時故設此表也首頁時差表為真時改平時之用設是年正月十六日該處真時為午後三點求其平時查正月十六日時差次行一點較為千分秒之八百四十四十七日為千分秒之八百十五則十六日三點之較應為千分秒之八百四十二法見前以三點因之得二秒二六以加十六日時差十分零三秒七五共為十分零六秒二八再加三點得三點十分零六秒二八即所求之平時 四月首頁時差表有加有減十五以前為加十五以後為減中有粗畫作記每月第二頁表為該處平午正時日之赤道經緯度按此表從日之黃道經緯及黃道交角等數算出記真太陽所見處距地球赤道及真春分點之數 任於何地何時算日之赤道經緯度法　設於是年三月初一日在英國偏西九十八度之處平時為二十一點二十分求日之赤道經度按偏西九十八度應加六點三十二分為英國之三月初二日三點五十二分也查三月初二與初三兩日經度之較為三分四十三秒九五以二十四點比三分四十三秒九五若三點五十二分與三十六秒0八凡四率比例皆用以比若與四字括之以即一率比即二率若即三率與即四率下仿此以加三月初二之經度二十二點五十二分三十八秒一二共為二十二點五十三分十四秒二零即所求經度也如求緯度亦查初二與初三兩日緯度之較為二十二分五十七秒六以二十四點比二十二分五十七秒六若三點五十二分與三分四十一秒九查兩日之緯度漸減以減於初二日緯南七度九分五十三秒六得緯南七度六分十一秒七即所求之赤道緯也若更窮其細依前法求兩日之每點較數比例之則愈密也因各曜之遲速在一日之內亦非平分必以漸而改日之半徑因距地遠近而異夏至後十餘日在其至高故半徑最小冬至後十日在其至卑故半徑最大每日列表如測日之高度若測其上環必減此半徑或測其下環則加此半徑或測日月相距度乃並日月兩半徑以加減之即得其中心之距度 第二頁時差表為平時改真時之用故其加減之號與真時條下相反兩數有微差者乃時差中亦應移之數實時差行也日之赤道經緯度亦同 既有平時如號加減即得真時設於是年四月初二日在該處之平午正時欲求其真時查此日午正時差表應減三分三十七秒七零以減初二日午正即為四月初一日二十三點五十六分二十二秒三零即所求之真時也又如在該處偏東一百零五度之地四月十五日平時為十五點即十六日午前之三點鐘時此系偏東處平時求真時偏東一百零五度應減七點是為英國之四月十五日八點查十五與十六兩日時差之較為十四秒七九因一為加一為減故相併為一日較以二十四點比十四秒七九若八點與四秒九三而十六為當加之日十五為當減之日其十五日表內減余之數隻剩零秒四六少於應減之數乃以比得之數反減零秒四六餘四秒四七其號即變為加乃加於十五點共得十五點零四秒四七為所求處之真時 恆星時者乃每日該處平午正時午在線赤道經度距春分起點之數乃日之平分赤道經度也設太陽為不動則地軸每日旋轉一周又兼繞日之行視恆星所居之原點已西移三分五十六秒半也逐日累之則成恆是時矣 是書所載恆星時乃算家常用之表以明正午測望時距分點偏西之度分秒恆星時分點其差甚微故曰真恆星時而不名平恆星時如以日有平時而欲求恆星平時即日之平經度以十五約之即為平恆星時恆星之真時與恆星平時之較十九年中止差二秒三差甚微細故不另立表也算家測各恆星經度其表已悉訂正無誤是書因之倘欲變更測凡章動之數皆須改易也 凡測量以求日之平時即以平午正之恆星時為準如用恆星時求日之平時或用日之平時求恆星時俱用五百零四至五百零七頁之等時表查之即得設於是年正月初二日二十一點九分二十四秒零四之恆星時求該處午線相當之太陽平時 法以今有恆星時內減本日午正之恆星時十八點四十七分四十一秒余為本日午正後之恆星時二點二十一分四十三秒零四檢等時後表即得其相當之太陽平時為二點二十一分十九秒八二即所求蓋以恆星時一點比太陽平時五十九分五十秒一七零四若本日午後恆星時二點二十一分四十三秒零四與所求之太陽平時二點二十一分十九秒八二與表數合 又如正月初二日二點二十一分十九秒八二之太陽平時求該處午線相當之恆星時 法以今有太陽平時檢等時前表即得其相當之恆星時為二點二十一分四十三秒零四以加本日平午正之恆星時十八點四十七分四十一秒共為二十一點九分二十四秒零四即所求蓋以太陽平時一點比恆星時一點零九秒八五六五若今有太陽時二點二十一分十九秒八二與所求之恆星時二點二十一分四十三秒零四與表數合即加於本日午正之恆星時是也 凡測算在該處之西者其平午正之恆星時每點照加九秒八五六五在該處之東者則減亦如之 設於該處偏西九點十分六秒之地十五度為一點求正月初二日平午正之恆星時乃以一點比恆星時長於太陽平時之較九秒八五六五若偏西九點十分六秒與一分三十秒三七偏西應加以加表內是日平午正之恆星時十八點四十七分四十一秒共為十八點四十九分十一秒三七即所求 每月第三頁列太陽黃道經度從春分點起而光行有差故所記經度真數為平午正時之數 設以囷為連半徑以四百九十七秒九八與囷相乘減余為日之經度真處因光行之差其過見處較後於真處也 太陽黃道緯度乃自太陽中心成一弧線與黃道之面交股其弧度即為太陽黃道緯度也 考日之黃道緯度根於自轉日之本體想亦橢圓二十六日自轉一周與表內交終之率恰合因此悟及也 帶半徑之對數乃平午正時地心與日心真影相距之對數即黃道之長半徑即日距地心對數 以上諸條為量日之准而行星及彗星之行度皆藉以推測其距日心之處而求地之經度須查太陽經度而訂其光行差即可測算 光行差表見二百四十二頁黃道交角等表內每十日列一數余詳五百三十二頁內 凡於太陽黃道經度既得其光行差數並其章動數可求諸恆星之位 月半徑者乃自月心至地心一如半徑則月之半徑如正切所成之角如從地心見之也 地平視差者乃自地心至月心一如半徑則地球半徑如正切所成之角如從月心見之也 凡測見月之外環而欲求其中心可用月半脛表至於地之各緯度望月求其視差必以月在地平時最大之視差為比例蓋以地為匾球則隨處可以測月即高出地平之處其差亦能算故於地面測月可改為不異地心見月耳 海上測月常用赤道地平之視差表以算高出地平之視差不必以地為匾球惟欲細推月掩及日食之數則必以地為匾球 高出地平之視差有太陰高弧視差表合地平視差與蒙氣差為一表更簡見航海簡法 設於是年二月十九日常午前六點鐘時在該處東十五度之地求月半徑及地平視差數此書從午正起午前六點尚為二月十八日十八點鐘偏東十五度應減一點鐘為該處之十七點鐘是過子正五點鐘矣欲知五點較數當視十二點之較數為比例查十八日子正月半徑表為十六分二十九秒三十九日午正為十六分二十七秒三是十二點中之較為二秒以十二點比二秒若五點與十分秒之八乃於十八日子正之數內減之餘十六分二十八秒半即為所求月半徑數次查地平視差表二月十八日子正為六十分二十四秒六十九日午正為六十分十七秒二十二點鐘之較為七秒四以十二點比七秒四若五點與三秒一亦於十八日子正之數內減之餘六十分二十一秒半即為所求地平視差數 海上尋常測月可用此法如欲細窮其數法尚未密因秒數之減率不一也惟於所指之時前後各揀出兩半徑較之則其差亦不滿十分秒之二也法如左即所謂較中之較也 此半徑數名地平半徑外尚有每高度之加數因太陽去地甚近其高度愈多半徑愈大也 月半徑　　　　　　　　較　　　　　　　　　較中之較 二月十八日午正十六分三十秒四 子正十六分二十九秒三　　　　一秒一 十九日午正十六分二十七秒三　　　　二秒零　　　　　　　十分秒之九 子正十六分二十四秒五　　　　二秒八　　　　　　　十分秒之八 加秒０一三四六七八九０　　　　　　加秒一二三四五五六 一　　　　　　　　一一一一一一一 高弧０五０五０五０五０　　　　　　高度五０五００００ 度　一一二二三三四　　　　　　　　四五五六七八九 以兩項較中之較相加共一秒七折半得百分秒之八十五為中較再以八約之得百分秒之十一則所較不過差百分秒之十一也 照此細推視差其差為十分秒之四 每月第四夏月行黃道經度緯度之數其正交分點處乃自地心推算所載表數無益航海之人黃道經度乃專為章動而設蓋月之動也遲速不一欲於子午兩正外測月之黃道經緯二度則須較其秒數甚有較之三四次始得其准者月年者乃日月合朔一周之日數也如中歷每月日數月過子午圈者乃太陰中心每日過該處上子午之平時表數僅記十分分之一不更求其細依表測月可定行船經度並以推測潮信至欲求月出月入時候亦用此表而參以半弧表表中有○此記號者乃明此日太陰不過該處子午圈也蓋月行之數較多於日太陰行一過太陽尚未及一周太陽在月行一周之中故每月有一日不過子午圈者 如正月三十日月行多於日行五十二分三即兩次月過午時之較查其上次過午時乃在正月二十九日二十三點十五分六下次過午則在正月三十一日零點七分九是知中間之一日月尚未及一周也若日月相距在半周時每月有一日不過下子午 三百九十頁至四百二十八頁記月相近之星表內亦記月在何時常僅過該處午線一次如三百九十三頁記正月三十一日月僅過下子午一次三百九十四頁記二月十五日月僅過上子午一次之類 無論何處欲求月過子午圈之平時設其地在該處之東者則以昨今過午時相較如在該處之西者則以今明過午時相較乃以二十四點比兩次過午時較若所偏經度化時與所求之較在東者應減在西者應加蓋在東者太陰必先過午也 設於是年正月二十六日午前在該處之東六十度求月過子午圈之平時按二十六日在午前者為此書之二十五日查月過該處午為十九點三十六分三與前一日過午時之較為五十二分九以二十四點比五十二分九若四點即偏東六十度所變之時與八分八於十九點三十六分三內減之偏東故減得十九點二十七分半即所求設於是日再求偏西六十度月過午之平時則將十九點三十六分三與後一日過午時之較為五十四分三以二十四點比五十四分三若四點偏西度變時與九分一乃加於十九點三十六分三得十九點四十五分四即所求 以上算法似嫌未密然尋常用之差亦無幾不必過求其細也 每月第五頁至十二頁所記每日每點太陰所行赤道緯度並緯度每十分之較數其緯數時數地平經度月出月入等項可由諸頁檢算至表列之數乃從地心推出 設於是年正月十二日午後八點四十五分在該處東六十度之地求月之赤道經度 法以偏東六十度變為四點以減與八點四十五分為該處之正月十二日四點四十五分查是日四點表數為三點二十七分二十八秒八五五點表數為三點二十九分二十九秒八零兩數相減餘二分零秒九五以六十分比二分零秒九五若四十五分與一分三十秒七一加於四點表數得三點二十八分五十九秒五六即所求 求緯度亦同此法惟有時較中之較亦不甚小故有每十分緯度之較 如前所設時求赤道緯度查是日四點緯表每十分之較為八十六秒六九五點緯表每十分之較為八十六秒一四是四點二十二分半之中即四十五分折中之處其每十分之較應為八十六秒四八即將兩較中之較用六十歸之二十二分半乘之以減於四點下十分之較即得所求理與日一點較同以十分比八十六秒四八若四十五分與六分二十九秒二查表知緯度漸加以加於四點表數緯北十三度五十三分二秒三得緯北十三度五十九分三十一秒五為所求月之赤道緯度太陰形載每月第十二頁所記朔望兩弦時僅至十分分之一月之黃道經度與日無距度為朔距日九十度為上弦一百八十度為望二百七十度為下弦所列俱為該處之平時 月過其本天最高最卑二點為離地最遠最近所由分其所列表數亦為該處之平時 每月第十三頁至十九頁為月中心與日心及行星恆星之斜距度乃從地心推算逐日照該處平午正時起每越三列一數凡既測見月距星之斜距度則當依表加其視差而減其蒙氣差蓋推算之表數乃月與星之實相距度測得者為月與星之視相距度在月要推月之視差用太陰高弧視差表止能改月之視高為實高其斜距弧上實距與視距之較須再用三角形算蓋高弧視差即如高下差再推東西南北差也可以憑月心與何星之實相距度依下法推其為該處之何平時諸星自西徂東表以距月最西起列至最東為序西則在月之西東則在月之東 諸星距月度數每三點有較即列其比例對數用以較定度數而得該處平時法詳後 任於何日何時測得月與星斜距度按前法改為實距度乃查此表是日月與其星相距度與所測略近者取其前一數相距度與所測度相較余求比例對數見航海表內減前一數之傍所列之比例對數余檢比例對數表所對之時分秒加於前一數之時即得該處之平時比例對數表至三小時其數為[0]故省一三小時乘之也按此一比例不用對數算之亦易以表中前後兩距度化秒比歷時三點鐘若所出距度減前一數距度之較不足減反減之與所求之歷時恆加於前一數之時是也 加月星相距度數與前後比例對數之較其加減同率則照前法自無謬誤若其加減異率者欲求該處之時另應查一準數法詳下 一　如前法求　二　查表內某度前相近一數或後相近一數得兩項比例對數相減而得其較　三　於第四百九十八頁准數表內傍行查時即先依前法比出其零時分乃以所得零時檢此表而以比例對數之較於表上橫行查對檢其與零時分縱橫相遇之秒數即為所求之准數也　四　