測量法義 · 勾股義

明　徐光啟　撰 勾股即三邊直角形也底線為句底上之垂線為股對直角邊為勾股上兩直角方形並與上直角方形等故句三股四則必五【一卷四七注】從此可以勾股求句求股股求句【一卷四七注】可以求勾股中容方容圓可以各較求句求股求可以各和求句求股求可以大小兩勾股互相求可以立表求髙深廣逺以通勾股之窮可以二表四表求極髙深極廣逺以通立表之窮其大小相求及立表諸法測量法義所論著畧備矣勾股自相求以至容方容圓各和各較相求者舊九章中亦有之第能言其法不能言其義也所立諸法蕪陋不堪讀門人孫初陽氏刪為正法十五條稍簡明矣余因各為論譔其義使夫精於數學者覽圖誦說庶或為之解頥 第一題 勾股求 法曰甲乙股四乙丙句三求以股自之得十六句自之得九並得二十五為實開方得甲丙五 第二題 句求股 法曰如前圖乙丙句三自之得九甲丙五自之得二十五相減得較十六開方得甲乙股四 第三題 股求句 法曰如前圖甲乙股四自之得十六甲丙五自之得二十五相減得較九開方得乙丙句三 巳上三論俱見一卷四十七題【凡言某卷某題者皆引幾何原本為證下同】 第四題 勾股求容方 法曰甲乙股三十六乙丙句二十 七求容方以勾股相乗為實並句 股得甲戊六十三為法除之得容 方辛乙乙癸各邊俱一十五四二八 論曰甲乙三十六乙丙二十七相乗得九百七十二以為實即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙並得六十三為法即成甲戊線除實得戊巳邉十五四二八即成甲戊巳庚直角形與甲乙丙丁形等【六卷十六】而巳庚邊截乙丙句於癸甲丙於壬即成乙辛壬癸滿勾股之直角方形何者甲乙丙丁與甲戊己庚兩形互相視即甲乙與甲戊若乙癸與乙丙【六卷十五】分之即甲乙與乙戊若乙癸與癸丙是甲乙與乙丙亦若乙癸與癸丙也【乙丙乙戊元等】又甲辛與辛壬若壬癸與癸丙【六卷四】更之即甲辛與壬癸若辛壬與癸丙也而辛乙與壬癸等乙癸與辛壬等則甲辛與辛乙若乙癸與癸丙矣夫甲乙與乙丙既若乙癸與癸丙而甲辛與辛乙又若乙癸與癸丙則甲乙與乙丙亦若甲辛與辛乙而乙辛壬癸為滿勾股之直角方形【六卷十五增題】又簡論曰如前圖以甲乙戊為法而除甲丙實既得甲庚戊巳各與方形邊等今以等甲乙戊之丙乙戊為法而除甲丙實得庚丙戊巳亦各與方形邊等則辛乙癸壬為直角方形 第五題 余句余股求容方求句求股 法曰甲丁余股七百五十戊丙余句 三十求丁乙戊巳容方邊以丙戊甲 丁相乘得二萬二千五百為實開方 得容方乙丁丁巳各邊俱一百五十 加余股得股九百加余句得句一百八十 論曰甲丁戊丙相乘為實即成巳壬辛庚直角形與丁乙戊巳為甲丙角線形內之兩餘方形等【一卷四三】而壬巳與巳戊偕丁巳與巳庚為互相視之邊【六卷十四】故巳壬辛庚之實即丁乙戊巳之實開方得丁乙戊巳直角方形邊 又論曰甲丁與丁巳既若巳戊與戊丙【六卷四之系】即方形邊當為甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增題】今列甲丁七百五十戊丙三十而求其中率之數其法以前率比後率為二十五倍大之比例二十五開方得五則中率當為五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一百五十一百五十反五倍得丙戊三十則方形邊一百五十為甲丁丙戊之中率【六卷界說五】 第六題 容方與余句求余股與余股求余句 法曰容方乙丁丁巳各邊俱一百五 十戊丙余句三十求甲丁余股以容 方邊自之為實以余句為法除之得 甲丁余股七百五十以容方與余股求余句法同論曰如上論兩餘方形等實故以等己庚之丙戊除之得等壬巳之甲丁 