視比例對數漸減則加此准數若漸加則減此准數加減於先得之零時分可得該處之平時設於是年正月初十日測得月實距飛馬甲西名星四十四度十九分五十秒求該處平時查初十日該星表所測相距度在三點六點之間則三點為相近前一數算如下 三點月與星相距四十三度四十五分二十九秒其比例對數三千九百十九 今測月星相距四十四度十九分五十秒 兩距度之較為三十四分二十一秒　　　　　比例對數七千一百九十四 比例對數表所對之時為一點二十四分四十一秒　　　　　　減餘三千二百七十五 查三點與六點之表知前後比例對數之較為四十九再查第四百九十八頁准數表內一點二十分與所算之時為最近而以四十九即用四十八亦可行下查其縱橫相遇之准數為十五秒因其比例對數由漸而減故加於算出之時上為三點以後之零時故求得該處平時為正月初十日四點二十四分五十六秒也如不算準數即差經度三分四十五秒准數之表僅列至一百三十八凡遇比例對數之較有大於此者可折半以檢表查得准數後倍之理亦同設於是年五月二十一日測得月距飛馬甲星除去視差蒙氣差外實距為三十度零八分零二秒求該處平時 查二十一日該星表數所測相距度在十八點與二十一點之間則十八點為相近前一數算如下 十八點月相距為三十度三十六分三十一秒　　　　比例對數五千一百五十 今測距度為三十度零八分零二秒 兩距度之較為二十八分二十九秒　　　　　　　　比例對數八千零零七 檢表之時為一點三十三分十四秒 查十八點與二十一點之表其比例對數之較為二百五十二此數大於一百三十八故半之為一百二十六再查四百九十八頁准數表傍行內與所算零時分相近者為一點三十分次查上面比例對數之較第一百二十六之行與傍行時分縱橫相遇之准數為三十九秒倍之因較數以折半檢表故得數倍之為七十八秒因比例對數由漸而加故於所算之時分內減之即為十八點以後之零時分故求得該處平時為五月二十一日十九點鐘三十一分五十六秒也若不算準數即差經度十九分半然差多至此亦罕有也星之比例較數愈小則測之愈易緣月之向星或離星所行加速所測倍准且當比例對數漸減必其本數加大故對數漸減知月行漸遠而測之較便矣如是年正月二十日午正至三點鐘時土星最易測查是日之比例對數僅二千二百七十數較少於他星故土星表自二十起至二十六日止均易測算也又如是年七月十六日九點至十二點內以比例對數言之其易測者序如下 第一土星　　　　第二畢宿大星　　　　第三木星　　　　第四婁三　　　　第五火星 第六太陽　　　　第七金星　　　　　　第八河鼓二 以上諸星測不易准如欲驗其准否須測數星而比較之視其比例對數之小者庶可無差按各條用法皆測得星月相距以推該處之平時其用比例對數之較求准數一表乃巧而捷因月行斜距線遲疾漸改不可以平行馭故再求准數加減之所以齊其不齊也 每月第十九頁乃算家愛里氏所定恆星准數乃用下頁甲乙等號對數及該處十二年星部算出西國算家以此法精於白水而氏故恆用之以其不用加減之號法省且便也列如表 下頁亦兼列白水而氏法各有其妙設於是年二月初五日在該處平子正時求某恆星距赤道經度及距北極度並歲差光行差章動准數等數分點過午之平時者乃春分起度之點每日過該處午線時之恆星時即恆星時當午正中時分點距午之時數故是表謂之恆星子午正中時凡已知恆星時而欲求太陽平時可用第五百零六七頁之等時表算之每月第二十頁乃白水而氏恆星准數表是表明恆星真處及其中處有方程式或用乘數不依恆星之處為眾星公共之數蓋惟憑日月黃道經度並月之交點也表內對數為公共對數算家用之隨算一星可合方向照三百二十九頁之表已經於該處平子正時算合惟丙丁二號內除二式 是表與英會星曆合算可得彼歷所記恆星之處凡星曆內未及之星應先算其與他星相合對數而後用甲乙丙丁號內之數或即照第三百三十頁及三百三十一頁列之表推算亦可因是表不論何星皆合也其數系從三百二十九頁方程式算出列譬於左申明二表之法用星曆者其勿忘恆星赤道經度准數之號耳 設於是年二月初五日平子正時在該處求其星赤道經緯二度歲差光行差及章動之准數此星即英會星曆第一千六百八十七號之星 天ㄙ為經度准數　　黃ㄙ為緯度准數 舊曆日數表　是表乃英星士黑失而氏添入謂有此表可省天算家查數之煩分日平時者謂自春分後所過平時也以平午正時為則而記其日之分數是年正月初一日至三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一為一千八百六十九年之春分後自二十一日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一以後乃為本年春分年之始時因春分年為三百六十五平日又百萬分平日之二十四萬二千二百十六是年三月二十二日平午正相合春分時為三百六十五日又百萬分日之二萬七千四百六十五可知是年三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一乃春分年新舊之交也日分者乃春分年日之共分如是年正月十九日平午正時為三百零三日又百萬分日之二萬七千四百六十五以此例推直至三月二十二日春分年終乃改共分為百萬分日之二十一萬四千七百五十一是年三月二十三日平午正時為百萬分日之七十八萬五千二百四十九此共分數應加於每日春分時至明年而止 凡日到平春分時設在某處午在線此處午線之平太陽時適與春分時相合周而復始至明歲春分年終日已過某處午三百六十五次又二四二二一六則春分起點又應在他處午上矣是知春分之末每年必移二四二二一六即向西五點四十八分四十七秒四六是年與明年之間春分東過經度百萬分日之七十八萬五千二百四十九即該處西五點九分十四秒四八也 一千八百二十八年行海通書始附列此表蓋天下各處儀象台之子午遠近不一概以春分時則隨處皆可得一同數之日而與日行遲速亦無異同故歷家觀象論時不必更詳何處之時如是年正月初五日彗星過最卑之點在英國平時為五點四十七分在潑立司法都平時為五點五十六分二十秒六而以春分時核之則俱為一千八百六十九年二百八十九日六點二十六分三十二秒九八蓋以兩地測之則有遠近不同之數而春分年乃天下共公之時也 凡已得太陽平時而求相合之春分時如於該處相合之平時內加此日該處平午正之春分時其總數即所求時如前彗星之譬潑立司在該處之東九分二十秒六於五點五十六分二十秒六內減去九分二十秒六為五點四十七分與該處平時相合以加該處正月初五日春分平午正時二百八十九日又百萬分日之二萬七千四百六十五約其分數即三十九分三十二秒九八故當日彗星過最卑點時為二百八十九日六點二十六分三十二秒九八即一千八百六十九年春分後之日時也 一千八百二十八年行海通書附用迪白而氏平黃道經度以定春分時所定之時每年長短一例俱系三百六十五平太陽日又二四二二六四以後推算太陽縱使加精此數亦無可更改嗣於一千八百三十四年至一千八百五十六年其行海通書則改用白水而氏平黃道經度以定春分時其時則每年長短不一英星士黑失而氏謂一千八百二十七八年至一千八百三十三四年間應將白迪二家之表不同之數較正自一千八百五十六年以後春分年應永定為三百六十五平太陽日二四二二一六若一千八百三十四至一千八百五十六年之春分年長短其差甚微可以不計蓋其差之最大者亦不過萬分日之二也 一千八百二十八年起至一千八百三十三四年止較正白迪二家表數如下 論年之日數　表列統年日數自正月一日平午正起故正月一日為零而以初二平午正為滿一日 論年之分數　此分數乃以萬分為一年而用三百六十五日又千分日之二百四十二分之逐日登記其數計日加二十七分半以便天算家也 第二百四十二頁列黃道與赤道相交之角每十日記其數記至明年正月六日止故於十二月則多六日為三十七日此角度數常改因有中減率並地軸施動也凡知星距此一面或黃道或赤道若干數即可依表算得彼面之數如從黃道經緯度數可得赤道經緯度或從赤道經緯度算可得黃道經緯度是也設值表上未列之日而欲求是日之交角數則以前後所記二數求每日比例較分即中比例但其較甚微故平常測量止取表內相近之數用之 日之地平視差乃日心至地心為一直地之橫半徑上再出一斜射日心成一最大角形如從日心見之也是表亦十日一記地心距日心愈遠此角愈小視差之用乃人在地面測日可改到地心推算也 光行差光常流行地又常依軌道行故所見日廣非其真處真處較在見處之前是以有差所差之數表內亦十日一記凡已知日見之黃道經度而求其真處依表加此光行差即得如從地心推算一星之處而求日之真黃道經度亦加此光行差設是年四月十一日平午正時所列日見黃道經度為二十一度二十三分十一秒二加光行差二十秒四得二十一度二十三分三十一秒六即真黃道經度 歲差　春分點在赤道上所退之數即恆星東移之數十日一記用以正平春分之經度如是年四月十一日真春分之日見黃道經度為二十一度二十三分十二秒二光行差為此號為減二十秒四春分差為十六秒八反用⊥此別為加法加此二數得二十一度二十三分四十八秒四為四月十一日平春分日之真黃道經度相合之歲差十三秒八為二十一度二十三分三十四秒六為四月十一日之日真黃道經度但此數系以是年正月一日平春分算起者 春分差凡日月星所列黃赤諸表俱系平春分算定但平春分算定真春分點不符故有春分差所差之數十日一記於平春分之黃道經度內減此差數即得真春分之黃道經度 若所指一星黃道經度據真春分言則將此差數反用之即得平春分之黃道經度設是年四月十一日真春分所合太陽黃道經度為二十一度二十三分十一秒二相合之春分差為丁十六秒八反用⊥法得二十一度二十三分二十八秒即為此日平春分之太陽黃道經度 赤道經度之春分差亦照此法推算即得與黃道相交然其度分須燮點算變時表恆星等時亦同此 月正交點之平黃道經度０六十日一記以平春分算如值表內未列之零日可用表末在表之下每日計三分一八每日退行數算之如欲約算月將平掩何星亦須此表也 第二百四十三頁至二百五十頁日之縱橫線每日列該處平午正時日心與地心之縱橫用□天□地□人號記之○天為每日過真春分○地為赤道面向夏至之○人為赤道面交股向北之　算家以彗星難推故別列此表變真春分○天○地○人縱橫而用是年正月一日之平春分縱橫 第二百五十一頁至三百頁乃諸大行星之表以水金火木土及天王海王分列七表其赤道經緯度皆依該處每日平午正時從地心推算列表謂星之中心如從地心見之惟天王海王二星每隔四日列表　又各行星之黃道經緯度皆從日心推算謂星之中心如從日心望見之以平春分記之其地心之赤道經緯度有光行差故所記為其見處凡求緯度時羅[盤](盛)偏東偏西即可測望金火木土四星而得之蓋能見太陽時亦能見此諸星也　內金木二星尤易測量 行星過該處午之平時亦可藉此以推過他處午之平時然亦有一日內不過該處午者因行星日較長於平太陽日也行星如月亦有不過午之日表以○(＊)為記查是年四月十二日水星不過該處午是日水星日之始早於太陽日二分九在十二日午正之前而其終則遲於太陽日十分分之八在十三日午正以後故太陽一周日間此星不及過午也若如中法子正起算水星無日不過子午者 亦有一日過午二次者則以行星日較短於太陽日也蓋行星日之始在太陽日之後而其終則在太陽日之前故太陽一周日間行星必過午兩次矣表亦記之但與月有異因太陰日恆長於太陽日行星有退行時短於太陽日者如是年六月初四日水星過該處午在午正後一分再於是日之二十三點五十四分九即初五午前也復道午也 求行星過別處午之平時　查前後兩日過午之較為行星二十四點中之加速率或減速率既得此率再以距英國經度而比其較此較數謂之正數或加或減於行星過英國午時之上但布算者宜詳細審察如測處在英國之東則所有加速率乃行星過測處午早於英國若所有減速率乃行星過測處午遲於英國在英國之西者反是 設於是年二月初四日午後六點鐘測處平時在英國偏西三十度之處求水星赤道經緯度並水星過測處午遲之平時法偏西三十度應加六點鐘為英國之二月初四日八點鐘以算赤道經度查二月初四日水星赤道經度為二十點五十五分三十五秒九五二月初五日為二十點五十分五十三秒八一兩數之較為四分四十二秒一四以二十四點比四分四十二秒一四若八點與一分三十四秒零五查表經度漸減以減於初四日經度余為二十點五十四分零一秒九零即為所求水星赤道經度也然其每點之減率不同須再算較中之較法見日減之得二十點五十四分零秒五八為所求赤道經度 再求赤道緯度　查二月初四日為南十三度三十三分二秒九二月初五日為南十三度五十一分二十五秒九兩數之較為十八分二十三秒以二十四點比十八分二十三秒若八點與六分七秒七加於初四日之緯度得緯南十三度三十九秒十秒六即所求赤道緯度再推較中之較應減七秒九法見日 求水星過測度午之平時　查二月初四水星過英國午為二十三點四十九分二二月初五為二十三點四十分九其較為八分三以二十四點比八分三若二點偏西三十度所化之時與十分分之七測處在英國之西且又減速率應減於初四之過午時為二月初四日二十三點四十八分五即得測處水星過午之平時尋常測算不必求精用此法則無大差第三百零一二頁乃水金木火土天王六行星之赤道地平視差及半徑越五日一記下載水土二星乘數為算極半徑之用木土二星極半徑等於赤道半徑乘千分之九百二十七 第三百零三至三百二十四頁記五星及天王海王過該處午時之赤道經緯度及每點較數每間日一記用以較算過別處午之赤道經緯度應推其相距英國之數用每點較數求之如所設經度在其東則取本日表數與前二日之表數核其較如所設經度在其西則與後二日之表數核其較以兩項每點較數相減得其較中之較以兩日共四十八點歸之乃以兩處相距之經度變時折半取其中數乘之視下一數每點較數比本日較數大小以別加減乃加減於本日每點較數為所求時每點較數之准數復以兩處相距度變時乘之即得里差應移之赤經度理與日每點較數法同乃視下一日赤經度之進退以別加減加減於本日經度得測處之赤經度求緯度法仿此 設是年三月初二日在英國東六十度之地求過午之赤道經緯度　查三百零四頁內是日水星過英國午時其赤道經度為二十一點十三分四十二秒二五每點經度之較為⊥此代數記號西表作一譯改作⊥十一秒五七用上法推得四點相距六十度變時時之每點較數為十一秒五四與減西作十譯改作四點相乘得四十六秒一六以減於是日英國過午之赤道經度此逆推而上之法理亦同得二十一點十二分五十六秒零九為水星過測處午時之赤道經度也　再查是日水星緯度表為南表以南為數十六度四十七分三十七秒三每點較數為⊥二十八秒五如上法推得准數為⊥二十八秒二與四點相乘得一分五十二秒八以加是日緯南度得緯南十六度四十九分三十秒一即水星過測處午時之赤道緯度也再設在三月初一日算其經度准數應為⊥十一秒一八緯度准數應為⊥二十四秒七也 凡測度行星之環而欲推算其至中心之數可用半徑過午之恆星時表若推算其緯數則用半徑表地平視差表用以便觀象者改到地心推算也 第三百二十五至三百八十九頁記一百四十七恆星之赤道平經緯度以是年正月一日午正後千分日之四十八為起算之端並記其歲差　其赤緯南北各有記號惟以北緯為⊥凡緯北可依號加減南緯為在緯南者須反用其號 設於是年五月三十一日求畢宿大星之平赤道經度查經度歲差為⊥三秒又萬分秒之四千三百五十三再查五月第二十頁末行萬分年之分數表內其三十一日相合分數為四千一百零七依原表加萬分之二十六得萬分之四千一百三十三此數與三秒四三五三相乘得一秒四二此即正月一日又千分日之四十八以後至五月三十一日歲差之分例比數也既有⊥號應加於正月一日又千分日之四十八時候所記赤道平經度四點二十八分二十七秒七八二上共得四點二十八分二十九秒二零二是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平經度又查赤道緯度歲差為上七秒六二二如前法與萬分年之四千一百三十二相乘得三秒一五既為北緯度則依號加於正月一日又千分日之四十八時候所記之赤道平緯度北十六度十四分四十四秒一四內共得北十六度十四分四十七秒二九是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平緯度 又如是年六月初三日求帝星之赤道平經緯度查經度歲差為萬分秒之二千四百八十九再查六月第二十頁是日年之分數為萬分之四千一百八十九依原奏加萬分之二十六得萬分之四千二百十五此數與歲差相乘得千分秒之一百零五依號減於正月一日又千分日之四十八時候平赤道經度十四點五十一分六秒八五七減余為十四點五十一分六秒七五二是為六月初三日所求帝星之平赤道經度 又查赤道緯度歲差為十四秒七五七與年之分數四千二百十五相乘得六秒二二依號減於正月一日又千分日之四十八時候平赤道緯度北七十四度四十一分十一秒二四減余為北七十四度四十一分五秒０二是為六月初三日所求帝星之平赤道緯度 又如是年五月三十一日求心宿中心平赤道緯度查其歲差為減八秒三八七與是日年之分數為萬分之四千一百三十三見前相乘得三秒四七因為緯南度故歲差之號應反用遂加於所記正月一日又千分日之四十八時候該星緯南二十六度八分二十七秒六二共得緯南二十六度八分三十一秒０九是為五月三十一日所求心宿中星之平赤道緯度 每月第二十頁所載白水而氏之推方表已設譬於三百二十九頁此三百三十頁及三百三十一頁所用英會星部恆數定星表亦於五百二十九頁內詳其法勾陳第一星及第三星並逐日列表其餘一百四十五恆星皆越十日列一數所列之數皆以是日恆星過該處午時之經緯度表之上面所列赤道經度之點分數與緯度之度分數因一歲之中恆星赤道經度出入之數隻爭在秒故其大數總計於上端止以秒數小余記其下故其秒數即有過於六十外者亦不便收分仍以秒計如三百四十六頁是年十二月十七日屏星第二所見之赤道經度為四點五十九分六十秒四二其實則為五點０秒四二也　又如三百四十八頁是年十二月十七日廁星第一所見赤道緯度為南十七度五十四分六十二秒七其實則為南十七度五十五分二秒七也其不可移換大數者限於幅耳 每十日並列其經緯較數便求零日用中比例也 恆星亦有一日過該處午兩次倘遇其日亦即記其經緯度兩次如三百五十四頁七月三十日記柳宿第五星過午兩次者凡遇恆星過午兩次之日若非表列之日即於經度上下十日之中間別列小字指出十日內之何日此星過該處午兩次則太陽日十日內其星既過午十一次則其所記之較數亦應作十一分比例如三百四十八頁參宿第二星表內六月初十日與二十日之間傍注小字為十三以明六月十三日此星過午兩次也查表傍較數為０秒一二作十一日分之每日應為千分秒之十一其十三日之第一次過午為十日內第三次應用三因千分秒之十一而得其較十三日之第二次過午為十日內第四次應用四因千秒之十一而得其較其十四日之過午為十日內第五次也雖差數止微其理固如是也 如欲細算五極星所見位數須尋一準數此准數當以代數∥０求之 是表記星所見之位不算準數者緣星之００變率每日約二十六度所變甚大故不記也惟三百八十八九兩頁於月之黃道經度則每度記之表末申明其法正每日光行差之方程式記在序內 第三百九十頁至四百二十八頁乃近月之星謂其赤道經緯度距月不遠凡欲算地上東西二午之較即較所測見之星與月相距赤道經度而得之蓋月如不動則星與月赤道經度之較無論何處午皆可一例相同惟月常行動則過二處(之千)之午已自改其赤道經度所改度數加於二處之午較數內即知西邊午應移若干度而月始至故知月赤道經度之較亦可算東西二午之較月明環之赤經度與月中心之赤經度在過該處之上下午時表列其數均有其天下字作記號甲乙二字記月之左右二環 星之等數表即記星之大小表之左行記其日數及十分日之幾 每隔一點即十五度月改赤道經度表即月過該處午時之每點較數也　如月自英東七度半至英西七度半兩處之較為一點此一點所移之數即從月之明環赤經度推測故其半徑亦常改也 凡東西二午之較不大謂在一二度之間可用近月之星算之若較數甚大謂相距十度以上而欲詳算其經度應以東什西二午之中間午為準求得月所移赤道經度之數而推得之　如欲約算月之明環過他處子午之赤經度用此測之　法以英國午與赤處午經度之較與月所移經度相乘得數視測處午距英國之東西以別和減在東者減在西者加乃加減於表內赤經度即為測處子午上月明環經度 設於是年六月十八日月過英國上午時其乙明環赤經度為二十二點四十七分四十七秒二四其每點較數為一百二十四秒五　而求乙環過潑立司法都上午之赤經度　查潑立司偏東九分二十秒六化為千分點之一百五十六與每點較數相乘得十九秒四二以減偏東故減表內赤經度餘二十二點四十七分二十七秒八二是為乙明環過潑立司午之赤經度 凡他處距英國不甚遠者其月之赤緯度亦可如法約算惟地偏於東及緯度在南者皆為負數即以前譬明之　是日月過英國上午為南十二度三分四十一秒八每點較數為除⊥六百二十三秒一此數與千分點之一百五十六相乘得一分三十七秒三此負數與緯南度相加月之緯南漸減因偏東故反減得緯南十二度五分十九秒一是為月過潑立司午時之赤緯度 星名表側有米號者指此星不論在赤道南北俱可與月同時測算並以定月之視差也 月半徑過午所歷之恆星時　此數因月距赤緯之南北而改變時時不等凡測見月之外環相切於午之時而加此數即改為中心過午之時 第四百二十九頁至四百四十三頁記日月交食在何地何時可以望見並記其算出之諸根數 第四百四十四頁至四百五十四頁記星之交食其數有五　其一記一等至六等之恆星於該處平子正時為月所掩在該處能測見者　其二記恆星或行星自一等至五等不論何處見其為月所掩者　其三記星與月應於該處何平時同一赤經度　其四記月與星合一經度時其緯度有何較數　其五記在何緯度外月不掩星 凡算月掩何星可用諸表表內所記星月之數皆從地心推算故地上不等何處皆可通用惟算須距其英國若干經度變時以加減之在東者加在西者減即得月星相合時之測度平時 設於是年八月初四日月抵氐宿第三星在英國平時為十六點二十九分五十七秒而在潑立司平時為十六點三十九分十七秒六因潑立司在英國東九分二十秒六故也 緯限者謂自地上某度起至某度止得見月掩何星外此不見其掩是為緯度之限也 設有人自星望地而月界其中則地面幾分為月所掩而月自西至東移過時地面成一帶形闊與月徑相等若反言之則人在地面於帶形中望月則星為月掩在帶之上下兩限但見月與星相切而不相掩是為緯度限在其上者為上限在其下者為下限 緯限表以明星在何度應為月掩外此不必布算也 如英國在赤道北五十一度二十八分三十八秒即北極高出地平度設於是年八月內查四百五十一頁表自十六日起查末行緯限表至十七日掩α星只指一希臘字星名α希臘字在赤道北二十六度之處起至九十度之間皆可見惟被掩之時在三點十一分四十四秒是在午後日光所逼仍不能見惟是日之十二點四分二十一秒月又掩０星在赤道北十四度至九十度之間八月十九日十四點一分十七秒月掩畢宿第五在赤道南四度之處起至赤道北六十八度之間又是日十四點三十五分三十八秒月又掩是星在赤道北六度之處起至八十五度查四百五十六頁表知已上三星之所掩其二在英國能見其一不能見也 第四百五十五六頁之表乃恆星與行星在該處地平上為月所掩記其不見至再見之恆星時及平時並記星於月環內始隱於某度復見於某度若以翻影鏡測之凡穿過月之北極與中心成一大圈與月環成一交點方近月環之星距交點若干度當從角之北點數之穿過月之天頂與其中心成一大圈亦與月環成一交點方過月環之星距交點若干度則從角之頂點數之用此角並可測量小星且當星之隱而復見時亦須先知此角不然難定鏡之方向表內月掩幾星時有在該處不得見者然離該處不遠即能見也 第四百五十七頁至四百七十六頁是表所記木星之月或食或掩或月過或影過等數皆準該處之平時並圖形以明其隱顯之處如自翻影鏡視之圖內之形雖舉望日之數然木星離地甚遠目力不及故其體與影一月內更變甚微除與日對峙時形狀有異外余則通月皆然試以兩月圖形較之便可曉然當木星距該處地平上八度日在地平下八度時其月之食有此米為號明該處可以測望至木星在地平上日在地平下時有此十為記則亦能望見也 ○甲者指月木星月被星影所掩方隱之際也□乙者指月離星影再顯之時也此乃月距木星略遠則然若日星對峙時則月之食也近星之體日星對峙以前月之隱見在木星之西日星對峙以後月之隱見在木星之東用翻影鏡視之則東西相反日星對峙以前僅見第一月之隱對峙以後方見其顯至第二月被星影所掩時其隱見鮮能並見第三第四月或可並見雲 凡在別處求木星某月隱見之時即以測處經度在英國之東西推算在東加經度之較變時在西減經度之較即為所求時然亦須查木星之地平上下與日在地平上下如日在地平上光耀難見算之者應以半弧表自東至西日出入半弧也助以半天球始可定日星距地平之方向 測得木星月之食可定地上經度第一月最易測惟須詳悉測量之的確時刻此時與英國時之較即為經度之較化度測處之時早與英國為在其西遲於英國為在其東 設於是年七月二十四日在潑立司法都測得木星第一月之隱見時為十四點三分二十四秒九乃查第四百六十六頁表內英國平時為十三點五十四分四秒三其較為九分二十秒六即兩處相距之經度因所測之時遲於英國故知其在東也 凡測星月之掩木星與其月除表有差數外尚有別樣難處不能詳定地之經度且遠鏡測量各不同若欲詳算經度須用相類之鏡並算其地面蒙氣視差若不必詳算則以測見木星為某月所掩約計地上經度如某月之隱見俱能測得則更妙矣 表內約計月食月過之過所以便天算家預備測量推驗此表之差否因測此二事須用最妙之鏡而海上尤不易測也 入出二字記月初遇木星環面為入初離木星環面為出 第四百七十七頁至四百八十七頁　木星兩月毘連表內用數記之以代尋常之０號而不記其黃道緯度在上者記於上在下者記於下表右為東表左為西如見木星之月自西向東移動時則知木星在月與地之間而月行於後半軌道故有食有掩若見月自東向西移動時則知月在木星與地之間而月行於前半軌道故有月過與影過 