又論曰方形邊既為甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增題】即方形邊自乘為實以戊丙除之得甲丁以甲丁除之得戊丙【六卷十七】 第七題 勾股求容圓 法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圓以勾股相乘得一萬九千二百倍之得三萬八千四百為實 別以勾股求 得甲丙 六百八十【本篇 一】並勾股 為法除實得 容圓徑乙子 二百四十 論曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之為實即丙丁戊己直角形求得甲丙幷勾股得一千六百於甲乙線引長之截乙庚與句等庚辛與等得甲辛為和和線以為法除實得辛壬邊二百四十即成甲辛壬癸直角形與丙丁戊巳形等【六卷十六】而壬癸邊截乙丙句於子次從子作子丑寅乙直角方形即此形之各邊皆為容圓徑曷名為容圓徑也謂於甲乙丙三邊直角形內作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰線與乙子子醜醜寅寅乙諸邊皆為切圜線也則何以顯此五邊之皆為切圜線乎試於甲乙丙形上復作一丙午未直角三邉形交加其上其丙午與乙丙等未午與甲乙等未丙與甲丙等即兩形必等【一卷二十二可推】次依丙午未直角作午申酉戌直角方形與乙子丑寅直角方形等次於戌酉線引之至亥又成甲戌亥直角三邊形以甲為同角交加於甲乙丙形之上亦以午申酉戌為容圓徑次於亥戌寅丑兩線引之遇於干又成干寅亥直 角三邊形以 亥為同角交 加於甲乙丙 形之上亦以 乙子丑寅為 容圓徑次作 丙兊線遇諸形之交加線於離於兊次作甲震線遇諸形之交加線於巽于震次作亥辰線遇諸形之交加線於坎於辰次作未乾線遇諸形之交加線於艮於卯而四線俱相遇於坤夫午丙與乙丙兩線等而減相等之午戌乙子即戌丙與子丙必等丙離同線丙戌離丙子離又等為直角戌離丙子離丙又俱小於直角即丙離戌丙離子兩三角形必等而兩形之各邊各角俱等【六卷七】則丙兊線必分甲丙未角為兩平分矣【一卷九】又子離與戌離兩邊既等【本論】子離震戌離卯兩交角又等【一卷十五】卯戌離震子離又等為直角即卯離戌離震子之各邊各角俱等而兩形亦等【一卷廿六】又子離與離戌兩邊既等離卯與離震兩邊又等【本論】即子卯與戊震兩邊亦等子丑與戌酉各為相等之直角方形邊必等而各減相等之子卯戌震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉兩角又各為離卯戌離震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等 為直角即卯 丑辰震酉坎 之各邊各角 俱等而兩形 亦等【一卷廿六】依 顯午巽辰與 坎艮乙之各邊各角俱等而兩形亦等巽寅兊與兊艮申之各邉各角俱等而兩形亦等又子丙戌丙之數各八十乙子戌午各二百四十以諸率分數論之則丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百○二【算見測圓海鏡之勾股步率】則減丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙則一百七十也【本篇一】次減丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌離兩三角形之辰丑卯離戌卯既等為直角丑卯辰戌卯離兩交角又等丑卯與戌卯復等即兩形必等而其各邊各角俱等【一卷廿六】依顯子離震與震酉坎兩形亦等依顯諸形之交角者皆相等其連角如酉亥坎乙亥坎兩形亦等而子離離戌 皆四十八也 則酉坎坎乙 亦皆四十八也 亥酉亥乙皆八 十也子乙與 戌酉等子丙 與酉亥復等則乙丙與戌亥必等而甲為同角甲乙丙甲戌亥又等為直角則甲乙丙甲戌亥之各邊各角俱等而兩形亦等【一卷廿六】甲亥與甲丙既等各減相等之丙戌乙亥又減相等之乙寅戌午即甲寅與甲午必等夫甲巽午甲巽寅兩形之甲寅甲午既等甲巽同線甲午巽甲寅巽又等為直角即兩形必等而各邊各角俱等【六卷七】是甲震線必分丙甲亥角為兩平分也【一卷九】甲乙丙一形內既以丙兌線分甲丙乙角為兩平分又以甲震線分丙甲乙角為兩平分而相遇於坤則以坤為心甲乙為界作圜必切乙子子醜醜寅寅乙卯辰五邉而為甲乙丙直角三邊形之內切圜即乙丑直角方形之各邊為容圓徑【四卷四】展轉論之則各大直角三邊形內之分角線皆分本角為兩平分皆遇於坤而坤心圜為各形之內切圜即兩直角方形邊為各勾股形內之容圓徑 又法曰甲乙股六百乙丙句三百二十並得九百二十與甲丙六百八十相減亦得乙子二百四十論曰如前論諸大勾股形之分余句俱八十諸勾股和與諸相減之較亦俱八十則初分句二百四十為諸形之容圓徑 第八題 勾股較求股求句 法曰甲丙四十五甲乙股甲丙句之較為甲丁九求股求句以自之得二千○二十五倍之得四千 ○五十較自之得八十一以減兩 羃存三千九百六十九為實開 方得勾股和六十三加較九得七 十二半之得三十六為甲乙股減 較得二十七為乙丙句 論曰冪為甲戊直角方形倍之為己丙直角形較冪為甲庚直角方形與甲辛等相減即得減甲辛形之己辛丙磬折形也今欲顯己辛丙磬折形開方而得勾股和者試察甲丙上直角方形與甲乙乙丙上兩直角方形並等【一卷四七】即甲戊一冪內有一甲乙股冪一乙丙句冪也己丙兩冪內有兩甲乙冪兩乙丙冪也故以己丙為實開方即得丑辰直角方形 其丑寅與卯辰兩形兩股冪也丙 壬與癸子兩形兩句冪也而丑寅 卯辰之間則重一等甲辛之卯寅 形減之即丑辰直角方形與己辛 丙磬折形等矣乙丙為句丙丑與甲乙等故乙丑邊即勾股和也若於乙丙句加甲丁較即與甲乙股等故甲乙乙丙甲丁並半之為甲乙股以甲丁較減甲乙股為乙丙句 第九題 句較求句求 法曰甲乙股三十六乙丙句甲丙之較為甲丁十八求句求以股自之得一千二百九十六較自之 得三百二十四相減存九百七十二 為實倍較為法除之得二十七為乙 丙句加較得四十五為甲丙 論曰股冪為甲戊直角方形較冪為 丁庚直角方形與辛癸等相減存甲壬戊磬折形為實次倍甲丁較線為乙寅線以為法除實即得乙子直角形與甲壬戊磬折形等何者乙子直角形加一等較冪之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即與股冪之甲戊直角方形等也又何者甲丙冪之甲辰直角方形內當函一句冪一股冪【一卷四七】試於甲辰形 內截取丁庚較冪之外分作庚未未 午午丁三直角形其甲庚申未酉戌 三線各與甲丁較線等庚申未戌未 辰午酉四線各與等乙丙句之丁丙 線等夫未酉酉戌並與句等即申未未酉並亦與句等而庚申未辰各與句等即庚未未午兩形並為句冪而丁庚午丁兩形並為股冪矣丁戌戌酉兩較也乙卯卯寅亦兩較也而丁丙與乙丙元等即丁午乙子兩形等丁庚與乙丑兩形又等即丁庚午丁並與子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形與股冪之甲戌形等此兩率者各減一等較冪之辛癸乙丑形即乙子直角形與甲壬戊磬折形等 又法曰股自之得一千二百九十六為實以句較十八為法除之得句和七十二加較得九十半之得四十五減較得句二十七 論曰股冪為甲己直角方形以較而 一為甲辛直角形即得甲壬邊與乙 丙丙甲句和等何者甲丙冪之 甲丑直角方形內當函一股冪一句 