設於是年正月二十七日在英國八點鐘時平時用翻影鏡測望木星月如圖其第一第二兩月實在木星之左從翻影鏡相之則在右第三第四兩月寔在右而反左　表首西東二字乃月實在木星之東西方向也木星常在該處天頂之南圖左之月應見於木星之西圖右之月應見於木星之東月之倒影故遂反其方向也乃自木星中心起一直遠近相等而左右互易以此驗圖可得月之真向 表內時分皆指該處平時觀表與圖可以辨木星之諸月而亦以別他星之近木星者 第四百八十八頁至四百九十頁　行星與月或與他行星合一赤經度及行星與恆星或合經度或合緯度皆每月一格記其日時行星當此時候最易測望又以便天算家考驗表之然否 第四百九十一頁　土星光環之位表中越二十日一記以明其能見與否０為光環之短軸距何赤緯度甲∣乙∣甲∥乙∥為光環所見大小之數醜醜∣之比以定能見與否蓋太陽與地同在一邊高過環面時其環自能測見若不能見之時則其故有三　一則環面平過日心則丑∣與０等 二則環面平過地心即丑與０等皆不能見　三則日在環之面而地又在一面亦不能見因環上無經光之面向地耳第四百九十二三頁記月之明環約於何平時側動最大並記火星金星之環在何月中光顯幾分至月之緯度側動之數則不論何時皆可照四百九十三頁計之 第四百九十四頁至四百九十七頁　系該處潮汐與中國無涉故不譯 第四百九十八頁之准數表　凡測見距星之度數業將蒙氣視差等推准可求秒數相較即比例對數之較於表內查一準數以加減之即可得該處相合之時其算之法見後五百二十五六頁內 第四百九十九頁至五百頁　表內之數算月之側動 第五百０一頁至五百０三頁　為測勾陳大星若不在午線時可用此表能算地上緯度法如左 先將儀差及蒙氣推准減於星之高點再照五百０四頁改測望之太陽平時為恆星時於此表內查得相合之第一準數為⊥按號加減於測見之高度得所求緯度之約數復以所算恆星時查第二第三表得相合之第二准數加此二准數於上約數內即得真緯度 航海通書改率說 是集從英國行海通書譯出考西人之航海來游寔以此書為鄉導蓋海舶既駛遠洋茫無畔岸可紀羅盤祗可辨方向不能測其現行何地惟藉天度可認地球之經緯數理精蘊天上一度相當地面二百里至三十六萬尺以天度之一秒當地面一百尺此論南北緯度則然若東西偏度不正當赤道下每度皆不滿大圈之里數須依弧三角法算之晝則量日夜測月星輔以算術道里之距了如指掌是以無遠弗屆故吾中國航海亦以翻譯此書為首務特延西士層解條分闡明理數撮要刪繁譯成是集以引誘來學凡吾同志咸宜家置一集朝夕講求引伸類長製備儀象隨時測量並可驗其算法之疏密然否實為推步家特開門徑學者必由是而學焉則庶乎其不差矣 改率 考行海通書原依英都觀象台之中線立算諸星行度表悉照該處平午正時解見時差從地心起數其天周以春分起步與中國不同今譯改時遵　京都順天府為中線諸星皆從子正起天周以冬至起步中西同用平時共宗地心立算三百六十度為一周天中法又分為十二宮以冬至丑宮初度起逆行十二支每宮三十度每度六十分每分六十秒又一日二十四時此書從西例以一點鐘為一時便布算也故凡言一時皆一小時也每時六十分忡法又以十五分為一刻一時為四刻因多增位數不便布算姑從西例不命刻每分六十秒秒下小余則隨秒不以六十遞析 據西士實測得東西經線相距一百十六度二十七分變時見變時表為七點四十五分四十八秒蓋英國午正已為順天七點四十五分四十八秒也故用原書之本日午正星度再加四點十四分十二秒之星行度即滿半日十二時之數倘星之經緯有退行者則減即得明日順天之子正度也 中比例算法 星者算法也用星必先明算一二三四之四率比例為西算之大宗其法以已知推未知故以原有之數為一率二率今有之數為三率恆以二率與三率相乘數為實以一率為法歸除之得所求之四率數也 時差 推算所得曰平時通書表數俱按平時算定如鐘錶之走平分時也中國又名實時日晷所測曰真時中國又名用時蓋時刻並宗赤道原系平分黃道與赤道斜交在赤道則度有闊狹日行黃道又有冬盈夏縮之異緣此兩端故生時差即平時真時與之較也兩數相減曰較其數列如表加減於平時即得真時也 鐘錶宜開平時說 西書雲一晝夜地球自轉一周則宗北極一歲中地球繞日一周則宗黃極兩極相距二十三度二十七分西率尚有二十餘秒零數且每年有行分如歲差然蓋日晷測時皆依繞日之軌而出故與赤道自轉之率有異細數之且逐日不同用度時表候之表之極准者行船用以較偏度故又名行船表二十四時中即一晝夜甚有差至半分者故設時差加減也 然則鐘錶但能走平分與赤道同率如太陽之盈縮黃赤道之升度差不與焉故必開准平時按號加減時差以求合於日晷測量之要事也 如先測得日晷午正求鐘錶平時則將時差號反用加者減之減者加之以加減十二點即得平時 逐日測北極高度不拘何時 法候日晷將交午正之前後凡日晷至午可不問地之經緯何度節氣早晚器之密咸可一概施之惟羅盤(正)指南鉞與日影有偏向且隨地不同中國恆偏於日影之東故測太陽高度宜過晷數分候之用紀限儀屢測太陽高度取其最高之度為本日午正太陽高度內減蒙氣差加地半徑差則改視高為寔高隨查通書內本日太陽赤道緯度表數俱子正起求午正用中比例南加北減於太陽實高度得赤道距地平度亦即北極距天頂度再與一象限九十度相減得測處北極出地度　若測恆星高度赤緯加減與太陽同法惟恆星無地半徑差但減蒙氣差即寔高度 又法任於何日算勾陳大星過上子午之時分測視其高度內減蒙氣差改為實高度又減距極度約一度二十一分半余即北極高度或算其過下子午線之時分測其視高度內減蒙氣差加距極度亦即北極高度 測候用時表說 凡度時表必按京師之平時開准蓋諸曜黃赤經緯表數俱依京師平時起算故任至何地視表內之時分與通書上星行經緯度隨時合時表寔為省算之快捷方式設無時表船至某處尚未知其地經緯何度用何比例求星之所在必任設多處逆探推求豈不費算故西人航海測天儀器而外度時表與通書二者相須為用缺一不可也 算星過午線時即中星時 置本日星之赤道經度內減本日太陽平行赤道經度即恆星時若不足減加二十四時減之此為設星在午正太陽平行距午正後之時分視其數不滿十二時則加十二時過十二時則減十二時比例要從子正起算故加減十二時為本日星過午之泛時如恰在子正即為平時有距時分因日星俱有行分故曰泛時如法再求明日星過午線之泛時以一日化一千四百四十分為一率兩日之泛時較化秒為二率本日泛時化分為三率求四率即泛時內應行之泛時較秒數視兩日之泛時順逆以別加減如明日之數多則加於本日數明日之數少則減於本日數加減於本日泛時即京師星過午之平時如算太陰過午線每時俱有細行只須用一時之數為比例不用兩子正比例 有某地緯度用日晷測偏度 法以日晷按其地極高度測得時分若非午正晷須極准方應視京師平時表內系何時分加減本日本時之時差改為京師日晷時與所測日晷時相減以時較化度法見變時表即得其地距京師之偏度也所測時早於京師為偏東遲於京師為偏西 測太陰過午線偏度 任至何地測得太陰過午視京師平時表內系何時分隨檢通書本日太陰過午系何時分與所測時分相減余為兩地所測處與京師過午時分較乃檢通書之明日過午時分內減本日過午時分余化分加一日化一千四百四十分為一率一日化一千四百四十分為二率兩地過午時分較為三率求四率為偏度時分檢變時表得偏東西度早於京師為偏東遲於京師為偏西 蓋測太陰視差多端惟其過正午時但有南北視差可於經度多關是以便於測算諸曜每日過午之時分較數惟太陰為最大用以比例求偏度易准若恆星每日過午時分較祗三分五十六秒五六太陽平行度即恆星時也故測得兩地午時分較每點鐘減十秒即偏度時分西人航海常測月過午差為算偏度之快捷方式也 赤道經緯度說 按西書七政經緯度並宗赤道立算求其故皆因諸曜隨天西轉西謂地球自西徂東亦同惟赤極不動故其經緯隨地隨時測算較易若黃極每日既繞赤極一周則其經緯晷刻異視不惟測候甚難即憑以知地之經緯布算亦不易故西書雲黃道經緯度無益航海之人考其數亦從赤道經緯度用斜弧算出又其五星之黃道經緯度皆從日心立算恆以星出入黃道之南北交終為一周天如水星只八十八日一周金星二百二十餘日一周之類並無退留之行用於仰觀不合故是集止取其赤道經緯度列表若求黃道經緯度　欽天監既有七政時憲書頒行故省推算 表算日食法 求入限 所求年干支察首朔食應表表見後得年前十二月朔食應以後每朔但於月數上遞加一月小余仍之滿食周十一月七三七六五者去之此即月距交平行十三周天月數余為所求朔食應視某月朔入食限 二月三六五二三六以外 三月一三００八五二八以內 八月六０七五六四七以外 九月三七二四一三九以內 附求望食限 所求年干支察首望食應表得年前十二月望食應以後每望遞加一月小余仍之滿食中五月八六八八二五者去之即得逐月望食應視某月望入食限 二月五五六一一七八以外 三月三一二七０七一八以內 右平朔望可食之限摘徐鈞卿先生法不過舉其大凡欲定食之有無須用日月離求實朔望太陰距交度始為的食限也 求實朔泛時 以平朔距冬至之日數用推日月離法法見考成後編各求其子正黃道實行將本日子正太陽實行與太陰實行相較如太陰寔行未及太陽則平朔日即為寔朔本日如太陰寔行已過太陽則平朔日即為實朔次日平朔前一日為實朔本日又用推日月離法各求其子正黃道實行將本日子正太陽實行內減太陰實行余為月距日度分化秒求對數法見數理精蘊加日法一千四百四十分對數內減一日之月距日實行對數次日日實行內減本日日實行余為一日之日實行又次日月實行內減本日月實行余為一日之月實行內減一日之日實行余為一日之月距日求對數即是得距本日子正分數之對數檢表得真數以時收之得實朔泛時如次日月實行仍未及日則次日為實朔日乃以次日日實行內減月寔行余為月距日化秒求對數加一千四百四十分對數內減前所得一日之月距日實行對數對距次日子正後分數之對數 求泛時月距正交 次日月距正交內減本日月距正交不及減加十二宮減之餘為一日之月距正交化秒求對數加泛時距子正分數之對數內減一千四百四十分對數得距本日子正之月距正交化秒對數檢表得真數以度分收之加本日子正月距正交得泛時月距正交 求的食限 視月距正交初自宮初度至初宮十八度二十六分自五宮十一度三十四分至六宮六度二十二分自十一宮二十三度三十八分至十一宮三十度皆入食限為有食不入此限內者不食即不必算 視泛時若在夜距日出前日入後五刻以內者見可食五刻以外者全在夜不可見即不必算如泛時在日出入前後者先須加減時差審晝夜 求實朔實時 實朔泛時上下設前後兩時如泛時為丑正二刻則設丑正初刻為前時寅初初刻為後時用推日月離法各求其黃道實行以前後兩時日實行相減為一小時日實行以前後兩時月離黃道實行相減為一小時月實行兩實行相減為一小時月距日乃以前時日實行內減月實行余為前時月距日化秒求對數加一小時化三千六百秒對數內減一小時月距日化秒對數得距前後秒數之對數檢表得真數以分收之加於前數得實朔實時用推日月離法再以實朔實時各求其黃道實行則日月必同宮同度分秒不異方准乃視本時月距正交入前限者為有食 求均數時差 實朔日引宮度察日均數差表即得記加減號 求升度時差 實朔日黃道宮度察升度時差表表見後即得記加減號 求實朔用時 實朔實時加減二時差得實朔用時 求日實行 前後兩時日黃道實行相減為一小時日實行 求月實行 前後兩時月離白道實行相減為一小時月實行 求實行總較 日實行與月實行相加為實行總相減為實行較 求半外角 置半周一百八十度內減黃白大距餘數半之即半外角 求半較角 實行較對數凡弧度求對數化皆秒入算求三差法仿此如求入對數必要弧度入算加半外角正切對數內減實行總對數余為半較角正切對數 求斜距交角差 半外角減半較角余為斜距交角差 求斜距黃道交角黃白二經交角 實朔黃白大距加斜距交角差即斜距黃道交角亦即黃白二經交角實朔月距正交初宮十一宮白經在黃道經西五六宮白經在黃經東記東西號 求兩經斜距 日實行數對加實朔黃白大距正弦對數內減斜距交角差正弦對數余為兩經斜距對數 求斜距對數較 一小時三千六百秒對數內減兩經斜距對數余為斜距對數較各限距弧求距時加對數較距時求距弧減對數較故用對數較 求食甚實緯 斜距黃道交角餘弦對數加實朔太陰黃緯化秒下同對數內減半徑對數即前位所進之一餘為食甚實緯對數檢表得真數為秒秒下必帶小餘一位求三差法仿此記南北號與實朔月緯南北同 求食甚斜距弦　食甚距時 斜距黃道交角正弦對數加實朔太陰黃緯對數內減半徑對數余為食甚距弧對數再加斜距對數較即食甚距時對數檢表得真數為秒以分收之月距正交初宮六宮為減五宮十一宮為加記加減號 求食甚用時 實朔用時加減食甚距時得食甚用時即京師食甚用時 求太陽實引 實朔太陽自變量加減太陽均數得太陽實引 求太陰實引 實朔太陰自變量加減太陰初均數得太陰實引 求地平高下差 太陰實引宮度及本天心距地見月離察交食太陰地半徑差表表見考成後編得太陰在地平時最大地半徑差內減太陽地平地半徑差十秒余為地平高下差 求太陽實半徑 太陽實引宮度察交食太陽視半徑表得視半徑內減太陽光分十五秒即實半徑 求太陰視半徑 太陽實引宮度及本天心距地察交食太陰視半徑表得太陰視半徑 求並徑 太陰實半徑加太陰視半徑得並徑 求距時日實行 日實行對數加食甚距時對數內減三千六百秒對數余為距時日實行對數加減號與食甚距時同 求食甚太陽黃道經度 實朔太陽黃道實行加減距時日實行得食甚太陽黃道經度 求食甚太陽赤道經度 食甚太陽黃道經度察黃赤升度差表得黃赤升度差加減黃道經度即食太陽赤道經度 求食甚太陽赤道緯度 食甚太陽黃道經度察黃赤距度表得食甚太陽赤道緯度記南北號 求食甚太陽黃赤道宿度 用上元甲子列宿黃赤經緯度表列宿黃道經度加歲差每年五十二秒算至所求年察食甚太陽黃道經度足減本年黃道宿鈐內某宿度分則減之餘為食甚太陽黃道宿度　又將赤道宿度按赤經加減歲差算至所求年察食甚太陽赤道經度足減本年赤道宿鈐內某宿度分則減之餘為食甚太陽赤道宿度 求太陽距北極 置九十度南加北減太陽赤道緯度得太陽距北極 求黃赤二經交角即黃道赤經交角之餘 食甚太陽黃道經度察黃赤二經交角表得黃赤二經交角冬夏至後黃經在赤經西東記東西號 求赤白二經交角 黃赤二經交角與黃白二經交角即斜距黃道交角東西同號相加東西仍之異號相減東西從數大者得赤白二經交角記東西號此之謂東西乃白經在赤經之東西也若兩角相等而減盡無餘則白經與赤經合無交角如無黃赤二經交角則黃白二經交[角](加)即為赤白二經交角東西並同 求北極距天頂 置九十度減本地北極出地度得本地北極距天頂 求半和弧　半較弧 日距北極與北極距天頂相加半之為半和弧相減半之為半較弧 求正弦對數較 半和弧正弦對數減半較弧正弦對數得正弦數較其號為減因與半角餘切相減也 求餘弦對數較 半較弧餘弦對數減半和弧餘弦對數得餘弦對數較其號為加因與半角餘切相加也此兩數九限皆可同用較之舊法用垂弧者簡捷數倍 求本地食甚用時 置京師食甚用時加減本地偏東西度時分偏東偏西度見考成下編得本地食甚用時 求用時太陽距午赤道度即可借為前設時 以食甚用時午前午後時分如用時在午正前則置十二小時減用時余為午前時分如用時在午正後減十二小時余為距午正後時分變赤道度如用時距午正一小時變為十五度一分變為十五分一秒變為十五秒得用時太陽距午赤道度或用變時表按時取度表見馮林一先生中星表後半之為半距午赤道度 求設時半較角 半距午赤道度餘切對數內減正弦對數較得半較角正切對數 求設時半和角 半距午赤道度餘切對數加餘弦對數較得半和角正切對數 求設時赤經高弧交角 半和角減半較角若北極出地二十三度二十七分以內太陽夏至前後在天頂北者則兩角相加得設時赤經高弧交角午前為東午後為西記東西號 求設時白經高弧交角 設時赤經高弧交[角](高)與赤白二經交角見前東西同號相加東西仍之異號相減東西從數大者得設時白經高弧交角記東西號此之謂東西乃太陽在白平象限之東西也若兩角相等而減盡無餘則太陽正當白平象限無交角設時即真時但有高下一差者相加過於九十度與半周相減用其餘則白平象限在天頂北 求設時太陽距天頂　設時高下差 北極距天頂正弦對數加設時太陽距午赤道度正弦對數內減設時赤經高弧交角正弦對數得設時太陽距天頂正弦對數加地平高下差對數內減半徑對數得設時高下差對數 求設時東西差 設時白經高弧交角餘弦對數加設時高下差對數內減半徑對數得設時東西差對數 求設時南北差 設時白經高弧交角正弦對數加設時高下差對數內減半徑對數得設時南北差對數如白經高弧交角為九十度則無南北差寔緯即視緯但有高下一差 求設時視緯 食甚實緯南加北減南北差得設時視緯若不足減則置南北差反減寔緯變北為南白平象限在天頂北者反是記南北號 求設時距分 設時與食甚用時相減得設時距分如以食甚用時為前設時則無距分 求設時實距弧 設時距分對數內減斜距數對較得設時寔距弧對數在用時前後為緯西東記東西號 求設時視距弧 設時實距弧加減設時東西差得設時視距弧 月在限東西設時在用時前則減加後則加減 月在限東西東西差大於寔距弧為緯東西小為緯西東記東西號如以食甚用時為前設時則無寔距弧其東西差即視距弧限東亦為緯東限西亦為緯西 求設時視距視緯差角 設時視距弧對數加半徑對數內減設時視緯對數得設時視距視緯差角正切對數 求設時兩心視相距 設時視距弧對數加半徑對數內減設時視距視緯差角正弦對數得設時兩心視相距對數 以上各條自太陽距午赤道度起至兩心視相距止共十四件凡食甚用時近時真時及初虧復圓用時近時真時皆名同而數異故不重列諸求其寔皆設時也故統以設時冠之其求三限真時並用前後兩設時求之 求食甚前後兩設時視相距和較 前設時兩心視相距與後設時兩心視相距相加為視距和相減為視距較 求對視行角 前設時視距視緯差角加減後設時視距視緯差角東西同則減異則加得對視行角半之得對視行半角 求半和角 對視行半角餘切對數加視距較對數內減視距和對數得半和角餘切對數 求視行旁小角 半和角內減對視行半角得視行旁小角 求兩設時視行 對視行角正弦對數加小視相距對數內減視行旁小角正弦對數得兩設時視行對數 求視行差 視距和對數加視距較對數內減兩設時視行對數得視行差對數 求食甚真時視行 兩設時視行加視行差半之得食甚真時視行 求食甚真時距分 兩設時較對數加真時視行對數內減兩設時視行對數得食甚真時距分對數 求食甚真時兩心視相距 視行旁小角正弦對數加大視相距對數內減半徑對數得食甚真時兩心視相距對數 復以食甚真時為設時求其兩心視相距以考其合否合則食甚真時即為定真時否則再求視行以求考定真時並如前法 求食甚定真時 設時距分小大於真時距分限西為加減限東為減加置食甚設時加減真時距分得食甚定真時 求食分 並徑內減定真時兩心視相距余求對數加六百秒對數內減太陽全徑太陽實半徑倍之即全徑對數得食分對數 求初虧復圓前設時 食甚定真時兩心視相距與並徑相加為距徑和相減為距較徑較 距徑和對數加距徑較對數半之加定真時距分對數內減定真時視行對數得初虧復圓前設時距分對數 求初虧復圓後設時 前設時兩心視相距與並徑相減為距徑較食甚兩心視相距與前設時兩心視相距相減為視距較 距徑較對數加前設時距分對數內減視距較對數得後設時距分對數 求初虧復圓真時 兩設時相減為設時較兩設時視相距相減為視距較後設時兩心視相距與並徑相減為距徑較設時較對數加距徑較對數內減視距較對數得真時距後設時對數 求初虧定交角 初虧真時視距視緯差角即並徑白經交角加減白經高弧交角得定交角初虧在限東西者緯南北則加與半周相減緯北南則減南北以初虧視緯論若白平象限在天頂北則緯南如緯北緯北如緯南如無初虧白經高弧交角則視距視緯差角即定交角如兩角相等減盡無餘或相加適足一百八十度則交角為初度 求復圓定交角 復圓真時視距視緯差角即並徑白經交角加減白經高弧交角得定交角復圓在限東西者緯北南則加與半周相減緯南北則減解同初虧 求初虧方位 初虧在限東西者定交角初度為正上下四十五度以內為上下偏右四十五度以外為右偏上下九十度為正右過九十度為右偏下上白經高弧交角大反減交定角者變右為左白平象限在天頂北左右相反 求復圓方位 復圓在限東西者定交角初度為正下上四十五度以內為上下偏左四十五度以外為左偏下上九十度為正左過九十度為左偏上下白經高弧交角大反減交定角者變左為右白平象限在天頂北左右相反 求食限總時 復圓定真時減初虧定真時得食限總時 對數尺以量代算或作　量法代算 西洋對數能變乘除為加減其算必資於表造之實難而用之甚便為今習算者所不可少近已用活字翻行弁以用法數則俾得開卷瞭然蕆事後復深思其理既可兩數相併以代乘相減以代除必能施諸量法因變通其術作直尺一千根記數於尺之上面爰按假數之積各識真數於尺內以代表施之閭閻貿易尋常日用之算乘除可以量馭法甚淺易雖婦人孺子略識數目字亦可朝得暮能豈非於常算之外更出一奇乎凡習此尺須制薄銅尺一根或牙或篾青皆可將一邊削薄口如刀以便密切尺內之數必取光滑則所記墨識算訖隨可揩去依書中兩根尺度為長以官尺三四分為闊居中刻定一線平分為兩根凡遇乘法有兩零相併過一根者即將一根併入根數內用其下餘數量之理亦同或遇除法有實之零內不足減法之零者即可少記一根移於尺之上半將實之零數接於下即可減矣 凡初習此尺須用算盤記根數便於加減待用之既熟根數加減自能肚算無須算盤矣又此尺只能以加減代乘除之用如有幾數迭加或遞減此尺不能馭仍須用算盤凡定所求位數之大小用對數表之首位法辨之如單位之首為０十之首為一百之首為二千之首為三萬之首為四十萬之首為五之類如百與十乘則二加一為三其所得應為千數如乘法遇有兩根相併過一千根者即可減去一千根用餘數量之得數亦同惟其位數照常必升一位矣又除法遇有實之根數少於法之根數則不足減可加一千根於實內減之仍用減餘數量之得數亦同惟其位數照常必降一位矣若所求位數之大小可以會意不者便不須尋首位矣 凡有法實兩數欲相乘者先任以一數於尺內真數中尋對看尺之上面記其根數另用銅尺上端齊尺之上面細界量至真數所在之處即其根數下之零數用墨線記於銅尺上再查又一數之上面根數併入所記根數上復以銅尺上墨線所記之處齊尺之上面細界量至又一數真數所在之處亦其根數下之零數再以墨線記其下則兩零數亦接成一直線矣爰視兩次所並之根數於尺之上面根數中尋對再以銅尺上端齊尺之上面細界線量其下所記墨線處 相遇之真數即得兩數乘出之數也如遇兩根數相併過一千根及兩零相接過一根者俱依前法量之凡有法實兩數欲歸除者先以實數於尺內真數中尋對看尺之上面記其根數另用銅尺上端齊尺之上面細界量至寔之真數所在之處即其根數下之零數用墨記於銅尺上再以法數於尺內真數中對尋看尺之上面記其根數亦以銅尺上端齊尺之上面細界線量至法之真數所在之處亦其根數下之零數用墨線記於銅尺上面先將寔之根數內減去法之根數視其減余之根數於尺之上面查對復以銅尺上實之零數內亦減去法之零數用其減余之較數齊尺之上面細界量其下所記墨處相遇之真數即得兩數除出之數也如遇實之根數少於法之根數及實之零少於法之零者俱依前法量之 凡算四率比例依常法第二率與第三率相乘數為寔以第一率為法歸除之即得所求之第四率數故用量法亦以二率與三率之根數與零數如乘法相併即為寔再如歸除法減去第一率之根數及零數視其餘數依前法量之即得所求之四率數其理與用對數表同 凡開平方先以方積於尺內真數中尋對看尺之上面根數若為偶數即可折半若為奇數則少記一根移於紙上再以紙齊尺之上面細界量至方積真數所在之處即其根數下之零數以墨記於紙上隨視折半之根數於赤之上面尋對再將紙上零數對摺齊尺之上面細界量其下墨處相遇之真數即得方邊然須審方積之位數必加首位於根數上折半復去首位而量之始方邊之數不淆因方積兩位定方邊一位故也如方積止有單位則首位為０即將根數折半是也若方積在一百以內為二位數則其首位為一必加一千根於根數上折半方合若方積在一千以內為三位數則其首位為二必加二千根於根數上折半方合遞求而上皆然 凡開立方積之根數亦必加首位惟根數與零數各取其三分之一如前法量其相遇之真數即得立方邊多乘方依數遞推如三乘方取四分之一四乘方取五分之一之類 中西曆學源流異同論 竊謂兩間中有萬古不易之理無百世不變之法萬事皆然於歷為最故治歷者惟當順天以求合不當為合以驗天堯命義和曆象日月星辰舜在璇璣玉衡以齊七政是皆隨時考測以合天也從未聞立一千古不易之法以能合永遠之天象雖子輿氏所云苟求其故千歲之日至可坐而知然亦仍屬求合之言古今來治歷者七十餘家疏密代更詳推各異而要其理不外乎唐虞時所定之型模歷也象也璇璣玉衡也即算數圖象及測驗之器也此乃治歷之大經雖萬世莫之易顧其曆書三代而上誠有原原本本則師傳曹習之書而畢喪於祖龍之焰惟堯典僅載以三百有六旬有六日為歲實杜預謂舉全數而言則有六日其實為五日有四分日之一日論謂漢晉諸家皆以日行一度三百六十五日有四分日之一而一周天自北齊張子信始覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與四序為升降厥法加詳至元郭守敬乃分盈縮初末四限定歲寔為三百六十五日又萬分日之二千四百二十五較前代為密至前明西法漸入中土歷數之學始稱美備自漢時西人多祿畝以迄明第谷則立為本天高卑本輪均論諸說用三角推算其術尤精乃定歲實為三百六十五日又千萬分日之二百四十二萬一千八百七十五較之郭守敬又減萬分之三有奇　