冪【一卷四七】試於甲丑形內截取子卯丑辰邊各與甲丁較線等即卯丑辰丙俱與等乙丙句之丁丙線等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四邊皆與 句等句冪也即甲卯卯辰兩形當與 股冪等亦當與甲辛形等而甲庚卯 寅皆較也甲子也卯丑句也則甲 辛形之甲壬邊與句和等 第十題 股較求股求 法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙之較為丙丁九求股求以句自之得七百二十九較自之得八十 一相減得六百四十八為實倍較為 法除之得甲乙股三十六加較得甲 丙四十五 論曰句冪為乙己直角方形較冪為 丙丑直角方形與丙庚等相減存乙庚己磬折形為實次倍丙丁較線為乙辛線以為法除實即得辛壬直角形與乙庚己磬折形等而乙壬邊與甲乙股等何者甲丙冪之甲癸直角方形內當函一句冪一股冪【一卷四七】試於甲癸形內截取丙丑較冪之外分作甲醜醜癸丑子三直角形即丑子與股冪等而丙丑甲醜醜癸三形並當與句冪等次各減一相等之丙 丑丙庚即甲醜醜癸並與乙庚己磬 折形等亦與辛壬直角形等辛乙與 寅醜醜丁並等即乙壬與甲丁或寅 癸等亦與甲乙等 又法曰句自之得七百二十九為實以較為法除之 得股和八十一加較得九十 半之得四十五減較得股三 十六 論曰句冪為丙戊直角方形以較而一為丙己直角形即得丙庚邊與甲乙甲丙股和等何者甲丙冪之甲辛直角方形內當函一股冪一句冪【一卷四七】試於甲辛形內依丙丁較截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形與股冪等而丁辛丁癸兩形並當與句冪等亦與丙己直角形等夫壬辛甲癸己庚皆較也而甲丁與股等丙辛與等即丙庚與股和等第十一題 勾股和求股求句 法曰甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三求句 求股以自之得二千○二十五句 股和自之得三千九百六十九相減 得一千九百四十四復與冪相減 得八十一開方得勾股較甲卯九加 和得七十二半之得甲乙股三十六 減較得乙丙句二十七 論曰以勾股和作甲丁一直線自之為甲己直角方形此形內函甲辛癸己兩股冪乙寅庚壬兩句冪而甲辛癸己之間重一癸辛直角方形夫甲丙之冪既與勾股兩冪並等【一卷四七】以減甲己形內之甲辛乙寅兩形即所存戊辛寅磬折形少於冪者為癸辛形矣乙辛股也乙丑句也則丑辛較也 第十二題 句和求句求 法曰甲乙股三十六乙丙甲丙句 和七十二求句求以股自之 得一千二百九十六句和自之 得五千一百八十四相減得三千 八百八十八半之得一千九百四十四為實以和為法除之得乙丙句二十七以減和得甲丙四十五論曰以句和作乙丁一直線自之為乙戊直角方形次用句度相減取丙庚兩防從丙從庚作庚辛 丙壬二平行線依此法作癸子丑 寅二平行線即乙戊一形中截成 丙子丑辛丁卯午己句冪四庚未 辰壬癸辰未寅較句矩內直角形 四卯午較冪一也今欲於乙戊全形中減一甲乙股之冪則於卯己冪內【一句一冪並為】存午己句冪而減子午辛磬折形即股冪矣何者卯己冪內當函一句冪一股冪也【一卷四七】又庚未與未寅等即庚壬形亦 股冪也以庚壬形代磬折形即 丁辛丙己兩形為和冪與股冪 之減存形也半之即丙己形以等 句和之乙己除之得乙丙句 又法曰股自之得一千二百九 十六以句和七十二為法除之得十八為句較加句和得九十半之得四十五為減較得二十七為句 此法與本篇第九題又法同論 第十三題 股和求股求 法曰乙丙句二十七甲乙乙丙股和八十一求股求以句自之得七百二十九股和自之得六千 五百六十一相減得五千八百三十 二半之得二千九百一十六為實以 和為法除之得甲乙股三十六以減 和得甲丙四十五 論曰乙丁和冪內之戊己句冪也餘論同本篇十三 題 