國朝西人刻白爾噶西呢等更相推考又以本天為橢圓均分其面積為平行度又月離古歷皆謂月每日行十三度又十九分度之七東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差率元郭守敬定為轉分進退時各不同猶今之有初均也迨今西法益明始知太陰共有十種行度皆因日行盈縮及本天高卑兩弦朔望而生均與舊法迥殊惟因古時歷年既淺所差甚微非一時所能灼見迨歲月遷流積微成著然後共見而差法立焉此非前人之智不若後人也蓋前人不能預見後來之差而後人則能考前代之度分也故世愈以降歷愈以明其勢則然此曆法所以古疏而今密者良有由也考泰西曆學起於羅馬國羅馬曆自奴馬至該撒儒略一年為十二月乃祭司與大吏任改意定後該撒儒略征請亞力山大天算家鎖西日呢定曆始創三百六十五日及三百六十六日二假歲寔之法以三百六十六日為閏日之年每四年一閏與郭守敬第谷等所定之歲寔略近乃於耶穌降生前四十五年正月初一日為始改用新曆 按史記當在漢宣元之間是時曆法尚亂故史稱其年為亂年嗣後儒略之令未行而死死後祭司不明歷以本年為第一閏年至第四年又為閏年如是每三年中一閏歷三十六年中當閏九日而誤閏十二日該撒亞古士督覺其誤下令十二年不置閏日乃合儒略之大意後不復改至小余積久自生差遂為格勒固里改之當漢儒子嬰初始元年新莽建國四年及天鳳三年等俱為閏日之年曆家咸依此上推迄唐時始有九執曆元季始有回回曆統回部各國猶太等歷言之也歐羅巴人又從回曆加精近世噶西呢等踵起闡微發奧推測尤詳當時西法並宗之然而術分疏密今古殊途理至精微中西一轍我　國家推恩中外一視同仁遂聘西人襄理曆法此　曆象考成等書所由來也然於歷算諸學皆殫極精微惟中國向以閏月定四時成歲其故因地球歷三百六十五日五小時三刻三分四十五秒而繞日一周月約二十九日十二小時二刻十四分二秒而追繞地球一周地繞日一周而月繞地十二次有十日有奇故三年一閏五年再閏十有九年而七閏始合其期惟二十四節氣古時皆平分歲實故謂恆氣今以日行盈縮而定其損益謂之定氣而節氣一周與歲實仍同焉西國以太陽恆星十二宮分歲實為十二分彼既不以月圓為例故無正月二月等名目俗稱外國正月二月者乃華人稱之則然爾在西國曆家固無所謂月也然其十二月之日數亦各不同以黃道上有高卑差而日躔即因之有加減也如磨碣宮日躔最卑行速故二十八日而行一宮若巨蟹宮日最高行遲故三十一日而行一宮總以三百六十五日為一年較諸歲實尚欠五小時有奇故每四年閏一日又因四倍五小時有奇尚不足一日之數故又歷一百二十八年而少閏一日法應閏三十二日者則閏三十一日始合其期夫閏日乃以太陽行度紀年閏月則以太陰行度作歲雖月分閏法各有不同而歲序紀綱則無少差異此謂之不約而合者也中國以正月朔為歲首梅勿庵謂西國以日躔斗四度為正月朔或雲西國以地球當最卑為過年之期二者所差尚微因最卑東行每歲約六十二秒恆星東行每歲約五十一秒僅差十一秒須積至三百二十七年有奇始差一度推今歲冬至最卑點距冬至點後十度五十八分四十一秒自注此論系光緒丙戌年作冬至後二十日內日行最速每日約一度有零故冬至越十日而為西國過年之期即中國十二月初八日也西人恆以過年前八日為耶穌誕辰即太陽躔第十三宮第二十五日故耶穌誕辰在中國冬至後三日也 雖然中西兩歷不同而實同然而同之中又有不同焉耶穌誕辰後冬至三日者在近今六十年中則然爾推原厥故並非關乎理法之疏密而由於立法之各異天象之變遷惟西國總以地球當最卑為過年之期最卑又每歲東行約六十二秒約歷六十年而差一度故六百年之間而最卑距冬至已差至十度矣若以日躔斗四度為過年之期大略相同如今年最卑後距冬至十度零越六百年而當變為距二十度零則西國過年之期亦將在中國冬至後二十日而耶穌誕辰即因之變為後十三日矣大凡六十年中亦有一二日參差今歲交冬至節在十一月二十七日卯初故為後三日設於二十六日亥時交冬至則變為後四日矣惟查康熙戊辰年瞻禮單耶穌誕辰則在冬至後四日似以日躔斗四度為過年之期也考最卑與冬至同度當在宋理宗時自宋以上又差而前故上溯漢哀帝庚申年最卑以前距冬至約二十二度十六分所以耶穌降生之辰當在哀帝庚申年十月即冬至前二十七或二十八日為小雪後二三日也一千九百年之間已差至三十一日此所謂同之中更有不同者也愚准最卑東行之理推之自今以往約歷一萬零一百四十年之久則地球繞日之軌道最卑最高將易位置是最卑點當夏至點而西國過年之日在中華夏至之期即耶穌誕辰在中國夏至前七日矣當是時北半地球夏生酷暑冬有嚴寒愈近北極而其苦愈甚蓋最卑最高所受日光之比若十六與十五比地土皆環繞北冰海披離下垂故南半球多水北半球多陸水可回光故難受亦難散陸能傳熱故易受而易散夏至北極朝日日光直射北半球惟地球適當最高則相宜乃彼時適當最卑其積熱應得百度者增而為一百零七度冬至南極朝日日光斜照北半球若地球當最卑則尚宜乃彼時適當最高其餘熱應有二十度者減而為十八度雖略能以行度之盈縮而迭相消長然曷若今日消長之自然也或曰寒暑表上升降數度在人似不大覺何苦之有曰伏暑增兩三度不能隆冬減兩三度不能不見夫赤日當空火傘方張之候竟有多掛一絲而不能者此何故歟又不見雲愁水結燈寒榻冷之間直有欲把刀剪而難堪者此又何故歟夏至時且將增七度之熱而人有不喚苦者乎自此更歷萬餘年而仍復今日此又天運之循環而中西歲月之大不同者至於最卑最高之根源及最卑之運行弗替則其故甚微一時不可思議雖歐洲楚精天文家亦莫明其妙惟大約其故必在恆星焉 更定測北極出地簡法 西人顏家樂測北極出地簡法見赤水遺珍疇人傳亦載之其法先於其處測一恆星自出地平至正午所歷之時及其高度以時變赤道度以其大矢為一率正矢為二率高度正弦為三率得四率為正弦查表得度內減去星距天頂度余與九十度相加折半轉減九十度得北極出地度但此法必北極出地不滿半象限星過子午圈在天頂南赤道北而後可否則不合李氏士叔以其非通法也而改之見所著天算或問其法視星在赤道南北不同而大矢正矢異其乘除視星之高弧或深弧南北不同而兩弧異其加減法雖略備轉失之繁故顏氏法簡而不備李氏法備而不簡學者卒難領悟今變通兩家綴為公法諸題均可一以貫之並補圖演草於後推步之家庶有取焉光緒十二年丙戌夏六月丁澣識於滬濱格致堂 法曰於一處任測一恆星自出地平至子午圈所歷之時及在子午圈之高弧乃以時化度以其本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦為三率得四率為正弦檢表得度為星之深弧與高弧相加以減半周折半得北極出地度自地平圈南至星出地最高點為高弧自地平圈北至星入地最深點為深弧兩弧如有過象限者仍用本角度不用外角度 圖略 如圖午癸丙丁有依子午圈剖成平圓面乙丁為地平癸為北極癸乙為北極出地午為赤道交子午圈點甲為星甲丙為星道徑甲丁為高弧甲壬為其正弦乙丙為深弧庚丙為其正弦甲辛為星道度本角正矢辛丙為星道度外角正矢星一晝夜而一周故以時化度即星道度甲辛壬與辛庚丙兩句股形為同式故星道度本角正矢即甲辛弦與星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股與深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸與癸丙兩弧相等並為深弧加北極出地之度以甲丁高弧減乙己丁半周余甲乙弧為北極出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以減半周折半即北極出地度此加減而得北極出地之理也何以知星道度本角正矢為甲辛外角正矢為辛丙也如甲卯丙未為依星道剖成平圓面甲丙為星道徑丑甲為星出地平至子午圈所過之度甲心丑為本角其正矢為甲辛丑心丙為外角其正矢為辛丙也 於一處測得一恆星自出地平至子午圈歷二十六刻二分高弧六十三度求北極出地 草曰以星出地平至子午圈時刻化度得九十八度其本角正矢為一、一三九一七三外角正矢為０、八六０八二七乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦０、八九一００六五為三率求得四率０、六七二二０九八為深弧正弦檢表得四十二度十九分與高弧相加得一百零五度十九分以減半周得七十四度四十一分折半得三十七度二十分三十秒即北極出地度對數草曰九十八度本角正矢對數為一０、０五六五八九七一外角正矢對數為九、九三四九一五八三乃以本角正矢對數為一率外角正矢對數為二率高弧正弦對數九、九四九八八０八八為三率求得四率九、八二八二０七為深弧正弦對數檢表得四十二度十九分如前法加減得北極出地 於一處測得一恆星自出地平至子午圈歷十四刻十二分高弧七度求北極出地 草曰以星出地平至子午圈時刻化度得五十五度三十分其本角正矢為０、四三三五九三八外角正矢為一、五六六四０六二乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦０、一二一八六九三為三率求得四率０、四四０二六六五為深弧正弦檢表得一百五十三度五十三分與高弧相加得一百六十度五十三分以減半周得十九度七分折半得九度三十三分三十秒即北極出地度 對數草曰五十五度三十分本角正矢對數為九、六三七０八三０一外角正矢對數為一０、一九四九０四三九乃以本角正矢對數為一率外角正矢對數為二率高弧正弦對數九、０八五八九四四七為三率求得四率九、六四三七一五八五為深弧正弦對數檢表得一百五十三度五十三分如前法加減得北極出地 於一處測得一恆星自出地平至子午圈歷四十二刻二分高弧一百二十一度求北極出地 草曰以星出地平至子午圈時刻化度得一百五十八度其本角正矢為一、九二七一八三九外角正矢為００七二八一六一乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦０八五七一六七三為三率求得四率０、三二三八六九三為深弧正弦檢表得一度五十一分與高弧相加得一百二十二度五十一分以減半周得五十七度九分折半得二十八度三十四分三十秒即北極出地度 對數草曰一百五十八度本角正矢對數為一０、二八四九二三一五外角正矢對數為八、八六二二二七六七乃以本角正矢對數為一率外角正矢對數為二率高弧正弦對數九、九三三０六五五九為三率求得四率八、五一0三七0一一為深弧正弦對數檢表得一度五十一分如前法加減得北極出地 附真數對數求正矢法 真數求正矢以餘弦減半徑即得如弧之過象限者其餘弦為負故以加為減 對數求正矢無論過象限與否以半弧正弦對數倍之加二之對數０、三０一０二九九九減半徑對數一０、即得蓋首率半徑中率通弦即半弧倍正弦得末率為倍正矢故通弦自乘半之半徑除之為正矢而通弦自乘半之即半弧正弦自乘又二乘之也今對數倍之為自乘加為乘減為除故半弧正弦對數倍之加二之對數減半徑對數即正矢對數也 近代疇人著述記 疇人傳自羅茗香續後未有再續者近時算家著述序跋足繼前賢而開後學者頗不乏人顧或僻處偏隅遺書未顯或英年多故著作未成亦往往而有欲搜訪而續緝之誠未易言矣然而覃精數理者名山之絕業也多方搜錄者尚友之苦心也不揣檮昧勉效管窺意在網羅有傷繁冗謹分條詮次如左 儀征阮文達公元嘗以虞推小雅十月之交在幽王六年因用時憲術士推幽王六年十月朔正得入交督漕運時立糧艘盤糧尺算法頒行各省又嘗溯古今沿革之原究中西異同之致掇拾史書薈萃籍創為疇人傳自黃帝以降甄而錄之得二百八十人綜算氏之大成紀步天之正軌至今遊藝之士奉為南針 甘泉羅茗香士琳少時所著有比例匯通四卷摘九章中切於日用者匯為比例十二種意主法明西法後益專精於天元四元之術著觀我生室匯稿已刻者凡九種曰句股容三事拾遺本博繪亭之法取句股中舊有之容方邊容圓徑益以西法之容中垂交互相求一以天元御之曰三角和較算例取斜平三角中兩邊夾一角術鎔入立天元一法用和較推演成式曰四元玉鑒細草以朱松庭原書秘奧難讀殫精一紀步為全草補漏訂訛申明疑義曰演元九式括玉鑒中進退升降消長諸例借無數之數入以正負開方式曰台錐積演以玉鑒中有茭草形果積壘藏二門足補少廣之缺爰取台錐形引而申之曰周無專鼎銘考以四分周術為主佐以三統漢術推得宣王十六年九月既望甲戌與銘詞合曰續疇人傳以阮傳歷年已久有應續增入者因復增補得六卷曰弧矢算術補以李四香弧矢算術其術未備爰增二十七術合成四十術曰增廣新術推廣正升斜升橫升之算法以求太陰隨地隨時之明魄方向分秒復以其術通之以求交食限內之方向邊分及所經歷之邊分其未刻者有六種曰交食圖說舉隅遵現行之橢圓法於各求下綴以法解曰春秋朔閏考集黃帝以來六術及漢三統術以考春秋自隱迄哀凡二百五十五年總經傳七百九十九日名推演成書曰綴術輯補以祖沖之之綴術久佚爰搜括各書參以本法演得二卷曰句股截積和較算例以孔軒少廣正負術所載未備推而廣之得八十四術曰淮南天文訓存疑曰博能叢話 甘泉易蓉浦之瀚以羅茗香玉鑒細草格於體裁凡四元之條段羼糅開方之頭緒紛如悉未能指出義例因撮取開方以及天元四元諸算例為四元釋例一書附於羅草之後 