又法曰句自之得七百二十九以 股和八十一為法除之得九為 股較加股和得九十半之得四十五為減較得三十六為股 此法與本篇第十題又法同論 第十四題 股較句較求句求股求 法曰甲乙股甲丙較二乙丙句甲丙較九求句求股求以二較相乘得十八倍之得三十六為實平方開之得六為和較加句較九得甲乙股十 五加股較二得乙丙句八以 句較加句或股較加股得 十七為甲丙 論曰股較甲丁二自之得四 為己庚直角方形句較乙戊 九自之得八十一為辛壬直角 方形兩冪並得八十五以二減 九得七即勾股較自之得四十 九為干兊直角方形元設兩較 互乘為癸戊子丑兩直角形並 得三十六以三十六減八十五 亦得四十九何以知癸戊子丑 三十六為實開方得六之寅卯 直角方形邊則和較也凡直 角三邊形之冪必與勾股兩冪 並等【一卷四七】甲乙丙既直角形則 甲乙乙丙兩冪並必與甲丙冪 等今於甲乙股加甲辰丙乙 句加乙午甲丙加丙未句 未申股各作一直線以此三和 線作一三邊形【一卷廿二】即甲申上 之甲酉直角方形必不等於丙 午上之丙戌直角方形乙辰上 之乙亥直角方形並而此不相 等之較必勾股較冪之四十九 也何者若於甲酉丙戌乙亥三 直角方形各以元設勾股分 之即甲酉形內有冪一股冪 一句冪一股矩內形二句 矩內形二勾股矩內形二而乙 亥形內有冪一股冪一股 矩內形二丙戌形內有冪一 句冪一句矩內形二次以甲酉內諸形與乙亥丙戌內諸形相當相抵則甲酉內存勾股矩內形二丙戌或乙亥內存冪一次以此兩存形相當相抵則一冪之大於兩勾股矩內形必勾股較冪之四十九也何者一冪內函一句冪一股冪今試如上圖任作一甲乙冪其乙丙為句冪則丁丙戊磬折形必與股冪等乙己為股冪則丁己戊磬折形必與句冪等次以乙 庚辛壬兩勾股矩內形輳乙角依角傍兩邊縱橫交加於冪之上即得勾股之較冪丙己而乙丙上重一句冪次以所重之句冪補其等句冪之丁己戊磬折形則甲乙冪之大於乙庚辛壬兩勾股矩內形必丙己勾股較冪矣故知向者乙亥或丙戌內與甲酉內兩存形之較必勾股較冪之四十九也則乙亥丙戌兩形並其大於甲酉形亦勾股較冪之四十九也今於辛壬較冪內減勾股較冪四十九之干兌直 角方形其所存干離震兊兩餘 方形及離震己庚兩直角方形 並必與癸戊子丑兩形並等次 以癸戊子丑兩形開方為寅卯 形則減寅卯之甲酉形與減辛 壬之丙戌形減己庚之乙亥形 並必等而減寅卯之甲酉形內 元有冪如甲寅者四有偕 寅卯形邊矩內形如寅巽者四減辛壬之丙戌形內元有句冪如丙辛者四有句偕句較矩內形如辛坎者四減己庚之乙亥形內元有句冪如己辰者四有股偕股較矩內形如甲己者四今以四冪當四句冪四股冪【一卷四七】則甲己辛坎兩形並必與寅巽形等甲丙與巽申等也丙申勾股和也則兩間等寅卯形邊之丙巽不得不為和較矣既得丙巽六為和較即以元設兩較相加可得勾股各數也何者巽申也巽艮句較也艮申句也丙申勾股和也於丙申勾股和減艮申句則丙巽加巽艮之丙艮股也丙甲也丙坤股較也坤甲股也巽甲勾股和也於巽甲勾股和減坤甲股則巽丙加丙坤之巽坤句也次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲則也 第十五題 句和股和求句求股求 法曰甲丙乙丙句和七 十二甲乙甲丙股和八 十一求句求股求以兩 和相乘得五千八百三十 二倍之得一萬一千六百 六十四為實平方開之得和和一百○八以股和減之得乙丙句二十七以句和減之得甲乙句三十六以勾股和減之得甲丙四十五 論曰兩和相乘為乙己直角形倍之為丁戊直角形以為實平方開之得己庚直角方形與丁戊等即其邊為和和者何也丁戊全形內有冪二股矩內形句矩內形勾股矩內形各二與己庚全形內諸形比各等獨丁戊形內餘一冪己庚形內餘一句冪一股冪並二較一亦等【一卷四七】即己庚方形之各邊皆和和