山陽駱春池騰風著開方釋例四卷於諸乘方方廉和較大小加減之理皆質言之而推求各元進退定商諸術足補李四香開方說所未備又嘗取衰分方程句股等法以及九章所未載與夫古今算書之未能該洽者溯源正為藝游錄二卷 全椒江雲樵臨泰善用對數所著弧三角舉隅續傳誤為張作楠作簡明直指附刻於張丹村翠微山房叢書中 黟縣俞理初正燮博極書長於考訂兼擅天算之學所著溝洫東田諸解恆星七曜古憲四分諸論皆獨具神識未經人道德清許積卿宗彥經生而兼經推步之理著太陽行度解以辨王寅旭戴東原之誤其目曰解日本天解日行黃道解日經度解日緯度解求經緯度解高卑盈縮解用赤道度解日度無闊狹解日左右旋凡九篇 元和沈狎鷗欽裴嘗為李雲門校九章算術細草圖說均輸一章多所增訂又補海島算經細草晚得秦道古數書九章鈔本於張古愚家訂補脫歷有年所著有秦書刊誤以老病未卒業歿後其子弟宋勉之搜得殘稿數卷采其說入札記居京師時嘗手錄徐氏所步玉鑒細草數段因欲補撰全草遺稿四冊為長洲馬遠林釗所藏余師張嘯山先生曾見之其草與羅氏大同小異實不如羅之詳然四象朝元第三第五兩問羅草方廉隅諸數皆不符原術竟無說以處此沈氏所演獨與術合此則勝於羅草者也馬君謀刻之而未果後馬君殉難遺稿遂不可蹤矣江陰宋勉之景昌著數書九章札記以狎鷗所校明鈔本為主而參以李四香所校四庫館本搜眾說而折衷之足資後學考證又嘗較楊輝算法六種皆刻入宜稼堂叢書中其未刻者有開方之分還原術一種 無錫鄒敬甫安鬯精究琴理著琴律細草一卷篤好天元一術校讀算書每有所得輒題於眉上嘗以郁刻秦道古數書九章謬訛錯出演算不易故用力尤勤而辨正為多有沈李毛宋諸家所未及者竊擬編次其說為數書校議一冊庶幾鄉先哲之學術可以不沒雲 烏程陳靜傑著算法大成上編凡十卷門分類別意在引誘初學其中平弧三角數卷頗能洞見本原句股求三整數法尤為新得之理惟以天元正負諸乘方為算家故設難題不適於用未免為識者所噱下編十卷則由法而致用顧無刻本蓋未定之書也又有緝古算經細草一捲圖解三卷馬義一卷刊行於世又有彗星譜二冊其弟子有烏程張南坪福禧歸安丁書兆慶皆明算而未成著述算法大成中錄其兩邊夾一角徑求對邊術解頗為明晰 錢唐項梅侶名達其算學之書已刻者曰下學算書凡三種曰句股六術圖解變通舊術分術為六使題之相同者通為一術圖解明晰比例精簡曰平三角和較術曰弧三角和較術極數究理於無中比例中尋得比例婉轉妙合古所未有惜其圖解尚無成書未刻者曰象數一原項氏原書祇六卷而卷四僅六紙為未完之書歿後其友人戴鄂士校補之始成全帙凡七卷卷一曰整分起度弦矢率論卷二曰半分起度弦矢率論卷三卷四曰零分起度弦率矢論皆以兩等邊三角明其象遞加法定其數末乃申論其算法卷五曰諸術通詮取新立此弧弦矢求他弧弦矢二術半徑求弦矢二術及董氏杜氏諸術按術詮解之卷六曰諸術明變雜列所定弦矢求八術開諸乘方捷術算律管新術橢圓求周術皆從遞加數轉變而得者也卷七曰橢圓求周圖解則鄂士所補纂也其弟子錢唐王吉甫大有篤嗜算術涉中西兩家言嘗校刻割圖捷術合編不知有他著述否 烏程徐壯愍公有壬者務民義齋算學已刻者凡七種曰測圓密率本杜德美董方立輩屢乘屢除之法而廣為互求之術曰造表簡法以垛積招差之法求西人立表之根曰橢圓正術因新法盈縮遲疾皆以橢圓立算而取徑迂迴布算繁重爰撰是術法簡而密尤便對數曰截球解義直抉球與等徑等高之圓囷其外麵皮積亦等之理為幾何所未發曰弧角拾遺括舊法垂弧次形矢較諸目而統歸於和較施之對數尤便曰表算日食三差以西法步算多資於表獨日食未立步法故用新法補之曰朔食九服里差增廣疇人舊術為見食各州郡隨時測驗之准其未測者尚有堆垛測圓三卷圓率通考一卷四元算式一卷校正九執術一卷古今積年解源二卷強弱率通考一卷毀於兵燹不可得見矣 錢唐戴鄂士煦粵雅堂叢書中刻其所著求表捷術三種共九卷其一曰對數簡法續對數簡法始以開方表求諸對數繼因假設對數即訥白爾對數以求定準對數即十進對數續悟開無量數乘方法用連比例求諸對數而得數益捷此求對數表捷術也曰外切密率用連比例互相比例借杜德美求弦矢諸術變通之以求切割二割圓之法乃大備此求八表捷術也曰假數測圓創為負算對數可舍八而徑用弧背入算以求其八對數此求八對數表捷術也又有四元玉鑒細草與羅茗香所著略同而圖解明暢過之音分古義二卷以連比例立算與古律分合皆未刻 吳縣馮景亭桂芬著弧矢算術細草圖解一卷本李四香十三題而詳演天元加減乘除開方各式意淺語詳有裨初學刻入昭代叢書中咸豐之季西人新術初入中土通其法者尟而李壬叔所譯代微積拾級一書尤為難讀因取其書逐節疏解與上元陳子瑒同撰西算新法直解一書惟輕改其所記之號所代之字此正如戴東原之變易舊名轉足以疑誤後學也又有中星表按咸豐辛亥天正冬至星度立算 金山顧尚之觀光著書甚多全稿名曰武陵山人雜著其言算者有十一種曰算剩初續編凡二卷曰九數存古依九章為九卷而以堆垛大衍四元旁要重差夕桀割圓弧矢諸術附焉皆采自古書而分門隸之曰九數外錄則括西術為對數割圓八平三角弧三角各等面體圓錐三曲靜重學動重學流質重學天文重學作記十篇曰六歷通考據開元占經作紀黃帝顓頊夏殷周魯積年而為之考證曰九執歷曰回回曆解皆就其法而疏通證明之曰推步簡法曰新曆推步簡法曰五星簡法皆就疇人所用術改度為百分趨於簡易而省其紆曲曰算剩餘稿曰雜著則身歿之後余師張嘯山先生為之分別編次者也 杭州夏紫笙鸞翔遺書凡四種曰萬象一原曰致曲術圖解推究縱橫之條理研求微積分之奧竅曰洞方術探索夫遞加數尖堆底之原可以加減代乘除為求弦矢之快捷方式曰少廣縋鑿專立捷術以開各類乘方通為一術可徑求數十位方根無論益積翻積俱視為坦途矣 臨川紀慎齋大奎著筆算便覽其書以筆算為名而兼及籌算述宣城梅氏之義具見簡明同治庚午南昌梅氏重梓算經十書曾取其書附刻於後 廣州何報之夢瑤曾刪訂算法統宗及輯梅定九朱吟石兩家之書共為四卷繼復鈔撮數理精蘊得八卷合為一書凡得十二卷名曰算迪今伍氏刻本祗八卷蓋非其全稿也 南海鄒特夫伯奇遺書曰學計一得以算術解經義為治經者之助曰補小爾雅釋度量衡三篇博引傳注考證詳明曰格述補述夢溪之遺緒為算學之支流曰對數尺記因西人對數表而變通之以尺代表制簡用廣曰乘方捷術首立開方四術以明其理又立求對數較四率以探其賾末設對數開方計息諸草以著其術之切於日用曰存稿則雜文也嘗繪輿地全圖其經度無盈縮而緯度漸狹相視皆為半徑與餘弦之比橫九幅縱十幅合一之則成地球滂沱四隤之形以圜繪圜其形維肖又准咸豐甲寅歲前恆星經緯繪赤道南北恆星圖二幅其未定之書尚有測量備要二冊其弟子伊善卿德齡有求弦矢通街一卷刻入傳習錄中 嘉定時清夫曰醇熟於求一之術嘗以大衍一術求等約分頭緒不一撰求一術指一書晚年目已雙瞽猶能手按珠盤口授其子著百術衍二卷以張邱建百一題衍為大中小三色皆有分子之題以盡通分之妙每題分立兩法一馭以方程一馭以求一以示術理相通每問各列三答以求其概然疏略甚多若以代數求之則合問之答數尚不止此也興化劉融齋熙載著天元正負歌四則簡捷易明最便初學見昨非集 長沙丁果臣取忠為楚南絕學之倡嘗校刻白芙堂算學叢書其所撰述者曰數學拾遺多發明古今算家未盡之旨曰輿地經緯度里表據魏氏海國圖志以補張氏揣鑰小錄為之析旗部增海國推距里惟魏圖輾轉鉤摹所紀經緯不足為據而據以推算不無毫釐千里之謬即如今實測英國倫頓為中國京師中偏西一百十六度二十八分而此表乃雲一百二十七度十分差至一千二百餘里其它各國誤率類是曰粟布演草其書以發商生息為題輯各家術草匯以明開方之術而鄒特夫截算續商二法亦藉以附見焉曰對數詳解一本乎代數之法而闡明對數之理與用算式繁重演算不易則曾栗諴之力也 海李壬叔善闌嘗與西士偉烈亞力續譯幾何原本之後九卷以竟徐文定公未完之業又譯代數學十三卷代微積拾級十八卷重學二十捲曲說三卷談天十八卷刊行於世代數者猶中法之天元四元也惟天元四元之所重者在行列位次而代數則不論行列位次一切皆以記號明之故其理雖同而為用尤廣微分積分者凡面體皆設為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也一切曲及曲所函面曲面及曲面所函體八弧背互求真數對數互求昔之所謂無法而難求者今皆有法求之而甚易矣重學者其學分動靜兩支靜重學所推者力相定動重學所推者力相速速有平漸速加速之分而其理之大要有二曰分力併力曰重心則靜動兩學所共也又有流質重學其力有二曰互攝力曰互推力曲者圓錐三曲也一為橢圓二為雙曲三為拋物置圓錐形截之其截面錐底交角小於錐腰錐底交角者為橢圓大於錐腰錐底交角者為雙曲等於錐腰錐為底交角者為拋物談天者西士候失勒所著天文之書也其言日與恆星不動而地與五星俱繞日而行地與五星之繞日與月之繞地其軌道俱系橢圓而歷時等則所過面積亦等此真順天以求合而非為合以驗天也凡此數者皆西人至精之詣中土未有之奇以視明季所譯殆遠過之矣所自著者有則古昔齋算學凡十四種曰方圓闡幽曰弧矢啟秘曰對數探源皆以尖錐立算發古人未發之秘曰垛積比類則本玉鑒遺法而分條別派詳細言之於九章外別立一幟曰四元解指明算例改定算格詳演細草圖解術雖深讀此可豁然矣曰麟德術解以李氏盈朒遲速二法為授時術平定二差所託始因取史記所載校正而解明之曰橢圓正術解以徐所立正術俱極精深逐術為補圖詳解之曰橢圓新術則又變通正術而益趨於簡易曰橢圓拾遺拾西說之遺義以究曲以極致曰火器真訣以拋物之法通之於平圓曰尖錐變法釋考西術之異同別用法之正變可以抉對數之藩籬而無餘蘊矣曰級數回求為一切級數互求之準繩曰天算或問其雜紀其答問之詞單文剩義剖晰入微曰考數根法數根者惟一可度而他數不能度之數也立法凡四可補幾何之未備 新化鄒叔績漢勛與丁果臣同治算學尤研究天文推步之書著有顓頊憲考其弟季深漢池亦通算學丁氏之度里表多出其手 長沙李夫錫蕃著借根句股細草一卷括七十八題為二十五術大旨與李四香天元句股細草相仿而西法之借根即中法之天元也固可相附而行 湘陰左壬叟潛所著有割圜八綴術補草綴術釋明綴術釋戴等書一貫以天元寄分之法用以立式巧變莫測又有通分捷法一帙將分母分子析為極小數根而同者去之任以多項通分頃刻可得 湘鄉曾栗諴紀鴻文正公之次子也著圓率通考據西士尤拉之法見代數術二十五卷而立新術推得圓率百位為從古所未有其它算稿尚未成書卒以用心過度嘔血而卒 算學至今日可謂極矣中華之天元四元即西人代數之理但不及代數之變化代數又不及微積之盡變量十年前項戴所造之法甚近微分此後積世積人積智更於代微積外別樹一幟或有其人然不能必也余友崔君聘臣名朝慶者觀理澄澈於算學尤深入奧窔嘗與餘論算曰算學自項戴諸君子出觀止矣足征心得之語茲選輯二十餘人之作雖不能盡如項戴然亦多近項戴者余固實領其著述之精非同便為鈔錄讀是輯者即是文已足見一斑矣丁亥秋日湘鄉葛道殷心水氏識於江南機器製造總局翻譯館中 上會典館測繪輿圖書 一曰定天度以定州縣之部位地體渾圓其南北二點正當天空之南北兩極其中腰大圈亦與天空赤道相當如人在北極下則以北極為天頂人漸向南行見北極漸底至赤道則北極與地平合南極亦然是地之南北不同則北極出地之高低異焉耳東地之日出入早於西地之日出入地周三百六十度與天周相應每度六十分都為二萬一千六百分日曆天周為晝夜分二十四小時時六十分都為一千四百四十四分故時之一分等於度之十五分四分等於一度此地在彼地之東一度則此地之日出入早於彼地之日出入四分時是地之東西不同則日出入之遲早異也而測天度者必先定午線如京師之有中線英吉利之格林回次法蘭西之巴黎昔年西圖所用之福島皆是考工記曰匠人建國水地以縣置槷以縣以景為規識日出之景與日入之景晝參諸日中之景夜考之極星按此言匠人建國而於夏至日定其國之午線也水地言以水平地如西人之用水平縣垂線也言平地者必使地與垂線成直角槷表臬也植表臬使正如垂線而其景也日出之景與日入之景必等長慮所識景端或不確乃任以一景之長為半徑臬底為中心展規為平圓兩景端均交圓邊則為密合是為規識日出入之景也復中折兩景端間圓邊為點向臬底作直線即為午線之向鄭注云度兩交之間中屈之以指槷則南北正是也又日中之景為最短必與所作午線合故既畫午線復以日中之景參之極近北極之勾陳星即堯典之璇璣璇璣段藉機極也言勾陳為旋繞北極最近之星也其說詳見尚書大傳周髀算經等書星即堯典之玉衡星經之斗六星莊子之維斗爾雅之斗極晉以後天文志所名之黃道極者是也夜觀勾陳與玉衡為直垂線則赤極與黃極相當又與所畫午線方向合則午線準是夜考之極星也大司徒以土圭之法測土深正日景土深指南北日景指東西夏至晝漏中日南景短是地在南近日故土圭之景短也日北景長是地在北遠日故土圭之景長也此定南北緯度之理也日東景夕是地在東日過其國之午線時東地之景已夕日西景朝是地在西日過其國之午線時西地之景方朝此定東西經度之理也西人定其國之午線亦用匠人之法而參以指南針除電氣差安子午儀使極穩以窺日星之過午其隨處測經緯度則自日晷將午至日晷過午用紀限儀或經緯儀屢測太陽高弧取其最高度為本處太陽過午線距地平高度亦即本處午正乃以太陽距地平高度減蒙氣差加地半徑差為實高度以減象限九十度得太陽距本處天頂度以與本日太陽赤緯度南加北減即得本處北極出地之度於是先以極準時表如太陽過其國午線之午正開准行與本處既測得午正以與時表較遲早差若干時分化度即知本處在其國之東西若干度分但一測午正而地之南北東西皆定古今中外若合符節其理至當其用至宏是作圖者所宜先務也 一曰測地面以定州縣所轄之各地地面遼闊遠近不一高低不齊無法以御之不能成圖其法不外乎三角即九數之句股周髀算經臥矩知遠偃矩望高二語足以盡之而西人測地亦分二端一測地面平形一測地面高形其測平形也所用之器最要者為經緯儀為測向羅盤均為圓周分三百六十度密者能辨分秒疏者亦半分度皆有指南針經緯儀有窺管測向盤僅安植表系絲於窺管與植表之視孔成十字交點視交點蔽所測之物方為指准任在何州縣之城門植柱為起點用儀器測左右距城門之甲乙二物設甲物在偏東二十度乙物在偏西三十度則所成角為五十度記二物之向及角度於冊於是量准測處至甲乙二點直遠近為底邊又從甲乙二點轉測他處可見之物遞測不已均記其向與度使大地成無數三角形又每三角之內或有可指之處仍一一記之使大三角容無數小三角又有道里河流之迂曲均測其迂曲之向而以記里車記其各迂曲之遠近使容於各三角之內而測平形之事畢矣其測高形也所用之器最要者為紀限儀為瓶水地平儀紀限儀為六十度弧亦能辨分秒有活半徑及回光際線等鏡有窺管亦系十字以測高深之都數測法於測處置二定點與山頂成二點以二定點間相距數為底邊用平測三角法已知三角一邊求得測處至山頂斜之數再用立測三角法以斜線為已知之邊測得三角求山頂高於測處之數既得山形之高數乃以測處至山頂斜線與高數為已知兩邊求得山頂垂與平地成直角至測處為平距數而山之斜度亦須測得大但可不計分秒用紅銅版為象限儀九十分之懸垂於版心系錘使下墜自弧之一角依平邊仰望高處相切視垂線所成角即為斜度行軍之圖斜度約分三等十五度以下車能行三十度以下馬兵能行四十五度以下步兵僅能行過此須攀援矣故測斜度止於四十五瓶水地平儀以測逐層高低之數器為長銅管管之兩端上安琉璃瓶刻度盛水瓶與管成直角管下承三足架當管中承處為活節置器於高低之間升降銅管視兩端瓶水等平而止於器之上與下對管口植長尺自管窺上尺恰當何尺寸反窺下尺恰當何尺寸以兩數較所余為上尺處高於下尺處之數高低懸遠者屢測之而記其逐層之數山勢磅者環測之而記其各點之向屢測者逐層之高須等以便命共距之數環測者各點之高亦須等以便成平剖面之形又山高與逐層之高之比如平距與各平剖面平距之比均求之以記於冊而測高形之事畢矣 測事既畢於是始言繪繪者當首明分率分率者地與圖之比例也地周三百六十度度二百里里一千八百尺是則一尺實為一萬二千九百六十萬分地周之一凡為圖必先開方設為每方一寸十方一里是以圖之一尺代地之一千八百尺也其分率為一千八百分之一然作總圖者不必如是之大酌而用之每方一寸方五十里是以圖之一寸代地之九十萬寸分率為九十萬分之一他如或大或小隨人度其圖之詳而命之可也分率既定始布經緯度經度當赤道處每度相距二百里漸北則漸狹當用八線表以半徑一千萬為一率每度二百里為二率各地北極出地度之餘弦為三率求得四率為其地經度相距里數按度推之列為成表以便檢用而畫經緯兩亦不一法有經緯均作曲線者有經為曲而緯為直者有緯為曲而經為直者其經緯均曲與經曲緯直兩種雖能得球形之理然不能無差一則差在東西兩邊一則差在於北皆由經緯相交不成直角對角線亦不相等故作圖以緯曲經直者為無差其法法當求圓錐為公中心以規作各距等圈若作一省一府之分圖去圓錐過遠則以求零弧之法變通之又作分率微分尺如圖為九十萬分之一用四寸六十分之名曰度尺用四寸二百分之名曰里尺均畫對角斜線表微分又作分度器密者以銅為圓弧玻璃為中心能辨六十度之分秒疏者以明角片為半周分百八十度度半分之若填州縣城之經緯度可展規按度分量分率度尺縱橫定點於圖即得經度去赤道漸遠者則按度求其相距里數以里尺量之亦得若填所測地面各三角點須用分度器之中心合甲乙之起點正其子午按左右甲乙二點之向作直線再依所測底邊遠近如分率量之以定甲乙二點於是轉移分角器之中心合甲乙二點據所測各多點之向一一作直成無數三角形如所測地面凡兩線之交即各物定點而圖之平形成矣畫高之法大要以山之各層平剖面平距數依分率入圖如其遠近方向作點以曲線聯之成自天空俯視山頂及各層平剖面之形再於平剖面之間補作垂在線下交於兩平剖面界必成直角其疏密定率兩垂線相距等於兩平剖面界相距四分之一垂線之方向即斜度之方向也粗視之斜度小者其線疏斜度大者其線密若辨其度之幾何則必以共距明之共距者山之逐層高較也如共距為三十六尺圖為一千八百分之一乃以一八除三六得十分寸之二為圖之共距以與垂線相比而斜度得矣共距之長小於垂線三四倍則斜至十五六度小於垂線兩倍則斜至三十度與垂線相等則斜至四十五度凡用共距者分率愈大則辨析愈明若日耳曼人補垂線之法不必以共距明之視黑白之多少定斜度之大小線為黑線間為白凡圖中全黑者為四十五度八黑一白者四十度七黑二白者三十五度六黑三白者三十度五黑四白者二十五度四黑五白者二十度三黑六白者十五度二黑七白者十度一黑八白者五度線大則黑多線細則黑少以此辨度亦甚明確西人作垂線之法凡三英吉利之法能令圖清日耳曼之法能令圖准法蘭西之法則清而准前所言疏密定率寔法蘭西之法也苟明乎此而圖之高形顯矣 既測天度又測地面申之以繪法而圖猶不精妙者未之有也就其湖北測繪輿地圖章程互相發明錄之雲一測天度周禮大司徒乃以土圭之法測土深正日景土深言南北即定緯度之理也日景言東西即定經度之理也蓋地為圓體其南北二點正對天空之南北兩極其中腰大圈亦與天空赤道相當人立地面目力極數十里耳數十里外即屬茫然天雖無涯而地平以大可仰觀得之故必分地為三百六十度與天體合藉天空諸曜高弧以求地面之度而地之圓形始得今會典館開辦輿圖於經緯度再三言之自應遣精通算法善用儀器者經緯儀度時表往六十八州縣治所測天求度而州縣幅員大者至數百里又宜覽其形勢於四邊之界南北東西不致平行之處擇四定點測其經緯度分於是一州縣之境有五經緯定點先以法求各經緯點相距之鳥道次以平三角聯絡其間互相榰柱雖廣大之地不難御之入法矣而名山之大川之口以及古郡縣舊治關隘險要前人紀載言在某縣某向若干里迨名號已易部位轉迷測地時能考確處定其經緯度分注之於冊於考古者亦為有益而一縣之區於五定點外又增各點即求各點相距為三角底線尤能密合　一測地面鳥道鄂省六十八州縣北極鄖西南極通城西極利川東極黃梅約其面積為方里者殆六十萬非測三面不能定地面各物今於州縣郭平地量成底線長或一里短或半瑞安測向儀於底線兩端彼此互測記其向度始各測所編號竿而記其自某測某幾百幾十幾度幾十幾分於冊又移儀於已測三角之外邊兩端插竿於未測之地而測之東西南北漸移而前各記抵界而轉而三角之定點必須聯絡互用展轉成形然後地面之上皆成三角三角之外始無餘壤凡村院鎮集山山峽斷崖水源水口埧堰橋樑津渡交衢關隘稅口厘卡鹽局電局電杆營汛驛站塘鋪煙墩營壘故壘炮台塔廟古蹟及山脈水道道路界線四者之轉向處均須作為三角定線其定點密者三角亦密若曠野荒漠地惟盡目力所集作數大三角而已　一測地面人行道凡山脈水道道路界線四者之轉向均經測出固已肖其真形但三角所得者鳥道也四者蜿蜒於三角之中其小曲之遠近非直邊所能得故必以人行道計之今以測向儀定方向記里輪量遠近一人測向一人記里而書其自某處起程若干度分行若干尺至某處轉若干度分行若干尺至某處所過之地有驛站塘鋪鎮集橋樑埧堰礦者均分別注之凡界為兩縣所共測定一縣即可旁及他縣自應詳測不必求省惟路之支徑紛歧水之溪澗錯出若不擇要必曠時日茲道路惟測其四至之道路有驛站塘鋪者余則之 水道則分別大小考求利弊鄂境之水江漢為大江水西自巴東東至黃梅約行二千三百餘里漢水北自鄖西南至漢陽約行一千九百餘里舟楫所濟水利所關自必以人行道計其流向遠近並及水漲水落之沙界遙堤內堤之定基他如入江入漢之水行五百里以上者測之若水口通舟楫利停泊者則不論所行遠近俱宜詳測江漢之瀕湖泊甚多防水為田遂成澤國民生利病胥在於此均應循湖測岸並逐測縱橫交錯之堤皆得其方向遠近高低厚薄以便依率入圖水漲之時不能識水落之界水落之際可以察水漲之痕故測水宜水落從事淤河廢渠有可考者亦測大至鄂境之山以鄖陽宜昌施南為最多襄陽次之嘉慶教匪之亂賊跡出沒其間致稽徵討蓋磅萬山叢雜西接川陝皆為密箐他如大江南北亦山勢奔赴若必逐層環測求其高較以表斜峭則非數年所能惟先考舊圖得知山脈大始擇要測之欲知山之脈絡當觀水之源委水源分流之岡脊必為干山迤邐於二水之間遇二水合流而止者必為支山支幹既明方有把握其人跡已到之區則以人行道繞測山麓盤互遠近之址及山立距平距之數深山窮僻但以測向儀望測其山得其平距及脈絡委曲之勢而已論測量之道以山為最難湖堤水道次之言民生之計湖堤水道為最要而山又次之自宜酌其緩急先從事於湖堤水道除測三角應及于山者自不容緩專測山址與山脈之事甚費時日俟辦有成效酌量期限緩促再漸次施行可也 一用人不明算學者不足以盡測繪之能僅明算學者多未親測繪之事故用人以施諸實事為準其精通算學能用儀器測天度地依率繪圖者為上僅守成法測地面依率繪圖者次之但鄂省幅員之廣欲求實測必非數人所能今招聰俊生童能耐勞苦者二十人教以測繪成法習之三月始出從事學成之後即分派局中所有成材十二人及學生二十人為四大路計八人共測一州縣每八人中又分四小路二人任測天度為一路測州縣治所及各定點外仍應測地面三角管記里輪者一人同學生一人為一路測人行道里外亦應測地面三角余學生四人分為兩路專測地面三角惟測地面甚為繁重雖能辨向分角而插竿滿目屢測不已或至迷識當預編竿號屬插竿之人詳查竿號次第不可顛倒插置測向者按號記之庶不至亂凡兩路分段相交之處尤宜留心交點南路必交測北路之原點北路必交測南路之原點不可增亦不可漏方能合其要在先察舊圖預約每日所測地度方有依據約計之每八人所測一州縣期閱月畢之逐各州縣測去以四大路測六十八州縣風雨及甚寒暑不計外約歷二年當畢測事再以一年為繪事故期限止於三年　一用器古人測量莫不用器土圭所以測天短度所以測地緬懷舊制必稱精密仿而為之慮不逮古近日西人之器尚屬可用如經緯儀紀限儀測向儀奪材儀度時表記里輪綱練帶尺分角器規筆平行尺曲線版等物均測繪家所必需其則天多用紀限儀測地多用經緯儀如測向儀奪林儀則行軍人用之測平三角及高深者究之紀限儀亦可測地經緯儀亦可測天二者俱備自稱完美惟是費錢既多購置亦不甚易不如酌購一種為便紀限儀便於行海及測天空天兩曜相距之弧若用之陸地測午正不如經緯儀之易於從事但必如西人用經緯儀測地雖稱最密而用人既多需器亦多所費殊不貲且經緯儀之大者能辨一秒小者能辨一分若測地面三角必求分秒則地圓之弧角差天空之蒙氣差均應推算除清然後能得真角又非數年所能收功今酌用經緯儀能辦十秒者度時表測天測向儀奪林儀測地測向儀雖不如經緯之儀密然分三百六十度又半分之能辨三十分為七十二向矣較之吾華舊法其密為十倍過之且弧角差蒙氣差在地面人目所及斷無多至三十分者故用測向儀均可不計　一繪法繪者當首明分率會典館所頒格式原就書式大小而設外間測繪原本務必放大以便詳測密填迨圖成之後始照館頒格式縮成定本送館仍將外間原本副送一分以備採擇今酌定外間原本分率省府總圖定為九十萬分之一以圖之一寸代地之五十里五十里為九十萬寸州縣分圖定為十八萬分之一以圖之一寸代地之十里十里為十八萬寸隨測隨繪之草圖定為一萬八千分之一以圖之一寸代地之一里一里為一萬八千寸用圓錐通徑法作緯曲經直之式使經緯相交皆成直角各如率布算定其南廣北狹之式用分角器微分尺填繪各點凡測向儀所成子午儀必與圖之經線平行以求各點角度則能得各處距等圈真形不至展闊而生向差矣圖中作識之法送館之圖自應照館頒格式所言外間原本所收既詳名目亦多識別不嫌其繁後另為表識圖附　此圖未刊　一圖說禹貢一書為千古志地者之祖於九州島之後即繼以導山導水師其意有作者有班固之漢書地理志伯益夷堅之山經曹魏時之水經蓋地誌取法乎九州島山經取法乎導山水經取法乎導水也踵地誌而作者歷史之郡國州郡地形諸志皆是而自唐訖明所存元和郡縣圖志太平寰宇記元豐九域志諸書紀載雖有詳之殊其體例固本之孟堅也仿水經作者則有而黃洲之今水經齊次風之水道提綱仿山經而作者則有水道記黃岩戴東原之李誠之萬山綱目皆為名作今會典館所發表格其敘沿革疆域鄉鎮蓋仿班志諸書之例敘山則擬山經敘水則擬水經又詳天度道里而山之礦產要隘水之圩堰橋津均敘於當處之下簡而明要而詳自應遵之無庸別生異議也